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本章对应张宇《高等数学基础30讲》第 18 讲，是数学一的内容。全章按“三重积分 → 第一型曲线、曲面积分 → 第二型曲线、曲面积分 → 三大公式”展开。复习时先判断积分类型：第一型对弧长或面积积分，不带方向；第二型对坐标积分，必须定向；再根据区域形状选择坐标系、投影方式或公式。 本章用到的向量代数、空间解析几何、方向导数与梯度、散度与旋度，见第 3 章 多元函数积分学的预备知识。
复习主线：识别积分类型 → 检查区域对称性 → 选择坐标系或投影 → 判断封闭性与方向 → 套用格林、高斯或斯托克斯公式。常见考法：
  • 小题多考微元、对称性与坐标系选择；
  • 大题多考格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，常与补线、补面、挖洞、路径无关结合。

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三重积分

设 f(x,y,z)f(x,y,z) 在空间有界闭区域 Ω\Omega 上连续。把 Ω\Omega 任意分成 nn 个小区域 ΔVi\Delta V_i，任取 (ξi,ηi,ζi)∈ΔVi(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in\Delta V_i，记各小区域直径的最大值为 λ\lambda。若极限∭Ωf(x,y,z) dV=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔVi\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i存在，则称其为 ff 在 Ω\Omega 上的三重积分。当 f≡1f\equiv1 时，V=∭ΩdVV=\iiint_\Omega dV即三重积分表示区域 Ω\Omega 的体积。常用性质：
  • 线性：∭Ω(αf+βg) dV=α∭Ωf dV+β∭Ωg dV\iiint_\Omega(\alpha f+\beta g)\,dV=\alpha\iiint_\Omega f\,dV+\beta\iiint_\Omega g\,dV。
  • 区域可加：若 Ω\Omega 被分成内部不重叠的两块 Ω1,Ω2\Omega_1,\Omega_2，则积分等于两块之和。
  • 保号与比较：若 f≤gf\le g，则 ∭Ωf dV≤∭Ωg dV\iiint_\Omega f\,dV\le\iiint_\Omega g\,dV；特别地 ∣∭Ωf dV∣≤∭Ω∣f∣ dV\left|\iiint_\Omega f\,dV\right|\le\iiint_\Omega|f|\,dV。
  • 估值：若 m≤f≤Mm\le f\le M，则 mV≤∭Ωf dV≤MVmV\le\iiint_\Omega f\,dV\le MV。
  • 中值定理：若 ff 连续，则存在 (ξ,η,ζ)∈Ω(\xi,\eta,\zeta)\in\Omega，使 ∭Ωf dV=f(ξ,η,ζ)V\iiint_\Omega f\,dV=f(\xi,\eta,\zeta)V。
以坐标平面为对称面。若 Ω\Omega 关于 yOzyOz 平面对称，即(x,y,z)∈Ω  ⟺  (−x,y,z)∈Ω(x,y,z)\in\Omega\iff(-x,y,z)\in\Omega则∭Ωf(x,y,z) dV={0,f(−x,y,z)=−f(x,y,z)2∭Ω+f(x,y,z) dV,f(−x,y,z)=f(x,y,z)\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV= \begin{cases} 0, & f(-x,y,z)=-f(x,y,z)\\[4pt] 2\iiint_{\Omega_+}f(x,y,z)\,dV, & f(-x,y,z)=f(x,y,z) \end{cases}其中 Ω+=Ω∩{x≥0}\Omega_+=\Omega\cap\{x\ge0\}。关于 zOxzOx 平面（yy 变号）、xOyxOy 平面（zz 变号）对称时，结论完全类似：看被积函数关于相应变量的奇偶性。
先验证区域对称，再判断被积函数的奇偶性，两者缺一不可。区域不对称时，即使 ff 是奇函数，积分也未必为 00。
若将 x,y,zx,y,z 轮换为 y,z,xy,z,x 后区域不变，则∭Ωf(x,y,z) dV=∭Ωf(y,z,x) dV=∭Ωf(z,x,y) dV\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV =\iiint_\Omega f(y,z,x)\,dV =\iiint_\Omega f(z,x,y)\,dV特别地，∭Ωx dV=∭Ωy dV=∭Ωz dV\iiint_\Omega x\,dV=\iiint_\Omega y\,dV=\iiint_\Omega z\,dV若 Ω\Omega 关于平面 x=yx=y 对称（即交换 x,yx,y 后区域不变），则∭Ωf(x,y,z) dV=∭Ωf(y,x,z) dV\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV=\iiint_\Omega f(y,x,z)\,dV
