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本章从特征值与特征向量的定义出发，先理解不同特征值对应特征向量的线性无关性，再落到相似对角化与实对称矩阵的正交对角化；常用特征值公式集中放在二级结论。
复习主线：会算（特征值、特征向量）→ 会判（能否相似对角化）→ 会用（实对称矩阵正交对角化）；“会推”的公式见二级结论。

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特征值与特征向量的定义

设 AA 为 nn 阶矩阵，若存在数 λ\lambda 和非零向量 α\alpha，使得Aα=λα,α≠0A\alpha=\lambda\alpha,\qquad \alpha\ne0则称 λ\lambda 是 AA 的特征值，α\alpha 是 AA 对应于 λ\lambda 的特征向量。求特征值：解特征方程∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0求特征向量：对每个特征值 λ\lambda，解齐次方程组(A−λE)α=0,α≠0(A-\lambda E)\alpha=0,\qquad \alpha\ne0其基础解系就是对应于 λ\lambda 的一组线性无关特征向量。
特征向量必须是非零向量，因此 (A−λE)α=0(A-\lambda E)\alpha=0 的基础解系不能包含零向量。同一个特征值对应的特征向量有无穷多个，它们构成一个解空间（去掉零向量）。
常用矩阵（kAkA、AmA^{m}、f(A)f(A)、A−1A^{-1}、A∗A^{*}、ATA^{\mathrm{T}}、P−1APP^{-1}AP）的特征值，以及特征值的和与积，见特征值与二次型。

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不同特征值对应的特征向量线性无关

设 λ1,λ2,⋯ ,λm\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m 是矩阵 AA 的 mm 个互不相同的特征值，α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m 分别是对应的特征向量，则α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m线性无关。
这是“不同特征值对应的特征向量线性无关”的标准结论，也是判断矩阵能否相似对角化的重要工具。
对特征值的个数 mm 作归纳。m=1m=1 时：α1≠0\alpha_1\ne0，单个非零向量线性无关，结论成立。归纳假设：m−1m-1 个互不相同特征值对应的特征向量线性无关。下面证明 mm 个的情形。设k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0两边左乘 A−λmEA-\lambda_m E，并利用 Aαi=λiαiA\alpha_i=\lambda_i\alpha_i，得∑i=1m−1ki(λi−λm)αi=0\sum_{i=1}^{m-1}k_i(\lambda_i-\lambda_m)\alpha_i=0由归纳假设，α1,⋯ ,αm−1\alpha_1,\cdots,\alpha_{m-1} 线性无关，因此ki(λi−λm)=0,i=1,⋯ ,m−1k_i(\lambda_i-\lambda_m)=0,\qquad i=1,\cdots,m-1又 λi≠λm\lambda_i\ne\lambda_m，所以k1=k2=⋯=km−1=0k_1=k_2=\cdots=k_{m-1}=0代回原式得 kmαm=0k_m\alpha_m=0；由 αm≠0\alpha_m\ne0 得 km=0k_m=0。故k1=k2=⋯=km=0k_1=k_2=\cdots=k_m=0即 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m 线性无关。
证明的关键动作是“左乘 A−λmEA-\lambda_m E”：它把 αm\alpha_m 消掉，只留下前 m−1m-1 项，从而可以套用归纳假设。
若 nn 阶矩阵 AA 有 nn 个互不相同的特征值，则 AA 一定可以相似对角化。
反过来不成立：有重特征值也可能相似对角化，只要每个特征值对应的线性无关特征向量个数足够。

