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本页把第 2 章中分散的“矩阵运算—秩”结论集中到一起。它们都是可以独立记忆、独立证明的二级结论，放在正文里会打断“等价—相似—合同”与矩阵运算的主线。
阅读顺序：伴随矩阵的公式与秩 → ATAA^TA 与 AATAA^T 的秩 → 乘可逆矩阵后秩与行列式的变化。所有结论默认矩阵为实矩阵，且乘法有意义。

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一、伴随矩阵的运算法则

设 A,BA,B 为 nn 阶方阵（n≥2n\ge2），A∗A^* 为伴随矩阵。A∗=∣A∣A−1(A 可逆)A^*=\vert A\vert A^{-1}\qquad(A\text{ 可逆})∣A∗∣=∣A∣n−1\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}(A∗)−1=(A−1)∗=1∣A∣A(A 可逆)(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\vert A\vert}A\qquad(A\text{ 可逆})(A∗)T=(AT)∗(A^*)^T=(A^T)^*(AB)∗=B∗A∗(AB)^*=B^*A^*补充两条低频但常考的公式：(kA)∗=kn−1A∗,(A∗)∗=∣A∣n−2A(kA)^*=k^{n-1}A^*,\qquad (A^*)^*=\vert A\vert^{n-2}A其中第二式要求 n≥2n\ge2；n=2n=2 时约定 ∣A∣0=1\vert A\vert^0=1。
记忆主线：AA∗=∣A∣EAA^*=\vert A\vert E 是源头；可逆时 A∗=∣A∣A−1A^*=\vert A\vert A^{-1}，于是其余公式都可以由 A−1A^{-1} 的运算法则迁移过来。
  • A∗A^* 对任意 nn 阶方阵都有定义，不要求 AA 可逆；但 (A∗)−1=(A−1)∗=1∣A∣A(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\vert A\vert}A 要求 AA 可逆。
  • ∣A∗∣=∣A∣n−1\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1} 对奇异矩阵也成立：此时两边都为 00。
  • (AB)∗=B∗A∗(AB)^*=B^*A^* 的顺序不能反，和 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} 的顺序一致。
  • 一般地，(A+B)∗≠A∗+B∗(A+B)^*\ne A^*+B^*，伴随矩阵对加法没有分配律。
最容易错的是把 (AB)∗(AB)^* 写成 A∗B∗A^*B^*。伴随矩阵来自“代数余子式 + 转置”，乘积的伴随矩阵顺序要颠倒。
∣A∗∣=∣A∣n−1\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1} 的推导：由 AA∗=∣A∣EAA^*=\vert A\vert E 两边取行列式，得 ∣A∣ ∣A∗∣=∣A∣n\vert A\vert\,\vert A^*\vert=\vert A\vert^n。当 AA 可逆时两边约去 ∣A∣\vert A\vert；当 AA 奇异时 ∣A∗∣=0\vert A^*\vert=0，结论仍成立。

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二、伴随矩阵的秩

设 AA 为 nn 阶方阵，则r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)<n-1 \end{cases}
三个区间的边界分别是 r(A)=nr(A)=n、r(A)=n−1r(A)=n-1 和 r(A)<n−1r(A)<n-1，不要和 r(A)≤n−2r(A)\le n-2 混淆。
第一步：证明 r(A∗)≥1r(A^*)\ge1。因为 r(A)=n−1r(A)=n-1，所以 AA 中存在一个 n−1n-1 阶非零子式，即至少有一个代数余子式 Aij≠0A_{ij}\ne0。而 A∗A^* 的元素正是这些代数余子式，所以 A∗≠OA^*\ne O，故r(A∗)≥1r(A^*)\ge1第二步：证明 r(A∗)≤1r(A^*)\le1。因为 r(A)=n−1<nr(A)=n-1<n，所以 AA 不可逆，∣A∣=0\vert A\vert=0。由基本恒等式AA∗=∣A∣E=OAA^*=\vert A\vert E=O利用秩的不等式：若 AB=OAB=O，其中 AA 为 m×nm\times n、BB 为 n×sn\times s，则 r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)\le n。这里(n−1)+r(A∗)≤n(n-1)+r(A^*)\le n因此 r(A∗)≤1r(A^*)\le1。第三步：合并。由 r(A∗)≥1r(A^*)\ge1 且 r(A∗)≤1r(A^*)\le1，得 r(A∗)=1r(A^*)=1。
证明可以压缩为“非零子式保证下界，AA∗=OAA^*=O 提供上界”。另外两种情形：r(A)=nr(A)=n 时 AA 可逆，A∗A^* 也可逆；r(A)<n−1r(A)<n-1 时所有 n−1n-1 阶子式全为 00，A∗=OA^*=O。
  • r(A)=nr(A)=n：AA 可逆，A∗A^* 也可逆，所以 r(A∗)=nr(A^*)=n。
  • r(A)=n−1r(A)=n-1：AA 不可逆，但至少有一个 n−1n-1 阶子式非零，所以 A∗≠OA^*\ne O，秩至少为 11；又因为 AA∗=OAA^*=O，秩被限制住，所以秩恰好为 11。
  • r(A)<n−1r(A)<n-1：所有 n−1n-1 阶子式全为 00，所以 A∗=OA^*=O，秩为 00。
这条结论常与“第 2 章 矩阵的秩”中的不等式 AB=O⇒r(A)+r(B)≤nAB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n 联合使用，证明题里出现 AA∗=OAA^*=O 就要想到它。

