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本章把抽样分布用于统计推断。做题时先写清参数和统计量，再判断方差是否已知、是一个总体还是两个总体，最后选择标准正态、tt、χ2\chi^2 或 FF 分布。
主复习路线：点估计 → 估计量评价 → 区间估计 → 假设检验。数理统计题的答案要写出关键统计量及其分布。

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点估计

设总体分布含未知参数 θ\theta。用样本构造统计量：θ^=θ^(X1,…,Xn)\hat\theta=\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)作为 θ\theta 的估计，称为点估计量。把样本值代入后得到的数值称为估计值。

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矩估计法

矩估计法用样本矩替换相应的总体矩。一阶矩估计：Xˉ=1n∑i=1nXi\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i令：E(X;θ)=XˉE(X;\theta)=\bar X解出 θ^\hat\theta，即为矩估计量。若有 kk 个未知参数 θ1,…,θk\theta_1,\ldots,\theta_k，通常令前 kk 阶样本原点矩等于总体原点矩：1n∑i=1nXij=Eθ(Xj),j=1,…,k\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i^j=E_\theta(X^j),\qquad j=1,\ldots,k解方程组得到矩估计。
矩估计不一定只有一个方程。若总体期望中不含待估参数，可以继续使用二阶矩等更高阶矩。

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最大似然估计

设样本观测值为 x1,…,xnx_1,\ldots,x_n。离散型似然函数：L(θ)=∏i=1nP(Xi=xi;θ)L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}P(X_i=x_i;\theta)连续型似然函数：L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)最大似然估计是使 L(θ)L(\theta) 最大的参数值。若似然函数为正，通常取对数后求驻点：ln⁡L(θ)=∑i=1nln⁡P(Xi=xi;θ)\ln L(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\ln P(X_i=x_i;\theta)或：ln⁡L(θ)=∑i=1nln⁡f(xi;θ)\ln L(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\ln f(x_i;\theta)对参数求导并令导数为零：dln⁡L(θ)dθ=0\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0对于多参数，分别求偏导并解方程组：∂ln⁡L(θ1,…,θk)∂θj=0,j=1,…,k\frac{\partial\ln L(\theta_1,\ldots,\theta_k)}{\partial\theta_j}=0, \qquad j=1,\ldots,k
推导最大似然估计时不要漏掉参数取值范围。若参数出现在支持集的端点，例如 0<x<θ0<x<\theta，最大值可能在边界处取得，必须单独判断。
不变性：若 θ^\hat\theta 是 θ\theta 的最大似然估计，且 gg 为适当函数，则 g(θ^)g(\hat\theta) 是 g(θ)g(\theta) 的最大似然估计。

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估计量的评价标准

若：Eθ(θ^)=θ(∀θ)E_\theta(\hat\theta)=\theta\qquad(\forall\theta)则称 θ^\hat\theta 是 θ\theta 的无偏估计。偏差为：Bias⁡θ(θ^)=Eθ(θ^)−θ\operatorname{Bias}_\theta(\hat\theta)=E_\theta(\hat\theta)-\theta无偏估计的偏差为零。
设 θ^1,θ^2\hat\theta_1,\hat\theta_2 都是 θ\theta 的无偏估计。若：Dθ(θ^1)≤Dθ(θ^2)(∀θ)D_\theta(\hat\theta_1)\le D_\theta(\hat\theta_2)\qquad(\forall\theta)且至少对某个 θ\theta 严格不等，则称 θ^1\hat\theta_1 比 θ^2\hat\theta_2 更有效。
MSE⁡θ(θ^)=Eθ[(θ^−θ)2]\operatorname{MSE}_\theta(\hat\theta) =E_\theta\left[(\hat\theta-\theta)^2\right]均方误差分解公式：MSE⁡θ(θ^)=Dθ(θ^)+[Bias⁡θ(θ^)]2\operatorname{MSE}_\theta(\hat\theta) =D_\theta(\hat\theta)+\left[\operatorname{Bias}_\theta(\hat\theta)\right]^2因此无偏估计的均方误差就是其方差。
若：θ^n→Pθ(n→∞)\hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta\qquad(n\to\infty)则称 θ^n\hat\theta_n 是 θ\theta 的一致估计。

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区间估计

置信区间通过构造枢轴量得到。设 1−α1-\alpha 为置信水平，通常写成：P(θ^L<θ<θ^U)=1−αP(\hat\theta_L<\theta<\hat\theta_U)=1-\alpha则 (θ^L,θ^U)(\hat\theta_L,\hat\theta_U) 是 θ\theta 的置信水平为 1−α1-\alpha 的置信区间。标准正态、tt、χ2\chi^2 和 FF 分布的上侧分位数约定为：P(Z>zα)=α,P(T>tα(n))=αP(Z>z_\alpha)=\alpha,\qquad P(T>t_\alpha(n))=\alphaP(χ2>χα2(n))=α,P(F>Fα(n1,n2))=αP(\chi^2>\chi^2_\alpha(n))=\alpha,\qquad P(F>F_\alpha(n_1,n_2))=\alpha
设 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 独立同分布于 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)。

