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本页汇总第 5、6 章中适合独立成条的公式与判定。第 5 章保留“定义—线性无关—对角化—实对称”的主线，第 6 章保留“二次型—标准形—惯性定理—正定”的主线；这里的结论用于做题时快速调用。
三条主线：特征值怎么变 → 二次型矩阵怎么变（相似还是合同）→ 正定性怎么判。每条都先看条件，再套公式。

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一、常用矩阵的特征值

设 Aα=λαA\alpha=\lambda\alpha，其中 α≠0\alpha\ne0，则下表成立：其中 mm 为正整数，ff 为多项式。
前六行是“同一个特征向量 α\alpha 不变，特征值按同样规则变”；后两行只保证特征值相同，特征向量要另算。
  • A−1A^{-1} 与 A∗A^* 的公式都要求 AA 可逆，即 λ≠0\lambda\ne0 且 ∣A∣≠0\vert A\vert\ne0。
  • ATA^T 与 AA 的特征值相同，但特征向量不一定相同。
  • P−1APP^{-1}AP 的特征值与 AA 相同，但对应的特征向量要左乘 P−1P^{-1}。
  • f(A)f(A) 的特征值是 f(λ)f(\lambda)，但 f(A)f(A) 的特征向量仍是 α\alpha；不要把它和“B=p(A)B=p(A)”混淆。
若 λ=0\lambda=0，则 A−1A^{-1} 与 A∗A^* 的特征值公式失效。此时 AA 不可逆，A∗A^* 的特征值不能再用 ∣A∣/λ\vert A\vert/\lambda 计算。

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二、特征值的和与积

设 nn 阶矩阵 AA 的 nn 个特征值为 λ1,λ2,…,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n（按重数计算），则∑i=1nλi=tr⁡(A)\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\operatorname{tr}(A)∏i=1nλi=∣A∣\prod_{i=1}^{n}\lambda_i=\vert A\vert其中 tr⁡(A)\operatorname{tr}(A) 是矩阵的迹，即主对角线元素之和。
这两个结论常用来检验特征值算得是否正确，也可以在已知部分特征值时反求另一个特征值或待定参数。
  • 验算：算出特征值后，先加一遍看是否等于迹，再乘一遍看是否等于行列式。
  • 反求参数：已知一个特征值或特征值之和/积，可以反解矩阵中的待定常数。
  • 判断可逆：∣A∣=∏λi≠0⇔\vert A\vert=\prod\lambda_i\ne0\Leftrightarrow 所有特征值都不为零。
特征值必须按重数计算。只写“互不相同的特征值”求和、求积，会漏掉重根。

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三、单位化与否：相似对角化与合同对角化

设 ξ1,…,ξn\xi_1,\ldots,\xi_n 是实对称矩阵 AA 的两两正交特征向量，对应特征值为 λ1,…,λn\lambda_1,\ldots,\lambda_n。令qi=ξi∥ξi∥,Q=(q1,…,qn)q_i=\frac{\xi_i}{\Vert\xi_i\Vert},\qquad Q=(q_1,\ldots,q_n)则 QQ 为正交矩阵：QTQ=E,Q−1=QTQ^TQ=E,\qquad Q^{-1}=Q^T且QTAQ=diag(λ1,…,λn)Q^TAQ=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)作正交变换 x=Qyx=Qy，二次型化为f=λ1y12+⋯+λnyn2f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2
同一特征值对应多个特征向量时，要先在该特征子空间内作施密特正交化，再单位化，才能得到标准正交特征向量组。
仍取两两正交的特征向量 ξ1,…,ξn\xi_1,\ldots,\xi_n，但不再单位化，令C=(ξ1,…,ξn),di=∥ξi∥2C=(\xi_1,\ldots,\xi_n),\qquad d_i=\Vert\xi_i\Vert^2由两两正交，得CTC=diag(d1,…,dn)C^TC=\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n)又因为 Aξi=λiξiA\xi_i=\lambda_i\xi_i，即AC=Cdiag(λ1,…,λn)AC=C\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)所以C−1AC=diag(λ1,…,λn)C^{-1}AC=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)但二次型变换用的是 CTACC^TAC：CTAC=CTCdiag(λ1,…,λn)=diag(λ1d1,…,λndn)C^TAC=C^TC\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) =\mathrm{diag}(\lambda_1d_1,\ldots,\lambda_nd_n)作变换 x=Cyx=Cy，二次型化为f=λ1d1y12+⋯+λndnyn2f=\lambda_1d_1y_1^2+\cdots+\lambda_nd_ny_n^2
这个公式要求特征向量两两正交。若特征向量只是线性无关而不正交，则 CTCC^TC 不是对角矩阵，CTACC^TAC 一般也不是对角矩阵。
对由线性无关特征向量组成的矩阵 CC，无论是否单位化，都有C−1AC=diag(λ1,…,λn)C^{-1}AC=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)这是相似对角化，对角元是特征值。但二次型 xTAxx^TAx 在 x=Cyx=Cy 下变为xTAx=yT(CTAC)yx^TAx=y^T(C^TAC)y用的是合同变换 CTACC^TAC，不是相似变换 C−1ACC^{-1}AC。正交情形：若 C=QC=Q 为正交矩阵，则 QT=Q−1Q^T=Q^{-1}，两种变换重合：QTAQ=Q−1AQ=diag(λi)Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\mathrm{diag}(\lambda_i)一般正交特征向量情形：若 CC 的列两两正交但不单位化，则 CTACC^TAC 的对角元是 λi∥ξi∥2\lambda_i\Vert\xi_i\Vert^2，一般不等于 λi\lambda_i。
相似看 C−1ACC^{-1}AC，合同看 CTACC^TAC；只有 QQ 正交时两者相同。题目要“正交变换”或“标准形系数为特征值”，必须单位化。
不单位化时，标准形系数不再是特征值。若题目要求“用正交变换化标准形”，必须单位化；若只要求“用可逆变换化标准形”，可以不单位化，但系数会随特征向量的长度改变。

