第 2 章矩阵 - 考研笔记

本章整理矩阵中容易混淆的等价、相似与合同关系，并归纳伴随矩阵、矩阵的秩和分块矩阵三个核心考点。复习时先建立概念对照，再分别记忆公式、判定条件和常见证明。

复习主线：先分清“等价、相似、合同”各自的变换形式和判定条件，再掌握伴随矩阵的秩、矩阵秩的常用不等式，以及分块矩阵的行列式与逆。

矩阵等价、相似与合同

三者对比

概念	定义	判定条件	不变量	关系
等价	存在可逆矩阵 $P,Q$ ，使得 $PAQ=B$	$r(A)=r(B)$	秩	等价只要求秩相同
相似	存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$	特征值相同、行列式相同、迹相同、秩相同等	特征值、迹、行列式、秩	相似一定等价，但等价不一定相似
合同	存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^TAP=B$	正负惯性指数相同	正负惯性指数、秩	合同一定等价，但等价不一定合同

相似与合同的常见必要条件可以用于排除选项，但通常不能直接作为充分条件。实对称矩阵是许多结论成立的常见前提。

矩阵等价

定义若存在可逆矩阵

P,Q

，使得

PAQ=B

则称

A

与

B

等价。判定

A\cong B\Leftrightarrow r(A)=r(B)

等价标准形任何矩阵

A

都等价于：

\begin{pmatrix} E_r & O\\ O & O \end{pmatrix}

其中

r=r(A)

。考研注意

等价是最弱的等价关系。
同型矩阵等价的充要条件是秩相等。
等价不保持特征值，也不保持正定性。

矩阵相似

定义若存在可逆矩阵

P

，使得

P^{-1}AP=B

则称

A

与

B

相似。判定相似的必要条件包括：

秩相同；
行列式相同；
迹相同；
特征多项式相同；
特征值相同。

但以上条件通常只是必要条件，不是充分条件。可对角化条件

A

可对角化

\Leftrightarrow

A

有

n

个线性无关的特征向量。常用充分条件：

$n$ 阶矩阵有 $n$ 个互不相同的特征值；
实对称矩阵一定可对角化。

考研注意

相似一定等价，但等价不一定相似。
相似保持特征值、迹、行列式、秩。
相似不保持正定性。

矩阵合同

定义若存在可逆矩阵

P

，使得

P^TAP=B

则称

A

与

B

合同。判定实对称矩阵合同的充要条件是正、负惯性指数分别相同。

\text{正惯性指数相同，负惯性指数相同}

等价地：

\text{正特征值个数相同，负特征值个数相同}

考研注意

合同一定等价，但等价不一定合同。
合同保持秩、正负惯性指数。
合同不保持特征值。
实对称矩阵一定可正交对角化，因此一定合同于对角矩阵。

三者关系

\text{相似}\Rightarrow\text{等价}

\text{合同}\Rightarrow\text{等价}

但反过来一般不成立：

\text{等价}\nRightarrow\text{相似}

\text{等价}\nRightarrow\text{合同}

\text{相似}\nRightarrow\text{合同}

\text{合同}\nRightarrow\text{相似}

特殊情形

实对称矩阵：相似与合同有密切联系。
若 $A$ 与 $B$ 相似且都是实对称矩阵，则它们也合同。
若 $A$ 与 $B$ 合同且都是实对称矩阵，则它们不一定相似，但正负惯性指数相同。

