Skip to main content
本章先建立二次型与实对称矩阵的对应关系，再比较配方法与正交变换法两条化标准形的路线，最后用惯性定理把标准形、规范形与正定性串起来。
复习主线：写出二次型的矩阵 AA → 选择配方法或正交变换法化标准形 → 区分 C−1ACC^{-1}AC 与 CTACC^{\mathrm{T}}AC → 用惯性指数看本质 → 用特征值或顺序主子式判断正定性。

​
二次型的定义与矩阵表示

含有 nn 个变量的二次齐次多项式称为二次型，其矩阵形式为f(x)=xTAxf(x)=x^{\mathrm{T}}Ax其中 AA 可取为实对称矩阵，称为二次型的矩阵。
二次型与实对称矩阵一一对应，因此讨论二次型时，总可以假设其矩阵满足 AT=AA^{\mathrm{T}}=A。
写矩阵时，平方项的系数放在主对角线上，交叉项的系数要平分后放在对称位置。例如f=6x1x2f=6x_1x_2对应矩阵中 a12=a21=3a_{12}=a_{21}=3。再如f=x12+2x22+3x32+4x1x2+6x1x3f=x_1^{2}+2x_2^{2}+3x_3^{2}+4x_1x_2+6x_1x_3对应矩阵为A=(123220303)A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 2 & 0\\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}
交叉项 2aijxixj2a_{ij}x_ix_j 的系数是 2aij2a_{ij}，所以写矩阵时要把系数除以 22。这是二次型写矩阵时最常见的错误。
作可逆线性变换 x=Cyx=Cy（其中 CC 可逆），则f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)yf=x^{\mathrm{T}}Ax=(Cy)^{\mathrm{T}}A(Cy)=y^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AC)y变换后的矩阵为 CTACC^{\mathrm{T}}AC，它与 AA 合同。
二次型化标准形，本质上就是寻找可逆矩阵 CC，使 CTACC^{\mathrm{T}}AC 成为对角矩阵。

​
二次型化标准形的两种方法

考试中若题目要求“用正交变换化标准形”，必须求出正交矩阵 QQ；若只要求“化标准形”，用配方法更省时。
通过配平方消去交叉项，找到适当的可逆线性变换，将二次型化为标准形。配方法得到的变换矩阵 CC 一定可逆，但不一定正交。例：f=x12+4x1x2+3x22f=x_1^{2}+4x_1x_2+3x_2^{2}配方得f=(x1+2x2)2−x22f=(x_1+2x_2)^{2}-x_2^{2}令y1=x1+2x2,y2=x2y_1=x_1+2x_2,\qquad y_2=x_2则f=y12−y22f=y_1^{2}-y_2^{2}反解出 x1=y1−2y2x_1=y_1-2y_2，x2=y2x_2=y_2，故x=(1−201)y=Cyx= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 0 & 1 \end{pmatrix} y=Cy其中 CC 的行列式为 11，所以 CC 可逆；但CTC=(1−2−25)≠EC^{\mathrm{T}}C= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 & 5 \end{pmatrix} \ne E所以 CC 不是正交矩阵。
注意变换方向。若把上面的令写成 y=Cxy=Cx，其中C=(1201)C= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}那么化为 x=Cyx=Cy 时，变换矩阵应取C−1=(1−201)C^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}二次型标准形用的是后者。
当二次型的矩阵 AA 为实对称矩阵时，可利用正交矩阵 QQ 对角化：QTAQ=Λ,QTQ=EQ^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda,\qquad Q^{\mathrm{T}}Q=E令 x=Qyx=Qy，则f(x)=yTΛy=∑i=1nλiyi2f(x)=y^{\mathrm{T}}\Lambda y=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i y_i^{2}其中 QQ 由标准正交特征向量组成，Λ\Lambda 的对角元素为对应特征值。
正交变换法的变换矩阵 QQ 一定可逆，因为 Q−1=QTQ^{-1}=Q^{\mathrm{T}}。但求 QQ 时必须先把特征向量单位化，否则得到的只是一般的可逆变换。
单位化与不单位化的区别、C−1ACC^{-1}AC 与 CTACC^{\mathrm{T}}AC 的对比，见特征值与二次型。