球体、正方体等关于三个坐标面都对称的区域，常用轮换对称性把 x2x^2 型积分化为 13(x2+y2+z2)\frac13(x^2+y^2+z^2) 的积分：∭Ωx2 dV=13∭Ω(x2+y2+z2) dV\iiint_\Omega x^2\,dV =\frac13\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)\,dV类似地，若 Ω\Omega 关于三个坐标面均对称，则 ∭Ω(x+y+z) dV=0\iiint_\Omega(x+y+z)\,dV=0。
若 Ω\Omega 可表示为Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈Dxy, z1(x,y)≤z≤z2(x,y)}\Omega=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_{xy},\ z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}则∭Ωf dV=∬Dxy[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z) dz]dx dy\iiint_\Omega f\,dV =\iint_{D_{xy}}\left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right]dx\,dy几何上，先沿 zz 方向穿线，确定内层积分限，再在投影区域 DxyD_{xy} 上作二重积分。适用：区域上下边界分别由两张曲面给出，例如曲顶柱体。
内层积分的上下限只能含外层变量；若 zz 的积分限中含 zz，说明投影或穿线方向选错了。
若 Ω\Omega 夹在平面 z=az=a 与 z=bz=b 之间，用平面 z=常数z=\text{常数} 截得的截面为 DzD_z，则∭Ωf dV=∫abdz∬Dzf(x,y,z) dx dy\iiint_\Omega f\,dV=\int_a^b dz\iint_{D_z}f(x,y,z)\,dx\,dy当 ff 只与 zz 有关时，∭Ωf(z) dV=∫abf(z)S(z) dz\iiint_\Omega f(z)\,dV=\int_a^b f(z)S(z)\,dz其中 S(z)S(z) 为截面 DzD_z 的面积。适用：截面形状规则、面积易求的区域，如球体、锥体、旋转体；尤其当被积函数只含 zz 时最方便。
作变换x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=zx=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z其中 r≥0r\ge0，0≤θ<2π0\le\theta<2\pi。体积微元为dV=r dr dθ dzdV=r\,dr\,d\theta\,dz于是∭Ωf dV=∭Ω′f(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z) r dr dθ dz\iiint_\Omega f\,dV =\iiint_{\Omega'}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz定限步骤：先把 Ω\Omega 投影到 xOyxOy 平面得到 DD，用极坐标写出 r,θr,\theta 的范围；再对每个 (r,θ)(r,\theta) 确定 zz 的上下限。适用：积分区域含 x2+y2x^2+y^2，或由圆柱、圆锥、旋转抛物面围成。常见对应：
  • 圆柱 x2+y2≤R2x^2+y^2\le R^2：0≤r≤R0\le r\le R；
  • 圆锥 z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}：z=rz=r；
  • 球面 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2：z=±R2−r2z=\pm\sqrt{R^2-r^2}。
作变换x=ρsin⁡φcos⁡θ,y=ρsin⁡φsin⁡θ,z=ρcos⁡φx=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi其中 ρ≥0\rho\ge0，0≤φ≤π0\le\varphi\le\pi，0≤θ<2π0\le\theta<2\pi。这里 φ\varphi 是向径与 zz 轴正向的夹角，θ\theta 是绕 zz 轴的方位角。体积微元为dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta于是∭Ωf dV=∭Ω′f(ρsin⁡φcos⁡θ,ρsin⁡φsin⁡θ,ρcos⁡φ) ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_\Omega f\,dV =\iiint_{\Omega'}f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi) \,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta定限时通常先由投影确定 θ\theta，再由区域边界与 zz 轴的夹角确定 φ\varphi，最后沿射线方向确定 ρ\rho。常见区域：
