第 1 章微分方程 - 考研笔记

本章整理微分方程的基本术语和常见方程类型。复习时先根据方程结构识别题型，再选择合适的求解方法。重点掌握一阶线性方程、二阶可降阶方程、常系数线性方程和全微分方程。

主复习路线：识别阶数与线性性 → 判定齐次或非齐次 → 选择公式法、降阶法或待定系数法 → 根据初始条件确定特解。

术语解释

阶、齐次与线性

阶：微分方程中未知函数 $y$ 的最高阶导数的阶数称为方程的阶。若方程中最高出现 $y^{(n)}$ ，则为 $n$ 阶微分方程。
齐次：对于线性微分方程，若非齐次项恒为零，即 $a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$ 则称为齐次线性微分方程。对一阶方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 若 $f(x,y)$ 可写成 $\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 的形式，则称为齐次型方程。它与“齐次线性方程”不是同一个概念。
线性：未知函数 $y$ 及其各阶导数都以一次幂出现，且不存在 $y\cdot y'$ 、 $\sin y$ 等非线性项。一般形式为 $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$

“齐次”在不同语境中含义不同：线性方程中的齐次指非齐次项为零；一阶齐次型方程则指右端可写成

y/x

的函数。

常系数、通解与特解

常系数：线性微分方程中未知函数及其导数的系数均为常数，即与自变量 $x$ 无关。例如 $ay''+by'+cy=f(x)$
特解：满足微分方程的一个具体解，通常含确定的常数，不含任意常数。在初值问题中，通过初始条件确定通解中的常数，即可得到特解。
通解：含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解。对于线性方程，通解结构为齐次通解加上一个非齐次特解。

一阶微分方程

一阶线性微分方程

标准形式为：

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

使用常数变易法或公式法求解，通解公式为：

y=e^{-\int P(x)\,dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx+C \right)

给定初始条件

y(x_0)=y_0

时，把它代入通解确定

C

，即可得到特解。

类型一：不显含 y

方程形式为：

y''=f(x,y')

令

p=y'

则

y''=p'

，原方程化为：

p'=f(x,p)

这是一个关于

p

和

x

的一阶方程。求出

p=\varphi(x,C_1)

后再积分：

y=\int \varphi(x,C_1)\,dx+C_2

类型二：不显含 x

方程形式为：

y''=f(y,y')

令

p=y'

则

y''=p\frac{dp}{dy}

原方程化为：

p\frac{dp}{dy}=f(y,p)

这是一个关于

p

和

y

的一阶方程。求出

p=\varphi(y,C_1)

后分离变量：

\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=dx

两边积分即可得到通解。

类型三：不显含 x、y

方程形式为：

y''=f(y')

令

p=y'

则

y''=p'

，方程化为：

p'=f(p)

可分离变量求出

p

与

x

的关系，再由

p=y'

积分，得到

y

。

高阶微分方程

线性方程的通解结构

对于

n

阶非齐次线性微分方程：

a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)

其通解结构为：

y=y_h(x)+y_p(x)

其中，

y_h(x)

是对应齐次方程的通解，含有

n

个任意常数；

y_p(x)

是原非齐次方程的一个特解。

二阶常系数齐次线性微分方程

标准形式为：

ay''+by'+cy=0\qquad(a,b,c\text{ 为常数},\ a\ne 0)

特征方程为：

ar^2+br+c=0

根据特征根的情况，通解形式如下。其中

C_1,C_2

取特定值后，即可得到特解。

特征根情况	通解形式
两个不等实根 $r_1\ne r_2$	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
二重实根 $r_1=r_2=r$	$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
共轭复根 $r_{1,2}=\alpha\pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

二阶常系数非齐次线性微分方程

标准形式为：

ay''+by'+cy=f(x)

通解为对应齐次方程的通解

y_h

加上一个非齐次特解

y^*

：

y=y_h+y^*

情形一：多项式与指数函数的乘积

对应：

f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}

设

P_m(x)

为

m

次多项式，则令特解形式为：

y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}

其中，

Q_m(x)

为

m

次待定多项式，

k

的取法为：

若 $\lambda$ 不是特征根，则 $k=0$ ；
若 $\lambda$ 是单特征根，则 $k=1$ ；
若 $\lambda$ 是重特征根，则 $k=2$ 。对二阶方程，重根即二重根。

