第 2 章随机变量及其分布

本章把随机试验的结果数量化。核心是按随机变量类型选择概率分布或概率密度，并能通过分布函数统一处理概率与函数的分布。

主复习路线：分布函数 → 离散型或连续型 → 常见分布 → 正态标准化 → 概率积分变换 → 随机变量函数的分布。

随机变量与分布函数

随机变量

X

是定义在样本空间

\Omega

上、取值于实数的函数。对任意实数

x

，定义分布函数：

F_X(x)=P(X\le x)

分布函数具有以下性质：

单调不减：若 $x_1<x_2$ ，则 $F(x_1)\le F(x_2)$ 。
有界性： $0\le F(x)\le1$ 。
右连续： $F(x+0)=F(x)$ 。
极限性质：

F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\qquad F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1

由分布函数计算概率：

P(a<X\le b)=F(b)-F(a)

P(X=a)=F(a)-F(a-0)

P(X<a)=F(a-0),\qquad P(X\ge a)=1-F(a-0)

分布函数在跳跃点处对应离散概率。连续型随机变量在任意单点的概率为零，因此开区间与闭区间的概率通常相同：

P(a<X<b)=P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)

离散型随机变量

若

X

至多取可数个值

x_1,x_2,\ldots

，则称

X

为离散型随机变量。其概率分布列为：

p_i=P(X=x_i),\qquad i=1,2,\ldots

必须满足：

p_i\ge0,\qquad \sum_i p_i=1

分布函数为：

F(x)=P(X\le x)=\sum_{x_i\le x}p_i

连续型随机变量

若存在非负可积函数

f_X(x)

，使对任意实数

x

都有：

F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt

则称

X

为连续型随机变量，

f_X(x)

为其概率密度。概率密度的性质：

f_X(x)\ge0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,dx=1

在

F_X

可导的点处：

F_X'(x)=f_X(x)

计算区间概率：

P(a<X\le b)=\int_a^b f_X(x)\,dx

f_X(x)

不是概率。只有密度在小区间上的积分

f_X(x)\,dx

才近似表示概率，且

f_X(x)>1

是允许的。

常见离散分布

分布	记号	概率分布列	取值与参数
0-1 分布	$X\sim B(1,p)$	$P(X=1)=p,\ P(X=0)=1-p$	$0<p<1$
二项分布	$X\sim B(n,p)$	$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$k=0,\ldots,n$
泊松分布	$X\sim P(\lambda)$	$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$	$k=0,1,2,\ldots,\ \lambda>0$
几何分布	$X\sim G(p)$	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$	$k=1,2,\ldots,\ 0<p<1$
超几何分布	$X\sim H(N,M,n)$	$P(X=k)=\dfrac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}$	$k$ 的范围由实际组合数决定

几何分布具有无记忆性的一种离散形式：

P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)

当

n\to\infty

时，若

np_n\to\lambda

，则二项分布可由泊松分布近似：

\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} \longrightarrow \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

常见连续分布

核心概念与公式

分布	记号	密度函数	支持集
均匀分布	$X\sim U(a,b)$	$f(x)=\dfrac1{b-a}$	$a<x<b$
指数分布	$X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$	$x>0,\ \lambda>0$
正态分布	$X\sim N(\mu,\sigma^2)$	$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$x\in\mathbb R,\ \sigma>0$

均匀分布

若

X\sim U(a,b)

，则分布函数为：

F(x)= \begin{cases} 0, & x<a,\\[2mm] \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x<b,\\[2mm] 1, & x\ge b \end{cases}

对任意区间

[c,d]\subset(a,b)

：

P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}

指数分布

指数分布的分布函数为：

F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x\ge0,\\ 0, & x<0 \end{cases}

生存函数与无记忆性：

P(X>x)=e^{-\lambda x},\qquad x\ge0

P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t),\qquad s,t\ge0

正态分布与标准化

若

X\sim N(\mu,\sigma^2)

，则标准化变量为：

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)

正态分布概率的计算公式：

P(a<X\le b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

标准正态分布函数满足：

\Phi(-x)=1-\Phi(x)

因此常用的对称关系为：

P(|X-\mu|<\varepsilon) =2\Phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)-1

正态分布题先标准化，再查表或利用

\Phi(-x)=1-\Phi(x)

。遇到

P(X>a)

