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本章先简要回顾向量组的线性相关性和极大无关组，再重点展开基变换、坐标变换与过渡矩阵，最后整理施密特正交化的步骤和性质。
本章有两条主线：
  • 基与坐标的关系：新基由旧基线性表示，过渡矩阵记录新基在旧基下的坐标。
  • 标准正交基：先用施密特正交化得到两两正交的向量组，再单位化得到标准正交基。

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向量组（简要）

对向量组 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s：
  • 线性相关：存在不全为零的数 k1,k2,…,ksk_1,k_2,\dots,k_s，使得
∑i=1skiαi=0\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i=0等价于r(α1,α2,…,αs)<sr(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)<s
  • 线性无关：只有当 k1=k2=⋯=ks=0k_1=k_2=\cdots=k_s=0 时，才有
∑i=1skiαi=0\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i=0等价于r(α1,α2,…,αs)=sr(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)=s
判断相关或无关时，可以把向量按列排成矩阵，再通过秩来判断。
若向量组中的一个部分组满足：
  1. 该部分组线性无关；
  2. 向量组中其余向量都可由该部分组线性表示；
则称该部分组为原向量组的一个极大线性无关组。极大无关组所含向量的个数等于向量组的秩。
极大无关组通常不唯一，但同一个向量组的所有极大无关组所含向量个数都相同。
将向量组中的向量按列排成矩阵，对其进行初等行变换，化为行最简形。此时：
  • 非零行的行数等于向量组的秩；
  • 主元所在的列对应的原向量组向量构成一个极大无关组。
初等行变换过程中列向量会发生变化，因此要找“原向量组”的极大无关组时，应根据行最简形中的主元列回到原矩阵选取，不能直接取变换后矩阵的列向量。

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基变换

设旧基为α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n新基为β1,β2,…,βn\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n每个新基向量都可由旧基线性表示：{β1=p11α1+p21α2+⋯+pn1αnβ2=p12α1+p22α2+⋯+pn2αn⋯βn=p1nα1+p2nα2+⋯+pnnαn\begin{cases} \beta_1=p_{11}\alpha_1+p_{21}\alpha_2+\cdots+p_{n1}\alpha_n\\ \beta_2=p_{12}\alpha_1+p_{22}\alpha_2+\cdots+p_{n2}\alpha_n\\ \cdots\\ \beta_n=p_{1n}\alpha_1+p_{2n}\alpha_2+\cdots+p_{nn}\alpha_n \end{cases}写成矩阵形式：(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)P其中：P=(p11p12⋯p1np21p22⋯p2n⋮⋮⋮pn1pn2⋯pnn)P= \begin{pmatrix} p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\ p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ p_{n1}&p_{n2}&\cdots&p_{nn} \end{pmatrix}称 PP 为从旧基到新基的过渡矩阵。
PP 的第 jj 列，就是新基向量 βj\beta_j 在旧基 (α1,…,αn)(\alpha_1,\dots,\alpha_n) 下的坐标。因为两组基都线性无关，所以过渡矩阵 PP 一定可逆。
设向量 ξ\xi 在旧基下的坐标为 XX，在新基下的坐标为 YY，即：ξ=(α)X=(β)Y\xi=(\alpha)X=(\beta)Y又因为：(β)=(α)P(\beta)=(\alpha)P所以：(α)X=(α)PY(\alpha)X=(\alpha)PY由于 (α)(\alpha) 是基向量组，可以比较坐标，得到：X=PYX=PY或等价地：Y=P−1XY=P^{-1}X
记忆口诀：
  • 基变换：新基 == 旧基 ×P\times P；
  • 坐标变换：旧坐标 =P×=P\times 新坐标；
  • 也就是说，基和坐标的变换方向相反。
若旧基在标准基下的矩阵为A=(α1,α2,…,αn)A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)新基在标准基下的矩阵为B=(β1,β2,…,βn)B=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)由(β)=(α)P(\beta)=(\alpha)P可得：B=APB=AP因此：P=A−1B\boxed{P=A^{-1}B}可用初等行变换求：(A∣B)⟶(E∣P)(A\mid B)\longrightarrow (E\mid P)即增广矩阵右半部分就是过渡矩阵 PP。
在上面的定义下，过渡矩阵应写成 P=A−1BP=A^{-1}B。不要把 AA 和 BB 的顺序写反。
若从基 AA 到基 BB 的过渡矩阵为 PP，从基 BB 到基 CC 的过渡矩阵为 QQ，则从基 AA 到基 CC 的过渡矩阵为：PQPQ
连续过渡按照“先经过的矩阵写在左边”的顺序相乘，即 A→B→CA\to B\to C 对应矩阵乘积 PQPQ。

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施密特正交化

从一组线性无关的向量α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n出发，构造正交向量组 β1,β2,…,βn\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n。先取：β1=α1\beta_1=\alpha_1再构造：β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 -\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2一般地：βk=αk−∑i=1k−1(αk,βi)(βi,βi)βi\beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i这样得到的 β1,β2,…,βn\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n 两两正交。
施密特正交化要求原向量组线性无关。若出现某个 βi=0\beta_i=0，说明分母 (βi,βi)(\beta_i,\beta_i) 不能用于继续计算，原向量组也不满足正交化前提。
对每个正交向量进行单位化：ei=βi∥βi∥,∥βi∥=(βi,βi)e_i=\frac{\beta_i}{\lVert\beta_i\rVert}, \qquad \lVert\beta_i\rVert=\sqrt{(\beta_i,\beta_i)}则e1,e2,…,ene_1,e_2,\dots,e_n就是标准正交基。
正交化得到的是两两正交的向量组；再单位化后，才得到标准正交基。
  • 若 Q=(e1,e2,…,en)Q=(e_1,e_2,\dots,e_n) 的列向量构成标准正交基，则：
QTQ=EQ^TQ=E即 QQ 是正交矩阵。
  • 在标准正交基下，向量 ξ\xi 的坐标为：
ξ=∑i=1n(ξ,ei)ei\xi=\sum_{i=1}^n(\xi,e_i)e_i也就是说，第 ii 个坐标就是 (ξ,ei)(\xi,e_i)。
  • 若新基是标准正交基，则从旧基到新基的过渡矩阵是正交矩阵，满足：
P−1=PTP^{-1}=P^T
标准正交基的优势是坐标可以直接用内积计算，不需要求解线性方程组。
Last modified on October 8, 2026