第 3 章多维随机变量及其分布

本章的核心是把二维随机变量投影到坐标轴、在给定条件下切片，并通过变量替换求函数分布。画清积分区域通常比机械套公式更重要。

主复习路线：联合分布 → 边缘分布 → 条件分布 → 独立性 → 随机变量函数的分布。

二维随机变量与联合分布

二维随机变量

(X,Y)

的联合分布函数定义为：

F_{XY}(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y)

联合分布函数的性质：

对每个变量单调不减；
对每个变量右连续；

F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=0,\qquad F(+\infty,+\infty)=1

矩形概率公式：

\begin{aligned} &P(a_1<X\le b_1,\ a_2<Y\le b_2)\\ ={}&F(b_1,b_2)-F(a_1,b_2)-F(b_1,a_2)+F(a_1,a_2) \end{aligned}

联合分布列与联合密度

离散型

若

(X,Y)

只取可数个点

(x_i,y_j)

，则联合概率分布列为：

p_{ij}=P(X=x_i,\ Y=y_j)

满足：

p_{ij}\ge0,\qquad \sum_i\sum_j p_{ij}=1

连续型

若存在非负可积函数

f_{XY}(x,y)

，使：

F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f_{XY}(u,v)\,dv\,du

则称

(X,Y)

为二维连续型随机变量，

f_{XY}

为联合密度。联合密度满足：

f_{XY}(x,y)\ge0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy\,dx=1

在密度连续的点处：

f_{XY}(x,y)=\frac{\partial^2F_{XY}(x,y)}{\partial x\partial y}

若区域

D\subset\mathbb R^2

，则：

P((X,Y)\in D)=\iint_D f_{XY}(x,y)\,dx\,dy

边缘分布

离散型边缘分布

p_X(x_i)=P(X=x_i)=\sum_j p_{ij}

p_Y(y_j)=P(Y=y_j)=\sum_i p_{ij}

联合分布列向行或列求和，就得到边缘分布。

连续型边缘密度

f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy

f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dx

边缘密度是联合密度在另一变量方向上的积分。必须先根据联合密度的支持集确定积分上下限，不能默认都是

-\infty

到

+\infty

。

条件分布

离散型条件分布

当

P(Y=y_j)>0

时：

P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_Y(y_j)}

当

P(X=x_i)>0

时：

P(Y=y_j\mid X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_X(x_i)}

连续型条件密度

当

f_Y(y)>0

时：

f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}

当

f_X(x)>0

时：

f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x)}

条件密度满足：

f_{X\mid Y}(x\mid y)\ge0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx=1

连续型随机变量在单点的概率为零，因此不能直接定义

P(X=x\mid Y=y)

。求条件密度时不用除

P(Y=y)

，而应使用密度函数

f_Y(y)

。

随机变量的独立性

离散型

若对一切

i,j

都有：

P(X=x_i,\ Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)

则

X,Y

相互独立。

连续型

若对几乎所有

x,y

都有：

f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

则

X,Y

相互独立。

分布函数判定

F_{XY}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\qquad(\forall x,y)

是独立性的充要条件。

判断连续型随机变量是否独立时，同时检查两点：

联合密度能否分解为只含 $x$ 的函数与只含 $y$ 的函数之积；
支持集能否写成两个区间（或集合）的笛卡尔积。

若支持集不是矩形区域，通常不独立。

二维随机变量函数的分布

和的分布

设

Z=X+Y

。连续型情形的分布函数法为：

F_Z(z)=P(X+Y\le z)=\iint_{x+y\le z}f_{XY}(x,y)\,dx\,dy

若

X,Y

相互独立，则卷积公式为：

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx

离散型独立情形为：

P(Z=z)=\sum_xP(X=x)P(Y=z-x)

最大值与最小值

设

X,Y

相互独立，则：

F_{\max(X,Y)}(z)=F_X(z)F_Y(z)

F_{\min(X,Y)}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]

推广到独立随机变量

X_1,\ldots,X_n

：

F_{\max}(z)=\prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(z)

F_{\min}(z)=1-\prod_{i=1}^{n}[1-F_{X_i}(z)]

一般二维变换

设：

U=g_1(X,Y),\qquad V=g_2(X,Y)

若该变换存在唯一反函数：

x=x(u,v),\qquad y=y(u,v)

则联合密度为：

f_{UV}(u,v)=f_{XY}(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|

其中雅可比行列式为：

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[2mm] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}

商与积

对独立连续型随机变量：

f_{X/Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f_X(x)f_Y(zx)\,dx

f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y\left(\frac{z}{x}\right)\,dx

考试中更适合先确定积分区域，再用分布函数法，不必死记公式。

二维均匀分布与二维正态分布

二维均匀分布

若

(X,Y)

在面积有限的区域

D

上服从二维均匀分布，则：

f_{XY}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{S_D}, & (x,y)\in D,\\[2mm] 0, & (x,y)\notin D \end{cases}

对区域

A\subset D

：

P((X,Y)\in A)=\frac{S_A}{S_D}

二维正态分布

设:

(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)

其边缘分布仍为正态分布：

X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\qquad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)

在二维正态分布中，

X,Y

相互独立当且仅当：

\rho=0

一般随机变量“不相关”不一定独立；但若

(X,Y)

服从二维正态分布，“不相关”与“独立”等价。

高频题型与易错点

先画区域再积分

联合密度题先画出函数不为零的区域

D

。求边缘密度时固定一个变量，在另一变量方向确定上下限。

求函数分布优先用分布函数法

对

Z=g(X,Y)

，先写：

F_Z(z)=P(g(X,Y)\le z)

再根据事件在平面上的区域作二重积分。对于

Z=X+Y

，才优先考虑卷积。

独立性检查支持集

若支持集为

0<x<y<1

，它不是矩形，通常说明

X,Y

不独立。即使密度表达式看起来能分离，也要验证支持集能否分离。

边缘分布不一定保留相依结构

已知两个边缘分布通常不能唯一确定联合分布。只有独立性加上边缘分布，才能恢复联合分布。

​二维随机变量与联合分布

​联合分布列与联合密度

​边缘分布

​条件分布

​随机变量的独立性

​二维随机变量函数的分布

​二维均匀分布与二维正态分布

​高频题型与易错点

二维随机变量与联合分布

联合分布列与联合密度

边缘分布

条件分布

随机变量的独立性

二维随机变量函数的分布

二维均匀分布与二维正态分布

高频题型与易错点