情形二：含三角函数与指数函数

若

f(x)=e^{\alpha x}\left[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x\right]

则令特解形式为：

y^*=x^k e^{\alpha x} \left[R_m(x)\cos\beta x+S_m(x)\sin\beta x\right]

其中

m=\max\{l,n\}

R_m(x),S_m(x)

均为

m

次待定多项式，

k

的取法为：

若 $\alpha+i\beta$ 不是特征根，则 $k=0$ ；
若 $\alpha+i\beta$ 是特征根，则 $k=1$ 。此时在二阶方程中必为共轭复根。

重要结论：两个非齐次特解之差

设非齐次方程为：

y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)

若

y_1

和

y_2

都是该非齐次方程的特解，则

y_1-y_2

是对应齐次方程

y''+a(x)y'+b(x)y=0

的一个解。证明由于

y_1,y_2

都是非齐次方程的特解，所以

y_1''+a(x)y_1'+b(x)y_1=f(x)

y_2''+a(x)y_2'+b(x)y_2=f(x)

两式相减：

(y_1''-y_2'')+a(x)(y_1'-y_2')+b(x)(y_1-y_2)=0

令

z=y_1-y_2

则

z''+a(x)z'+b(x)z=0

因此，

y_1-y_2

满足对应的齐次方程。

n 阶常系数齐次线性微分方程

标准形式为：

a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0

其中

a_i

为常数。特征方程为：

a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0

根据特征根的情况，每个根对应线性无关的解，并按下表写出对应项。

特征根类型	对应通解中的项
单实根 $r$	$Ce^{rx}$
$k$ 重实根 $r$	$(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{rx}$
一对单共轭复根 $\alpha\pm i\beta$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
一对 $k$ 重复根 $\alpha\pm i\beta$	$e^{\alpha x}\left[(A_1+A_2x+\cdots+A_kx^{k-1})\cos\beta x+(B_1+B_2x+\cdots+B_kx^{k-1})\sin\beta x\right]$

将所有项线性叠加，即得到通解。

其他常见可解类型

可分离变量型

形式为：

\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)

或

M(x)N(y)\,dx+P(x)Q(y)\,dy=0

分离变量后，两边积分：

\int \frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx+C

分离变量时，如果除以了含

y

的因式，需要单独考虑

h(y)=0

是否会产生被遗漏的解。

齐次型（一阶齐次微分方程）

形式为：

\frac{dy}{dx}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)

或

M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0

其中

M,N

为

x,y

的同次齐次函数。令

u=\frac{y}{x}

则

y=ux

\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}

代入原方程后，可化为可分离变量型。

欧拉方程

形式为：

x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)

其中

p_i

为常数。当 $x>0$ 时令

x=e^t

则

t=\ln x,\qquad \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}

于是

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} =\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}

\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\right) =-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt} +\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}\right) =-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt} +\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2}

代入二阶欧拉方程

x^2y''+pxy'+qy=f(x)

得常系数线性微分方程：

\frac{d^2y}{dt^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^t)

求解后，用

t=\ln x

回代。当 $x<0$ 时令

x=-e^t

同理可得相同的常系数方程，最后用

t=\ln(-x)

回代。

伯努利方程

形式为：

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n\qquad(n\ne 0,1)

两边除以

y^n

，令

z=y^{1-n}

则

\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}

代入后得到一阶线性方程：

\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)

求出

z

后，再由

y=z^{1/(1-n)}

得到原方程的解。

全微分方程

形式为：

M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0

若满足

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}

则存在原函数

u(x,y)

，使得

du=M\,dx+N\,dy

由二阶混合偏导与求导次序无关，有：

\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x} =\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x}

因此，

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}

是方程成为全微分方程的必要条件；在单连通区域上也是充分条件。这一等式称为恰当条件。全微分方程把问题化为求势函数

u(x,y)

，其通解为：

u(x,y)=C

其他常见可解类型

解题时先观察方程能否降阶、分离变量或化为线性方程；对常系数线性方程，再用特征方程处理齐次部分，用待定系数法求非齐次特解。

​术语解释

​一阶微分方程

​高阶微分方程

​其他常见可解类型

术语解释

一阶微分方程

高阶微分方程

其他常见可解类型