先判断是否为实对称矩阵，再判断使用相似还是合同；等价只比较秩，条件最弱。

矩阵核心考点

伴随矩阵

定义

A^*=(A_{ji})_{n\times n}

其中

A_{ji}

是元素

a_{ji}

的代数余子式。核心公式

AA^*=A^*A=|A|E

|A^*|=|A|^{n-1}

(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A

(A^*)^T=(A^T)^*

(AB)^*=B^*A^*

伴随矩阵的秩

r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)<n-1 \end{cases}

伴随矩阵的秩由原矩阵的秩直接决定，注意三个区间的边界分别为

r(A)=n

、

r(A)=n-1

和

r(A)<n-1

。

证明：当 $r(A)=n-1$ 时， $r(A^*)=1$ 第一步，证明

r(A^*)\ge 1

。因为

r(A)=n-1

，所以

A

中存在一个

n-1

阶非零子式。也就是说，至少有一个代数余子式

A_{ij}\ne 0

。而伴随矩阵

A^*

的元素就是这些代数余子式

A_{ji}

，所以

A^*\ne O

。因此：

r(A^*)\ge 1

第二步，证明

r(A^*)\le 1

。因为

r(A)=n-1<n

，所以

A

不可逆，故：

|A|=0

由伴随矩阵基本公式：

AA^*=|A|E=O

即：

AA^*=O

利用秩的不等式：若

AB=O

，其中

A,B

均为

n

阶矩阵，则

r(A)+r(B)\le n

这里

A

的秩为

n-1

，所以：

r(A)+r(A^*)\le n

即：

(n-1)+r(A^*)\le n

因此：

r(A^*)\le 1

第三步，综合结论。由

r(A^*)\ge 1

且

r(A^*)\le 1

，可得：

r(A^*)=1

证明完成。直观理解

$r(A)=n$ 时， $A$ 可逆， $A^*$ 也可逆，所以 $r(A^*)=n$ 。
$r(A)=n-1$ 时， $A$ 不可逆，但至少有一个 $n-1$ 阶子式非零，所以 $A^*\ne O$ ，秩至少为 1；又因为 $AA^*=O$ ，秩被限制住，所以秩恰好为 1。
$r(A)<n-1$ 时，所有 $n-1$ 阶子式全为 0，所以 $A^*=O$ ，秩为 0。

伴随矩阵秩的证明可以压缩为“非零子式保证下界，

AA^*=O

提供上界”。

矩阵的秩

定义矩阵

A

中非零子式的最高阶数，记作

r(A)

。求法用初等行变换化为行阶梯形，非零行的行数即为秩。重要性质

$0\le r(A)\le \min(m,n)$
$r(A^T)=r(A)$
$r(kA)=r(A)$ ，其中 $k\ne 0$
$r(A+B)\le r(A)+r(B)$
$r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\}$
若 $AB=O$ ，则 $r(A)+r(B)\le n$ ，其中 $A$ 为 $m\times n$ ， $B$ 为 $n\times s$
$r(A)=n\Leftrightarrow A$ 可逆，其中 $A$ 为 $n$ 阶方阵
若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B)$ ， $r(BA)=r(B)$

等价标准形任何矩阵

A

都等价于：

\begin{pmatrix} E_r & O\\ O & O \end{pmatrix}

其中

r

为

A

的秩。

秩的不等式是证明题高频考点，其中

AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n

极为常用；可逆矩阵乘矩阵不改变秩。

分块矩阵

分块运算将矩阵分成若干小块，再按矩阵运算规则进行运算。重要分块技巧

分块对角矩阵的行列式：

|\operatorname{diag}(A_1,A_2,\cdots,A_s)|=|A_1||A_2|\cdots|A_s|

分块对角矩阵的逆：

\operatorname{diag}(A_1,\cdots,A_s)^{-1} = \operatorname{diag}(A_1^{-1},\cdots,A_s^{-1})

分块矩阵的转置：

\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} A^T & C^T\\ B^T & D^T \end{pmatrix}

常见分块矩阵行列式

\begin{vmatrix} A & O\\ C & B \end{vmatrix} =|A||B|

\begin{vmatrix} O & A\\ B & O \end{vmatrix} =(-1)^{mn}|A||B|

其中

A

为

m

阶，

B

为

n

阶。

副对角线分块行列式带有符号

(-1)^{mn}

。这是分块矩阵行列式最常见的失分点。

分块矩阵常用于简化高阶矩阵的行列式、逆矩阵和秩的计算。分块对角矩阵的逆与行列式是高频考点。

​矩阵等价、相似与合同

​矩阵核心考点

矩阵等价、相似与合同

矩阵核心考点