  • 球体 x2+y2+z2≤R2x^2+y^2+z^2\le R^2：0≤ρ≤R0\le\rho\le R，0≤φ≤π0\le\varphi\le\pi，0≤θ<2π0\le\theta<2\pi；
  • 上半球：0≤φ≤π20\le\varphi\le\frac{\pi}{2}；
  • 圆锥 z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2} 内部：0≤φ≤π40\le\varphi\le\frac{\pi}{4}；
  • 球面与锥面围成的“冰淇淋”区域：先由交线定 φ\varphi，再定 ρ\rho 的上限。
φ\varphi 从 zz 轴量起，范围是 [0,π][0,\pi]；θ\theta 才是绕 zz 轴一周的角。dVdV 中的 ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi 不能漏，否则结果量纲和数值都会错。
作一一对应、雅可比行列式不为零的变换x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)x=x(u,v,w),\qquad y=y(u,v,w),\qquad z=z(u,v,w)则∭Ωf(x,y,z) dV=∭Ω′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣J∣ du dv dw\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV =\iiint_{\Omega'}f\bigl(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\bigr)|J|\,du\,dv\,dw其中J=∂(x,y,z)∂(u,v,w)=∣xuxvxwyuyvywzuzvzw∣J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} =\begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w \end{vmatrix}柱面坐标与球面坐标都是它的特例，对应的雅可比行列式分别为 rr 与 ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi。
换元后必须同时做两件事：被积函数换成新变量，区域换成新变量下的区域，并乘上 ∣J∣|J|。只换被积函数、不换区域，是最常见的错误。
  1. 先一后二时，内层积分限不能含内层变量。
  2. 先二后一适合截面面积易求的情形；截面复杂时改用先一后二。
  3. 柱面坐标的体积微元多一个 rr，球面坐标多一个 ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi。
  4. 对称性要先看区域，再看被积函数。
  5. 轮换对称性只允许交换变量，不能改变区域本身。

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第一型曲线积分

设 LL 为分段光滑曲线，f(x,y,z)f(x,y,z) 在 LL 上有界。把 LL 分成 nn 小段，第 ii 段弧长为 Δsi\Delta s_i，任取 (ξi,ηi,ζi)(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)，若极限∫Lf(x,y,z) ds=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δsi\int_L f(x,y,z)\,ds =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i存在，则称其为 ff 沿 LL 的第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）。性质：
  • 与曲线方向无关：∫L−f ds=∫Lf ds\int_{L^-}f\,ds=\int_L f\,ds；
  • 线性、路径可加；
  • 当 f≡1f\equiv1 时，∫Lds\int_L ds 等于曲线弧长；
  • 结果为标量，没有方向。
“与方向无关”只对第一型成立。第二型曲线积分反向要变号，两者不能混用。
设曲线由x=x(t),y=y(t),z=z(t),α≤t≤βx=x(t),\qquad y=y(t),\qquad z=z(t),\qquad \alpha\le t\le\beta给出，且 x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t) 有连续导数，则弧长微元为ds=x′2(t)+y′2(t)+z′2(t) dtds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\,dt于是∫Lf ds=∫αβf(x(t),y(t),z(t))x′2+y′2+z′2 dt\int_L f\,ds =\int_\alpha^\beta f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,dt其中 α<β\alpha<\beta。平面曲线令 z=0z=0 即可。