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三、两个乘积矩阵的秩

设 AA 为 m×nm\times n 实矩阵，则不论是否满秩，都有r(ATA)=r(AAT)=r(AT)=r(A)r(A^TA)=r(AA^T)=r(A^T)=r(A)其中 ATAA^TA 为 nn 阶实对称矩阵，AATAA^T 为 mm 阶实对称矩阵。证明 r(ATA)=r(A)r(A^TA)=r(A)：若 ATAx=0A^TAx=0，两边左乘 xTx^T，得xTATAx=∥Ax∥2=0x^TA^TAx=\Vert Ax\Vert^2=0因此 Ax=0Ax=0。反之，若 Ax=0Ax=0，显然 ATAx=0A^TAx=0。记 N(A)={x∣Ax=0}N(A)=\{x\mid Ax=0\} 为 AA 的零空间，则N(ATA)=N(A)N(A^TA)=N(A)由秩—零度定理，r(ATA)=n−dim⁡N(ATA)=n−dim⁡N(A)=r(A)r(A^TA)=n-\dim N(A^TA)=n-\dim N(A)=r(A)同理，对 ATA^T 使用上述结论，得 r(AAT)=r(AT)=r(A)r(AA^T)=r(A^T)=r(A)。
证明的关键是 xTATAx=∥Ax∥2x^TA^TAx=\Vert Ax\Vert^2：它把 ATAA^TA 的零空间与 AA 的零空间完全等同起来。
  • 该结论只对实矩阵成立。复矩阵应把转置换成共轭转置：r(AHA)=r(AAH)=r(A)r(A^HA)=r(AA^H)=r(A)。
  • 秩相等不代表 ATAA^TA 与 AATAA^T 相等，它们甚至可能不同阶。
  • ATAA^TA 是 nn 阶、AATAA^T 是 mm 阶；不要因为“秩都等于 r(A)r(A)”就忽略阶数。
“ATAA^TA 与 AATAA^T 的秩都等于 r(A)r(A)”与“它们正定”是两件事。正定还要求满秩，且阶数要与秩匹配，详见特征值与二次型。

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四、乘以可逆矩阵：秩与行列式

设 P,QP,Q 可逆且乘法有意义，则r(PA)=r(A),r(AQ)=r(A),r(PAQ)=r(A)r(PA)=r(A),\qquad r(AQ)=r(A),\qquad r(PAQ)=r(A)原因是左乘可逆矩阵相当于一系列可逆的行变换，右乘相当于可逆的列变换，而可逆行、列变换都不改变秩。对同阶方阵，行列式满足乘法公式：∣AB∣=∣A∣∣B∣\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert若 A,P,QA,P,Q 为同阶方阵且 P,QP,Q 可逆，则∣PA∣=∣P∣∣A∣,∣AQ∣=∣A∣∣Q∣\vert PA\vert=\vert P\vert\vert A\vert,\qquad \vert AQ\vert=\vert A\vert\vert Q\vert所以乘可逆矩阵后：
  • 秩不变；
  • 行列式的值一般会变；
  • 行列式是否为零不变。
即∣PA∣=0⇔∣A∣=0\vert PA\vert=0\Leftrightarrow\vert A\vert=0
一句话：可逆矩阵乘上去，秩“照抄”，行列式“乘一个非零倍数”。所以判断秩和判断可逆性时可以放心乘可逆矩阵，但求行列式的具体值时要补上 ∣P∣\vert P\vert、∣Q∣\vert Q\vert。
若 B=P−1APB=P^{-1}AP，则∣B∣=∣P−1∣∣A∣∣P∣=∣A∣\vert B\vert=\vert P^{-1}\vert\vert A\vert\vert P\vert=\vert A\vertr(B)=r(A)r(B)=r(A)所以相似变换既保持秩，也保持行列式；这与“相似矩阵有相同的特征值、迹、行列式、秩”一致。
r(PA)=r(A)r(PA)=r(A) 只要求 PP 可逆；PP 不可逆时秩可能变小。∣PA∣=∣P∣∣A∣\vert PA\vert=\vert P\vert\vert A\vert 中的 ∣P∣\vert P\vert 一般不为 11，所以行列式的数值不能直接照搬。

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五、速记表

本页结论的“母体”在第 2 章：伴随矩阵的定义与 AA∗=∣A∣EAA^*=\vert A\vert E、矩阵的秩与秩不等式、分块矩阵。做题时先回到母体确认条件，再套用本页公式。
Last modified on October 28, 2026