​
相似、合同与正交变换

记忆口诀：
相似看 P−1APP^{-1}AP，合同看 CTACC^{\mathrm{T}}AC，正交看 QTAQQ^{\mathrm{T}}AQ，且 QTQ=EQ^{\mathrm{T}}Q=E。
配方法中的 CC 可以保证可逆，但不保证正交；正交变换法中的 QQ 必须正交，因此一定可逆。
对正交矩阵 QQ，有 Q−1=QTQ^{-1}=Q^{\mathrm{T}}，所以QTAQ=Q−1AQQ^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ这说明正交变换既是合同变换，也是相似变换。
正因为如此，正交变换既能保持二次型的惯性指数（合同），又能保持矩阵的特征值（相似），所以变换后的系数恰好就是 AA 的特征值。

​
标准形、规范形与惯性定理

通过可逆线性变换，将二次型化为只含变量平方项的形式：f=d1y12+d2y22+⋯+dnyn2f=d_1y_1^{2}+d_2y_2^{2}+\cdots+d_ny_n^{2}其中 did_i 不一定为 1,−1,01,-1,0。
用正交变换法得到的标准形中，did_i 就是 AA 的特征值；用配方法得到的标准形中，did_i 不一定是特征值，但正负个数不变。
通过可逆线性变换，将二次型化为系数仅为 1,−1,01,-1,0 的形式：f=y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yp+q2f=y_1^{2}+\cdots+y_p^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots-y_{p+q}^{2}其余 n−p−qn-p-q 项系数为零。
规范形是标准形的进一步化简：把正系数都变成 11，负系数都变成 −1-1，零系数保持为零。
二次型经过可逆线性变换后，正、负、零惯性指数保持不变。对于实对称矩阵 AA：
  • 正惯性指数 pp：正特征值的个数。
  • 负惯性指数 qq：负特征值的个数。
  • 零惯性指数 n0n_0：零特征值的个数。
以上均按重数计算。
由此可得：两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正、负惯性指数分别相同（等价地，秩相同且符号差 p−qp-q 相同）。

​
正定矩阵

若 AA 为实对称矩阵，且对任意非零向量 xx，均有xTAx>0x^{\mathrm{T}}Ax>0则称 AA 为正定矩阵，对应的二次型称为正定二次型。
正定矩阵的前提是实对称矩阵。判断正定之前，先确认矩阵是否实对称。
对于实对称矩阵 AA，以下条件等价：方法一：特征值判别λi>0,i=1,2,⋯ ,n\lambda_i>0,\qquad i=1,2,\cdots,n即全部特征值均大于零。方法二：顺序主子式判别Δ1>0,Δ2>0,⋯ ,Δn>0\Delta_1>0,\quad \Delta_2>0,\quad\cdots,\quad \Delta_n>0其中 Δk\Delta_k 是左上角 kk 阶主子矩阵的行列式。方法三：二次型判别xTAx>0,∀x≠0x^{\mathrm{T}}Ax>0,\qquad \forall x\ne0
还有一条常用等价说法：AA 正定 ⇔\Leftrightarrow AA 与单位矩阵 EE 合同 ⇔\Leftrightarrow 存在可逆矩阵 CC，使 A=CTCA=C^{\mathrm{T}}C。
正定矩阵的性质清单，以及 ATAA^{\mathrm{T}}A、AATAA^{\mathrm{T}} 的正定条件与惯性指数，见特征值与二次型。
  • 主对角线元素均大于零，不一定正定。
  • 仅有 ∣A∣>0|A|>0，不能判定矩阵正定。
  • 顺序主子式法要求全部顺序主子式均大于零，缺一不可。
  • 以上正定判别均针对实对称矩阵。
判断正定时，优先用“特征值全正”或“全部顺序主子式为正”；只有行列式大于零或只有主对角线元素大于零，都不足以推出正定。
本章的公式速记与补充结论见特征值与二次型。
Last modified on October 28, 2026