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相似矩阵与相似对角化

若存在可逆矩阵 PP，使得B=P−1APB=P^{-1}AP则称 AA 与 BB 相似，记作 A∼BA\sim B。相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹和秩。
相似矩阵的特征多项式相同，因此特征值（含重数）相同；但特征向量一般不保持相同，而是按 P−1αP^{-1}\alpha 对应。
若存在可逆矩阵 PP，使得P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda其中 Λ\Lambda 为对角矩阵，则称 AA 可相似对角化。此时 Λ\Lambda 的对角元素就是 AA 的特征值，PP 的列向量就是对应的线性无关特征向量。
相似对角化的本质：找到一组由特征向量组成的基，使 AA 在这组基下成为对角矩阵。
  • AA 有 nn 个互不相同的特征值，则 AA 一定可相似对角化（充分条件）。
  • AA 可相似对角化，当且仅当 AA 有 nn 个线性无关的特征向量（充要条件）。
  • 等价地，对每个特征值，其几何重数等于代数重数。
其中几何重数为 n−r(A−λiE)n-r(A-\lambda_i E)，即对应线性无关特征向量的个数；代数重数是 λi\lambda_i 在特征方程中的重数。
“有 nn 个特征值”不等于“有 nn 个互不相同的特征值”。重特征值对应的线性无关特征向量可能不够 nn 个，此时不能相似对角化。
  1. 解 ∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0，求出全部特征值。
  2. 对每个特征值 λi\lambda_i，解 (A−λiE)x=0(A-\lambda_i E)x=0，求基础解系。
  3. 若共有 nn 个线性无关的特征向量，令 P=(α1,α2,⋯ ,αn)P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)，则
P−1AP=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)
写 PP 时，列向量的顺序必须与 Λ\Lambda 中特征值的顺序一一对应。

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实对称矩阵

若 AA 为实对称矩阵，即AT=AA^{\mathrm{T}}=A则：
  1. AA 的全部特征值都是实数。
  2. 不同特征值对应的特征向量必定正交。
  3. 同一特征值对应的特征子空间可以选取正交基。
  4. AA 一定可以正交对角化。
正交对角化公式为QTAQ=Q−1AQ=Λ,QTQ=EQ^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda,\qquad Q^{\mathrm{T}}Q=E其中 QQ 为正交矩阵，满足 Q−1=QTQ^{-1}=Q^{\mathrm{T}}。
实对称矩阵把“不同特征值对应的特征向量线性无关”加强为“正交”，这是二次型能用正交变换化为标准形的根本原因。
设 AT=AA^{\mathrm{T}}=A，α,β\alpha,\beta 分别对应不同特征值 λ,μ\lambda,\mu，即Aα=λα,Aβ=μβ,λ≠μA\alpha=\lambda\alpha,\qquad A\beta=\mu\beta,\qquad \lambda\ne\mu因为 AT=AA^{\mathrm{T}}=A，所以(Aα)Tβ=αTATβ=αTAβ(A\alpha)^{\mathrm{T}}\beta=\alpha^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}\beta=\alpha^{\mathrm{T}}A\beta一方面(Aα)Tβ=(λα)Tβ=λαTβ(A\alpha)^{\mathrm{T}}\beta=(\lambda\alpha)^{\mathrm{T}}\beta=\lambda\alpha^{\mathrm{T}}\beta另一方面αTAβ=αT(μβ)=μαTβ\alpha^{\mathrm{T}}A\beta=\alpha^{\mathrm{T}}(\mu\beta)=\mu\alpha^{\mathrm{T}}\beta因此λαTβ=μαTβ\lambda\alpha^{\mathrm{T}}\beta=\mu\alpha^{\mathrm{T}}\beta即(λ−μ)αTβ=0(\lambda-\mu)\alpha^{\mathrm{T}}\beta=0由 λ≠μ\lambda\ne\mu，得αTβ=0\alpha^{\mathrm{T}}\beta=0即 α\alpha 与 β\beta 正交。
证明只用了“实对称”这一条件把 αTAβ\alpha^{\mathrm{T}}A\beta 的两种算法接起来，是“同一式子两种算法”的典型用法。
实矩阵 AA 可正交相似对角化为实对角矩阵，当且仅当 AA 为实对称矩阵。这是因为若 QTAQ=ΛQ^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda 且 QQ 正交，则 A=QΛQTA=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}，从而 AT=AA^{\mathrm{T}}=A。
  1. 解 ∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0，求出全部特征值。
  2. 对每个特征值求基础解系。
  3. 对同一特征值对应的特征向量作施密特正交化；不同特征值对应的特征向量已经正交。
  4. 将所有特征向量单位化，得到标准正交特征向量组。
  5. 以它们为列构成正交矩阵 QQ，则
Q−1AQ=QTAQ=ΛQ^{-1}AQ=Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda
只把特征向量正交化而不单位化，得到的矩阵只是一般的可逆矩阵，不是正交矩阵。题目要求“正交矩阵”时，必须完成第 4 步。
本章的公式速记与跨章结论见特征值与二次型。
Last modified on October 28, 2026