第 4 章随机变量的数字特征

本章用于概括随机变量的位置、波动和相依程度。先判断随机变量类型，再选择求和或积分公式；处理线性组合时，优先使用期望与方差的运算性质。

主复习路线：期望 → 方差 → 协方差与相关系数 → 矩 → 条件期望。

数学期望

定义与计算公式

离散型随机变量：

E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i)

连续型随机变量：

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f_X(x)\,dx

随机变量函数的期望：

E[g(X)]= \begin{cases} \displaystyle\sum_i g(x_i)P(X=x_i), & X\text{ 离散型},\\[3mm] \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f_X(x)\,dx, & X\text{ 连续型} \end{cases}

二维情形：

E[g(X,Y)]= \begin{cases} \displaystyle\sum_i\sum_j g(x_i,y_j)p_{ij}, & (X,Y)\text{ 离散型},\\[3mm] \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f_{XY}(x,y)\,dx\,dy, & (X,Y)\text{ 连续型} \end{cases}

求

E[g(X)]

时通常不需要先求

g(X)

的分布，直接使用

X

的分布即可。这就是“无意识统计学家公式”。

期望的性质

对任意常数

a,b,c

：

E(c)=c,\qquad E(aX+b)=aE(X)+b

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i+b\right)=\sum_{i=1}^{n}a_iE(X_i)+b

若

X,Y

相互独立，则：

E(XY)=E(X)E(Y)

若

X,Y

不相关且二阶矩存在，按定义也有

E(XY)=E(X)E(Y)

。

E(XY)=E(X)E(Y)

不能反推出

X,Y

独立。它只能说明二者不相关。

方差

定义与计算公式

D(X)=E\left([X-E(X)]^2\right)

最常用的计算式：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

标准差为：

\sigma_X=\sqrt{D(X)}

方差的性质

对任意常数

a,b

：

D(c)=0,\qquad D(aX+b)=a^2D(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)

若

X,Y

不相关，则：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

更一般地：

D\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i\right) =\sum_{i=1}^{n}a_i^2D(X_i) +2\sum_{1\le i<j\le n}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)

当

X_1,\ldots,X_n

两两不相关时：

D\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i\right)=\sum_{i=1}^{n}a_i^2D(X_i)

方差一般不能直接相加。只有不相关时交叉项才消失；独立只是保证不相关的一种更强条件。

协方差

定义与计算公式

设

X,Y

的期望存在且二阶矩有限，协方差定义为：

\operatorname{Cov}(X,Y)=E\left([X-E(X)][Y-E(Y)]\right)

最常用的计算式：

\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

计算时优先使用第二式，只需分别求出

E(XY)

、

E(X)

、

E(Y)

，不必先求

(X-E(X))(Y-E(Y))

的分布。

基本性质

对任意常数

a,b,c,d

：

\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)

\operatorname{Cov}(X,X)=D(X)

\operatorname{Cov}(X,c)=0,\qquad \operatorname{Cov}(aX,Y)=a\operatorname{Cov}(X,Y)

\operatorname{Cov}(X+c,Y)=\operatorname{Cov}(X,Y)

两边同时作线性变换时：

\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\operatorname{Cov}(X,Y)

\operatorname{Cov}(X,X)=D(X)

说明方差就是随机变量与自身的协方差。加常数不改变协方差，乘常数按倍数提出。

线性运算

协方差对两个位置分别具有线性性：

\operatorname{Cov}(X+Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z)

\operatorname{Cov}(X-Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)-\operatorname{Cov}(Y,Z)

推广到多个随机变量：

\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i,Y\right) =\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Cov}(X_i,Y)

两边都是和式时：

\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i,\sum_{j=1}^{m}Y_j\right) =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\operatorname{Cov}(X_i,Y_j)

更一般地，两个线性组合的协方差为：

\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i,\sum_{j=1}^{m}b_jY_j\right) =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_ib_j\operatorname{Cov}(X_i,Y_j)

特别地：

\operatorname{Cov}(X-Y,X)=D(X)-\operatorname{Cov}(X,Y)

遇到线性组合的协方差，先把两个位置分别拆成和式，再逐项配对展开。

与方差的互化

和、差的方差：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)

D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y)

反过来由方差求协方差：

\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{D(X+Y)-D(X)-D(Y)}{2}

\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{D(X)-D(X-Y)+D(Y)}{2}

D(X\pm Y)

中的交叉项符号与协方差前面的符号一致，不要写成

D(X-Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)

。

其他常用公式

随机变量与自身函数的协方差：

\operatorname{Cov}(X,aX+b)=aD(X)

\operatorname{Cov}(X,g(X))=E[Xg(X)]-E(X)E[g(X)]

例如：

\operatorname{Cov}(X,X^2)=E(X^3)-E(X)E(X^2)

由柯西–施瓦茨不等式，协方差满足：

|\operatorname{Cov}(X,Y)|\le\sqrt{D(X)D(Y)}

这也是相关系数满足

|\rho_{XY}|\le1

的依据。

\operatorname{Cov}(X,g(X))

一般不为

0

。

X

与自身的函数通常不独立，不能套用“独立则协方差为零”。

常见分布的数字特征

分布	记号	数学期望	方差
0-1 分布	$B(1,p)$	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布	$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布	$G(p)$	$\dfrac1p$	$\dfrac{1-p}{p^2}$
均匀分布	$U(a,b)$	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	$\mathrm{Exp}(\lambda)$	$\dfrac1\lambda$	$\dfrac1{\lambda^2}$
正态分布	$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$
卡方分布	$\chi^2(n)$	$n$	$2n$

二项分布、泊松分布和正态分布的数字特征最常考。正态分布的两个参数本身就是均值和方差。

矩

k

阶原点矩：

E(X^k)

k

阶中心矩：

E\left([X-E(X)]^k\right)

特别地：

E(X)\text{ 为一阶原点矩},\qquad D(X)\text{ 为二阶中心矩}

混合原点矩与混合中心矩分别为：

E(X^kY^l),\qquad E\left([X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\right)

协方差就是二阶混合中心矩。

条件数学期望

条件期望

E(X\mid Y)

是随机变量

Y

的函数，不再是常数。若

Y=y

：离散型：

E(X\mid Y=y)=\sum_i x_iP(X=x_i\mid Y=y)

连续型：

E(X\mid Y=y)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx

全期望公式：

E(X)=E[E(X\mid Y)]

连续型形式：

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}E(X\mid Y=y)f_Y(y)\,dy

条件期望具有线性性质：

E(aX+bZ\mid Y)=aE(X\mid Y)+bE(Z\mid Y)

全方差公式：

D(X)=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)]

E(X\mid Y=y)

表示在

Y=y

的条件下

X

的平均值；

E(X\mid Y)

则是关于

Y

的随机变量。书写时要区分。

高频题型与易错点

先判断是否需要求分布

求

E[g(X)]

或

E[g(X,Y)]

时，通常直接按定义求和或积分，不必先求

g(X)

的分布。

方差计算优先用二阶矩

当题目已经给出

E(X)

和

E(X^2)

时，直接使用：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

​数学期望

​方差

​协方差

​相关系数

​常见分布的数字特征

​矩

​条件数学期望

​高频题型与易错点

数学期望

方差

协方差

相关系数

常见分布的数字特征

矩

条件数学期望

高频题型与易错点