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本章整理行列式中的两个高频考点：范德蒙德行列式与克拉默法则。复习时先掌握公式结构，再顺着归纳和逆矩阵两条证明主线理解结论。
范德蒙德行列式的核心是“第一行全为 1，后面每一行都是上一行的对应次幂”；克拉默法则的核心是“先判断系数行列式是否非零，再用替换列后的行列式求每个未知数”。

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范德蒙德行列式

标准形式为：Vn=∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣V_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}结论为：Vn=∏1≤i<j≤n(xj−xi)V_n=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)即所有“下标大的减下标小的”的乘积。
有时范德蒙德行列式会以转置形式出现，但结论不变。
基础情形：n=2n=2V2=∣11x1x2∣=x2−x1V_2= \begin{vmatrix} 1 & 1\\ x_1 & x_2 \end{vmatrix} =x_2-x_1结论成立。归纳步：假设 n−1n-1 阶范德蒙德行列式成立，证明 nn 阶也成立。对 VnV_n 从最后一行开始，依次用上一行的 x1x_1 倍去减下一行：
  1. 第 nn 行减去第 n−1n-1 行的 x1x_1 倍；
  2. 第 n−1n-1 行减去第 n−2n-2 行的 x1x_1 倍；
  3. 依次进行，直到第 22 行减去第 11 行的 x1x_1 倍。
得到：Vn=∣11⋯10x2−x1⋯xn−x10x2(x2−x1)⋯xn(xn−x1)⋮⋮⋮0x2n−2(x2−x1)⋯xnn−2(xn−x1)∣V_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1\\ 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix}按第一列展开：Vn=∣x2−x1x3−x1⋯xn−x1x2(x2−x1)x3(x3−x1)⋯xn(xn−x1)⋮⋮⋮x2n−2(x2−x1)x3n−2(x3−x1)⋯xnn−2(xn−x1)∣V_n= \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 & \cdots & x_n-x_1\\ x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix}从第 jj 列提取公因子 (xj+1−x1)(x_{j+1}-x_1)，得到：Vn=(x2−x1)(x3−x1)⋯(xn−x1)∣11⋯1x2x3⋯xn⋮⋮⋮x2n−2x3n−2⋯xnn−2∣V_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_2 & x_3 & \cdots & x_n\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \end{vmatrix}右边行列式正好是 n−1n-1 阶范德蒙德行列式：Vn−1=∏2≤i<j≤n(xj−xi)V_{n-1}=\prod_{2\le i<j\le n}(x_j-x_i)因此：Vn=(x2−x1)(x3−x1)⋯(xn−x1)∏2≤i<j≤n(xj−xi)V_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{2\le i<j\le n}(x_j-x_i)即：Vn=∏1≤i<j≤n(xj−xi)V_n=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)证明完成。
归纳法的关键是利用相邻两行作差，先制造第一列中的零，再按第一列展开并提取各列公因子。
  • 范德蒙德行列式的关键是第一行全是 1，后面每行是前面一行的对应次幂。
  • 有时会以转置形式出现，结论不变。
  • 如果每列有公因子，可以先提取公因子，再化成标准范德蒙德形式。
  • 常见变形：
∣111abca2b2c2∣=(b−a)(c−a)(c−b)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} =(b-a)(c-a)(c-b)
使用结论前要先确认元素排列顺序。若行列式的行、列顺序与标准形式不同，应通过转置或换列化成标准形式，再确定每个因子的正负号。

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克拉默法则

设 nn 元线性方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}写成矩阵形式：Ax=bAx=b其中：A=(aij)n×n,x=(x1,⋯ ,xn)T,b=(b1,⋯ ,bn)TA=(a_{ij})_{n\times n},\quad x=(x_1,\cdots,x_n)^T,\quad b=(b_1,\cdots,b_n)^T若系数行列式 ∣A∣≠0|A|\ne 0，则方程组有唯一解：xj=∣Aj∣∣A∣,j=1,2,⋯ ,nx_j=\frac{|A_j|}{|A|},\quad j=1,2,\cdots,n其中，AjA_j 是把 AA 的第 jj 列换成常数列 bb 后得到的矩阵。
记忆方式：求第 jj 个未知数时，就用常数列替换系数矩阵的第 jj 列，再除以原系数行列式。
余子式与代数余子式：
  • 余子式 MijM_{ij}：删除第 ii 行、第 jj 列后剩下的 n−1n-1 阶行列式；
  • 代数余子式 AijA_{ij}：带符号的余子式，Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}。
两者一般不等，符号可能不同。克拉默法则和伴随矩阵展开中使用的是代数余子式，不是单独的余子式。
因为 ∣A∣≠0|A|\ne 0，所以 AA 可逆。方程组 Ax=bAx=b 两边左乘 A−1A^{-1}：x=A−1bx=A^{-1}b又因为：A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*所以：x=1∣A∣A∗bx=\frac{1}{|A|}A^*b其中 A∗A^* 是伴随矩阵。伴随矩阵的定义等价于：(A∗)jk=Akj(A^*)_{jk}=A_{kj}也就是说，伴随矩阵第 jj 行第 kk 列的元素，是原矩阵元素 akja_{kj} 的代数余子式。这里使用的是代数余子式，不要漏掉符号因子 (−1)k+j(-1)^{k+j}。写成分量形式：xj=1∣A∣∑k=1nAkjbkx_j=\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^n A_{kj}b_k其中 AkjA_{kj} 是元素 akja_{kj} 的代数余子式。而∑k=1nbkAkj\sum_{k=1}^n b_k A_{kj}正好等于把 AA 的第 jj 列换成 bb 后所得矩阵 AjA_j 按第 jj 列展开的行列式：∣Aj∣=∑k=1nbkAkj|A_j|=\sum_{k=1}^n b_k A_{kj}因此：xj=∣Aj∣∣A∣x_j=\frac{|A_j|}{|A|}证明完成。
证明主线：∣A∣≠0⇒A|A|\ne 0\Rightarrow A 可逆 ⇒x=A−1b\Rightarrow x=A^{-1}b ⇒\Rightarrow 用伴随矩阵展开成分量形式 ⇒\Rightarrow 对应替换列后的行列式。
克拉默法则要求：
  1. 方程个数等于未知数个数；
  2. 系数行列式 ∣A∣≠0|A|\ne 0。
它主要用于：
  • 判断唯一解；
  • 理论证明；
  • 低阶方程组求解析解。
当 ∣A∣=0|A|=0 时，克拉默法则失效，需要用秩判断解的情况。
不要把 ∣A∣=0|A|=0 直接等同于“无解”。此时方程组可能无解，也可能有无穷多解。
若 ∣A∣≠0|A|\ne 0，则方程组有唯一解；若 ∣A∣=0|A|=0，则克拉默法则不能使用，应改用秩判断。
Last modified on October 7, 2026