时写成

1-\Phi((a-\mu)/\sigma)

。

随机变量函数的分布

核心概念与公式

设

Y=g(X)

，求

Y

的分布统一使用分布函数法：

F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)

当

g

单调且可导时，可以设

x=h(y)

为反函数，则：

f_Y(y)=f_X(h(y))\left|h'(y)\right|

当

g

不是一一映射时，应先求

F_Y(y)

，再对

y

求导。例如

Y=X^2

时，通常分成

X\le -\sqrt y

与

X\ge\sqrt y

两段计算。

概率积分变换：F(X) 的分布

先区分两个容易混淆的记号：

表达式	含义
$F(x)$	自变量为实数 $x$ ，函数值是一个概率
$F(X)$	把随机变量 $X$ 代入分布函数，得到一个新的随机变量

定理：若

X

为连续型随机变量，分布函数为

F(x)

，则

U=F(X)\sim U(0,1)

即

F(X)

服从

(0,1)

上的均匀分布。证明（先设

F

严格单调，便于反解）：当

0<u<1

时，

P(U\le u)=P(F(X)\le u) =P\bigl(X\le F^{-1}(u)\bigr) =F\bigl(F^{-1}(u)\bigr)=u

而

P(U\le0)=0

，

P(U\le1)=1

，所以

U

的分布函数为

F_U(u)= \begin{cases} 0, & u<0,\\ u, & 0\le u<1,\\ 1, & u\ge1 \end{cases}

这正是

U(0,1)

的分布函数。

F

有平坦段时不能直接反解，但由

F

的连续性，

P(F(X)\le u)=u

仍然成立。考试中按严格单调情形证明即可。反过来，若

U\sim U(0,1)

，

F

为连续严格增分布函数，则

X=F^{-1}(U)

的分布函数为

F

，这是逆变换抽样法的原理。

例：

X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)

，其分布函数为

F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x\ge0,\\ 0, & x<0 \end{cases}

于是

F(X)=1-e^{-\lambda X}\sim U(0,1)

验证：当

0<u<1

时，

P(1-e^{-\lambda X}\le u) =P\left(X\le-\frac{\ln(1-u)}{\lambda}\right) =1-e^{\ln(1-u)}=u

结论要求

X

为连续型随机变量。若

X

为离散型，

F(X)

一般不服从均匀分布。例如

X\sim B(1,\frac12)

，则

F(X)

以

\frac12

的概率取

\frac12

、以

\frac12

的概率取

1

，不是

U(0,1)

。

必背：

X

连续

\Rightarrow F(X)\sim U(0,1)

。看到

F(X)

、

1-e^{-\lambda X}

这类表达式，先想到均匀分布。

最大值与最小值

若

X_1,\ldots,X_n

相互独立，分布函数分别为

F_i(x)

，令：

M=\max(X_1,\ldots,X_n),\qquad m=\min(X_1,\ldots,X_n)

则：

F_M(x)=P(M\le x)=\prod_{i=1}^{n}F_i(x)

F_m(x)=P(m\le x)=1-\prod_{i=1}^{n}[1-F_i(x)]

若

X_i

独立同分布且分布函数为

F(x)

，则：

F_M(x)=[F(x)]^n,\qquad F_m(x)=1-[1-F(x)]^n

高频题型与易错点

由密度求参数

先用归一化条件：

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1

再求未知参数。若密度在多个区间有不同表达式，要把所有有效区间的积分相加。

由分布函数求概率

优先使用分布函数差值。只有连续型随机变量且

F

可导时，才用密度求导或积分。

随机变量函数的分布

永远先判断

g(X)\le y

对应的

X

范围。非单调变换不能直接套单调公式，必须分段累加。

正态分布的参数

正态分布的两个参数分别是均值和方差：

X\sim N(\mu,\sigma^2)

第二个参数是

\sigma^2

，不是标准差

\sigma

。

F(X) 与 F(x) 不能混

F(x)

是概率，

F(X)

是随机变量。

X

连续时

F(X)\sim U(0,1)

；

X

离散时一般不成立。

​随机变量与分布函数

​离散型随机变量

​连续型随机变量

​常见离散分布

​常见连续分布

​随机变量函数的分布

​高频题型与易错点

随机变量与分布函数

离散型随机变量

连续型随机变量

常见离散分布

常见连续分布

随机变量函数的分布

高频题型与易错点