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本章解决大量独立随机变量平均值的稳定性与和的近似分布。大数定律说明“平均接近期望”，中心极限定理说明“标准化和接近正态分布”。
主复习路线：切比雪夫不等式 → 依概率收敛 → 大数定律 → 中心极限定理 → 正态近似计算。

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切比雪夫不等式

设随机变量 XX 满足 E(X)=μE(X)=\mu，D(X)=σ2D(X)=\sigma^2。对任意 ε>0\varepsilon>0：P(∣X−μ∣≥ε)≤σ2ε2P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}等价地：P(∣X−μ∣<ε)≥1−σ2ε2P(|X-\mu|<\varepsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}也可以写成：P(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2,k>0P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\frac1{k^2},\qquad k>0
切比雪夫不等式只要求均值和方差存在，不对分布类型作要求。它给出的是上界，通常不是精确概率。若 σ2/ε2>1\sigma^2/\varepsilon^2>1，右侧上界没有信息量。

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依概率收敛

若对任意 ε>0\varepsilon>0，都有：lim⁡n→∞P(∣Xn−X∣≥ε)=0\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\ge\varepsilon)=0则称随机变量序列 {Xn}\{X_n\} 依概率收敛于 XX，记作：Xn→PXX_n\xrightarrow{P}X若 XX 为常数 aa，也记作 Xn→PaX_n\xrightarrow{P}a。依概率收敛的常用性质：Xn→Pa,Yn→Pb⟹Xn±Yn→Pa±bX_n\xrightarrow{P}a,\quad Y_n\xrightarrow{P}b \quad\Longrightarrow\quad X_n\pm Y_n\xrightarrow{P}a\pm bXnYn→PabX_nY_n\xrightarrow{P}ab若 b≠0b\ne0，则：XnYn→Pab\frac{X_n}{Y_n}\xrightarrow{P}\frac ab连续映射定理：若 gg 在 aa 处连续且 Xn→PaX_n\xrightarrow{P}a，则：g(Xn)→Pg(a)g(X_n)\xrightarrow{P}g(a)

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大数定律

大数定律研究样本平均值是否依概率稳定于某个常数。
设 X1,X2,…X_1,X_2,\ldots 两两不相关，且各 D(Xi)D(X_i) 存在。若：1n2∑i=1nD(Xi)→0\frac1{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)\to0则：1n∑i=1nXi−1n∑i=1nE(Xi)→P0\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i- \frac1n\sum_{i=1}^{n}E(X_i) \xrightarrow{P}0特别地，若存在常数 CC，使 D(Xi)≤CD(X_i)\le C，则：1n∑i=1nXi−1n∑i=1nE(Xi)→P0\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i- \frac1n\sum_{i=1}^{n}E(X_i) \xrightarrow{P}0若还具有相同的期望 E(Xi)=μE(X_i)=\mu，则：Xˉn=1n∑i=1nXi→Pμ\bar X_n=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu
设 nAn_A 为 nn 重伯努利试验中事件 AA 发生的次数，每次发生的概率为 pp。则：nAn→Pp\frac{n_A}{n}\xrightarrow{P}p即频率依概率收敛于概率。
设 X1,X2,…X_1,X_2,\ldots 独立同分布，且 E(Xi)=μE(X_i)=\mu 存在，则：1n∑i=1nXi→Pμ\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu
大数定律只说明平均值依概率接近期望，不表示样本值会接近期望，也不等价于分布收敛。辛钦大数定律只要求一阶矩存在，不要求方差存在。

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中心极限定理

中心极限定理研究大量独立随机变量和的标准化极限分布。
设 X1,X2,…X_1,X_2,\ldots 独立同分布，且：E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,0<σ2<+∞E(X_i)=\mu,\qquad D(X_i)=\sigma^2,\qquad 0<\sigma^2<+\infty则：∑i=1nXi−nμσn→dN(0,1)\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n} \xrightarrow{d}N(0,1)样本均值形式为：Xˉn−μσ/n→dN(0,1)\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n} \xrightarrow{d}N(0,1)当 nn 较大时：∑i=1nXi 近似服从 N(nμ,nσ2)\sum_{i=1}^{n}X_i\ \text{近似服从}\ N(n\mu,n\sigma^2)Xˉn 近似服从 N(μ,σ2n)\bar X_n\ \text{近似服从}\ N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)概率近似公式：P(a<Sn≤b)≈Φ(b−nμσn)−Φ(a−nμσn)P(a<S_n\le b) \approx \Phi\left(\frac{b-n\mu}{\sigma\sqrt n}\right) -\Phi\left(\frac{a-n\mu}{\sigma\sqrt n}\right)其中 Sn=∑i=1nXiS_n=\sum_{i=1}^{n}X_i。
设 X∼B(n,p)X\sim B(n,p)，q=1−pq=1-p。当 nn 较大时：X−npnpq→dN(0,1)\frac{X-np}{\sqrt{npq}} \xrightarrow{d}N(0,1)即：X 近似服从 N(np,npq)X\ \text{近似服从}\ N(np,npq)
当 X∼B(n,p)X\sim B(n,p)，且 a,ba,b 为整数时：P(a≤X≤b)≈Φ(b+0.5−npnpq)−Φ(a−0.5−npnpq)P(a\le X\le b) \approx \Phi\left(\frac{b+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right) -\Phi\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)常见的修正规则：
二项分布用正态近似时，每个整数点看作宽度为 1 的区间。等号方向决定加减 0.50.5，画数轴可以快速判断。

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两类定理的区别

大数定律不要求分布近似正态；中心极限定理不只说明平均值接近期望，而是说明标准化误差的分布趋近标准正态。二者解决的问题不同。

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高频题型与易错点

公式分母是 ε2\varepsilon^2，不是 ε\varepsilon。若题目给出标准差 σ\sigma，先平方得到方差。
先写：Sn−E(Sn)D(Sn)\frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{D(S_n)}}再代入标准正态分布。若 XiX_i 独立但不同分布，需要检查题目是否给出可用中心极限定理的条件。
题目把离散的 B(n,p)B(n,p) 用正态分布近似时，含端点通常要加减 0.50.5。只有粗略近似时才忽略。
大数定律对应依概率收敛，中心极限定理对应依分布收敛。前者给数值稳定性，后者给分布形状。
Last modified on October 14, 2026