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方差已知

Xˉ±zα/2σn\bar X\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}

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方差未知

Xˉ±tα/2(n−1)Sn\bar X\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n}
((n−1)S2χα/22(n−1), (n−1)S2χ1−α/22(n−1))\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right)其中 χ1−α/22(n−1)\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) 是较小分位数，χα/22(n−1)\chi^2_{\alpha/2}(n-1) 是较大分位数。
设两个样本相互独立，样本量分别为 n1,n2n_1,n_2。

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两个方差已知

(Xˉ−Yˉ)±zα/2σ12n1+σ22n2(\bar X-\bar Y) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}

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两个方差未知但相等

合并方差：Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}置信区间为：(Xˉ−Yˉ)±tα/2(n1+n2−2)Sw1n1+1n2(\bar X-\bar Y) \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) S_w\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}
使用 tt 分布的两个均值区间估计时，除正态总体外，还要满足方差相等或至少题目明确说明可用合并方差。
若两个观测成对出现，令：Di=Xi−YiD_i=X_i-Y_i则把 D1,…,DnD_1,\ldots,D_n 看成单个正态总体，使用单样本均值区间估计。

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假设检验的基本步骤

  1. 根据问题提出原假设 H0H_0 和备择假设 H1H_1。
  2. 选择显著性水平 α\alpha。
  3. 构造在原假设下分布已知的检验统计量。
  4. 根据备择假设确定拒绝域。
  5. 用样本值判断是否拒绝 H0H_0，或比较 pp 值与 α\alpha。
第一类错误为“原假设成立却拒绝原假设”，概率不超过 α\alpha。第二类错误为“原假设不成立却不拒绝原假设”。
设 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 独立同分布于 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)，检验：H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0

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方差已知

检验统计量：Z=Xˉ−μ0σ/n∼N(0,1)Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)双侧拒绝域：∣Z∣>zα/2|Z|>z_{\alpha/2}右侧检验 H1:μ>μ0H_1:\mu>\mu_0 时，拒绝域为：Z>zαZ>z_\alpha左侧检验 H1:μ<μ0H_1:\mu<\mu_0 时，拒绝域为：Z<−zαZ<-z_\alpha

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方差未知

检验统计量：T=Xˉ−μ0S/n∼t(n−1)T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)双侧拒绝域：∣T∣>tα/2(n−1)|T|>t_{\alpha/2}(n-1)右侧、左侧拒绝域分别换成：T>tα(n−1),T<−tα(n−1)T>t_\alpha(n-1),\qquad T<-t_\alpha(n-1)
检验：H0:σ2=σ02H_0:\sigma^2=\sigma_0^2检验统计量：χ2=(n−1)S2σ02∼χ2(n−1)\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)双侧拒绝域：χ2>χα/22(n−1)或χ2<χ1−α/22(n−1)\chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(n-1) \quad\text{或}\quad \chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)
检验：H0:μ1−μ2=Δ0H_0:\mu_1-\mu_2=\Delta_0

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两个方差已知

Z=(Xˉ−Yˉ)−Δ0σ12n1+σ22n2∼N(0,1)Z=\frac{(\bar X-\bar Y)-\Delta_0} {\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)

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两个方差未知但相等

T=(Xˉ−Yˉ)−Δ0Sw1n1+1n2∼t(n1+n2−2)T=\frac{(\bar X-\bar Y)-\Delta_0} {S_w\sqrt{\dfrac1{n_1}+\dfrac1{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)其中 Sw2S_w^2 为合并方差。拒绝域与单个均值检验相同，只需把对应统计量替换为上述 ZZ 或 TT。
检验：H0:σ12=σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2检验统计量：F=S12S22∼F(n1−1,n2−1)F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)双侧拒绝域：F>Fα/2(n1−1,n2−1)或F<F1−α/2(n1−1,n2−1)F>F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) \quad\text{或}\quad F<F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)其中：F1−α/2(n1−1,n2−1)=1Fα/2(n2−1,n1−1)F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) =\frac1{F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)}

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常见检验与统计量总表

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高频题型与易错点

矩估计和最大似然估计都要先明确参数含义。参数出现在支持集边界时，最大似然估计常不是求导得到，而是由样本极值给出。
σ\sigma 已知时使用标准正态；σ\sigma 未知时用样本标准差 SS，改为 tt 分布。不要只根据样本量判断。
在频率意义下，参数是固定常数，随机的是区间端点。置信水平 1−α1-\alpha 表示重复抽样时区间覆盖参数的比例。
双侧检验使用 ±zα/2\pm z_{\alpha/2} 或 ∣T∣>tα/2|T|>t_{\alpha/2}；单侧检验使用 zαz_\alpha 或 tαt_\alpha，不要把 α/2\alpha/2 用在单侧检验中。
显著性水平 α\alpha 控制原假设成立时错误拒绝的概率。pp 值小于 α\alpha 时拒绝 H0H_0，但 pp 值不是 H0H_0 成立的概率。
Last modified on October 14, 2026