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四、正定矩阵的常用性质

设 AA 为实对称正定矩阵，则：
  • 所有特征值均大于零。
  • 行列式 ∣A∣>0\vert A\vert>0，因此 AA 可逆。
  • 主对角线元素均大于零。
  • A−1A^{-1} 仍为正定矩阵。
  • 对任意可逆矩阵 CC，CTACC^TAC 仍正定。
  • AA 的任意主子矩阵仍为正定矩阵。
正定矩阵的合同变换、求逆、取主子矩阵都保持正定性，这些性质常用于证明题和选择题。

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五、乘积矩阵的正定性与惯性指数

设 AA 为 m×nm\times n 实矩阵，r(A)=rr(A)=r（秩结论见矩阵运算与秩）。对任意实向量 xx，xTATAx=∥Ax∥2≥0x^TA^TAx=\Vert Ax\Vert^2\ge0所以 ATAA^TA（nn 阶）与 AATAA^T（mm 阶）都是实对称半正定矩阵。正定的条件ATA 正定⇔r(A)=n(A 列满秩)A^TA\text{ 正定}\Leftrightarrow r(A)=n\quad(A\text{ 列满秩})AAT 正定⇔r(A)=m(A 行满秩)AA^T\text{ 正定}\Leftrightarrow r(A)=m\quad(A\text{ 行满秩})因为 xTATAx=0⇔Ax=0x^TA^TAx=0\Leftrightarrow Ax=0，所以 ATAA^TA 正定等价于 Ax=0Ax=0 只有零解，即 r(A)=nr(A)=n；同理 AATAA^T 正定等价于 r(A)=mr(A)=m。惯性指数p(ATA)=r,q(ATA)=0,n0(ATA)=n−rp(A^TA)=r,\qquad q(A^TA)=0,\qquad n_0(A^TA)=n-rp(AAT)=r,q(AAT)=0,n0(AAT)=m−rp(AA^T)=r,\qquad q(AA^T)=0,\qquad n_0(AA^T)=m-r
行满秩 ⇒AAT\Rightarrow AA^T 正定；列满秩 ⇒ATA\Rightarrow A^TA 正定。两个方向不要记反。
  • 注意矩阵的阶数：ATAA^TA 是 nn 阶，AATAA^T 是 mm 阶。
  • 行满秩时，若 m<nm<n，则 ATAA^TA 不是正定矩阵，它还有 n−mn-m 个零特征值。
  • 列满秩时，若 n<mn<m，则 AATAA^T 也不是正定矩阵。
  • ATAA^TA 与 AATAA^T 的秩都等于 r(A)r(A)，但正定与否取决于阶数是否与秩相等。
“ATAA^TA 半正定”是永远成立的；“ATAA^TA 正定”需要列满秩。不要把半正定直接升级成正定。

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六、考前速记

最重要的逻辑关系：不同特征值对应的特征向量必定线性无关；若矩阵还是实对称矩阵，那么不同特征值对应的特征向量进一步相互正交。正是实对称矩阵的这一性质，保证了二次型可以通过正交变换化为标准形。
  • AA 有 nn 个互不相同的特征值 ⇒\Rightarrow AA 可相似对角化。
  • AA 可相似对角化 ⇔\Leftrightarrow AA 有 nn 个线性无关的特征向量。
  • 一般矩阵可相似对角化，不代表它一定可以正交对角化。
  • 实矩阵可正交相似对角化为实对角矩阵 ⇔\Leftrightarrow 它是实对称矩阵。
  • 惯性定理：无论用配方法还是正交变换法，正、负惯性指数都不变。
  • 判断两个二次型是否合同，只需比较正、负惯性指数；判断正定，只需看正惯性指数是否等于 nn。
相似看 C−1ACC^{-1}AC，合同看 CTACC^TAC。只有 QQ 正交时二者相同；未单位化时 CTACC^TAC 的对角元是 λi∥ξi∥2\lambda_i\Vert\xi_i\Vert^2，不是特征值。
本页的“母体”在第 5 章与第 6 章：特征值定义、相似对角化判定、实对称矩阵正交对角化、标准形与惯性定理、正定判别。做题时先回正文确认条件，再套用本页结论。
Last modified on October 28, 2026