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本页把第 4 章中“方程组与几何图形”的对应关系单独整理。它本质上是秩判定定理的应用，放在方程组正文里会让“解的结构”主线被几何分类打断。
统一思路：把几何对象写成线性方程组，比较系数矩阵与增广矩阵的秩。秩决定“有没有公共点、公共点是点还是线”，行列式只负责判断“有没有唯一公共点”。

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一、三个平面的位置关系

三个平面{a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases}对应系数矩阵 A=(aij)3×3A=(a_{ij})_{3\times3} 与增广矩阵 Aˉ=(A∣d)\bar A=(A\mid d)。方程组有解当且仅当r(A)=r(Aˉ)r(A)=r(\bar A)按秩分类，位置关系如下：若只看系数行列式：
  • 当 ∣A∣≠0\vert A\vert\ne0 时，三个平面有唯一公共点；
  • 当 ∣A∣=0\vert A\vert=0 时，不存在唯一公共点，可能有无穷多个公共点，也可能没有公共点。
∣A∣=0\vert A\vert=0 只说明三个平面的法向量线性相关，不能直接推出三个平面平行。具体是交于一条直线、重合还是无公共点，仍要看 r(A)r(A) 与 r(Aˉ)r(\bar A)。
以上结论按三个平面方程都具有非零法向量的通常情形讨论。
  • 把“行列式为零”等同于“无解”：∣A∣=0\vert A\vert=0 只说明没有唯一解，仍可能有无穷多解。
  • 把“法向量线性相关”等同于“平面平行”：三个平面可能交于一条直线，也可能重合。
  • 只看 r(A)r(A) 不看 r(Aˉ)r(\bar A)：r(A)=2r(A)=2 时，若 r(Aˉ)=3r(\bar A)=3，三个平面没有公共点；只有 r(Aˉ)=2r(\bar A)=2 才交于一条直线。
判断顺序：先算 r(A)r(A) 与 r(Aˉ)r(\bar A)，再看是否相等；相等时秩是几，公共点就是几维的。

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二、平面内三条直线的位置关系

平面内三条直线aix+biy+ci=0,i=1,2,3a_ix+b_iy+c_i=0,\qquad i=1,2,3可写成 aix+biy=−cia_ix+b_iy=-c_i。构造系数矩阵与增广矩阵：M=(a1b1a2b2a3b3),Mˉ=(a1b1−c1a2b2−c2a3b3−c3)M= \begin{pmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2\\ a_3&b_3 \end{pmatrix}, \qquad \bar M= \begin{pmatrix} a_1&b_1&-c_1\\ a_2&b_2&-c_2\\ a_3&b_3&-c_3 \end{pmatrix}三条直线有公共点当且仅当r(M)=r(Mˉ)r(M)=r(\bar M)其中 r(M)r(M) 只能是 11 或 22：
  • 若 r(M)=r(Mˉ)=2r(M)=r(\bar M)=2，三条直线交于唯一一点；
  • 若 r(M)=r(Mˉ)=1r(M)=r(\bar M)=1，三条直线重合。
当 r(M)=2r(M)=2 时，也可以用三阶行列式判定：∣Mˉ∣=0\vert\bar M\vert=0
∣Mˉ∣=0\vert\bar M\vert=0 不能直接推出三条直线共点。三条平行但不重合的直线就满足 ∣Mˉ∣=0\vert\bar M\vert=0，此时 r(M)=1r(M)=1、r(Mˉ)=2r(\bar M)=2，三条直线没有公共点。
两条直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0a_1x+b_1y+c_1=0 \quad\text{与}\quad a_2x+b_2y+c_2=0平行或重合，当且仅当两个法向量线性相关：a1b2−a2b1=0a_1b_2-a_2b_1=0进一步区分（用“成比例”表述，避免分母为零）：
  • 若 (a1,b1,c1)(a_1,b_1,c_1) 与 (a2,b2,c2)(a_2,b_2,c_2) 成比例，则两直线重合；
  • 若 (a1,b1)(a_1,b_1) 与 (a2,b2)(a_2,b_2) 成比例，但 (a1,b1,c1)(a_1,b_1,c_1) 与 (a2,b2,c2)(a_2,b_2,c_2) 不成比例，则两直线平行但不重合。
法向量线性相关只给出“平行或重合”；要区分两者，还要看常数项是否成同一比例。

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三、速记表

本页只讨论“位置关系”的判定。方程组解的结构、基础解系与同解判定，仍以第 4 章为主线。
Last modified on October 28, 2026