化为定积分时下限必须小于上限，即从参数小的一端积到大的一端，不必管曲线“起点”“终点”。这与第二型曲线积分的方向规定相反。
显函数 y=y(x)y=y(x)，a≤x≤ba\le x\le bds=1+[y′(x)]2 dxds=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx∫Lf(x,y) ds=∫abf(x,y(x))1+[y′(x)]2 dx\int_L f(x,y)\,ds =\int_a^b f\bigl(x,y(x)\bigr)\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx显函数 x=x(y)x=x(y)，c≤y≤dc\le y\le dds=1+[x′(y)]2 dyds=\sqrt{1+[x'(y)]^2}\,dy极坐标 r=r(θ)r=r(\theta)，α≤θ≤β\alpha\le\theta\le\betads=r2+(drdθ)2 dθds=\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta∫Lf ds=∫αβf(rcos⁡θ,rsin⁡θ)r2+r′2 dθ\int_L f\,ds =\int_\alpha^\beta f\bigl(r\cos\theta,r\sin\theta\bigr) \sqrt{r^2+r'^2}\,d\theta同样要求 α<β\alpha<\beta。
第一型曲线积分与方向无关，可以直接使用奇偶对称性。若 LL 关于 yy 轴对称，即 (x,y)∈L  ⟺  (−x,y)∈L(x,y)\in L\iff(-x,y)\in L，则∫Lf(x,y) ds={0,f(−x,y)=−f(x,y)2∫L+f(x,y) ds,f(−x,y)=f(x,y)\int_L f(x,y)\,ds= \begin{cases} 0, & f(-x,y)=-f(x,y)\\[4pt] 2\int_{L_+}f(x,y)\,ds, & f(-x,y)=f(x,y) \end{cases}其中 L+L_+ 为 LL 在 x≥0x\ge0 的部分。若 LL 关于 xx 轴对称，则看 ff 关于 yy 的奇偶性；空间曲线关于坐标平面对称时同理。若 LL 关于直线 y=xy=x 对称，则∫Lf(x,y) ds=∫Lf(y,x) ds\int_L f(x,y)\,ds=\int_L f(y,x)\,ds
使用对称性的前提是曲线本身对称，且对称两半的弧长相等。只验证被积函数的奇偶性而不验证曲线对称，是常见失分点。
  1. 第一型曲线积分不区分方向，化定积分时下限恒小于上限。
  2. 弧长微元要代入参数方程后求导，不能直接对原方程求导。
  3. 空间曲线若为两张曲面的交线，先参数化再计算，常用 x=cos⁡tx=\cos t、y=sin⁡ty=\sin t。
  4. 曲线关于坐标轴对称时，奇函数项直接为 00，可大幅简化计算。

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第一型曲面积分

设 Σ\Sigma 为光滑曲面，f(x,y,z)f(x,y,z) 在 Σ\Sigma 上有界。把 Σ\Sigma 分成 nn 小块，第 ii 块面积为 ΔSi\Delta S_i，任取 (ξi,ηi,ζi)(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)，若极限∬Σf(x,y,z) dS=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i存在，则称其为 ff 在 Σ\Sigma 上的第一型曲面积分（对面积的曲面积分）。性质：
  • 与曲面所取的侧无关；
  • 线性、曲面可加；
  • 当 f≡1f\equiv1 时，∬ΣdS\iint_\Sigma dS 等于曲面面积。
第一型曲面积分与侧无关，所以计算时不必区分上侧、下侧；第二型曲面积分则必须先定侧。
若曲面由 z=z(x,y)z=z(x,y) 给出，在 xOyxOy 平面上的投影为 DxyD_{xy}，且 z(x,y)z(x,y) 有连续偏导数，则dS=1+zx2+zy2 dx dydS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy∬Σf(x,y,z) dS=∬Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2 dx dy\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS =\iint_{D_{xy}}f\bigl(x,y,z(x,y)\bigr) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy若曲面表示为 x=x(y,z)x=x(y,z) 或 y=y(x,z)y=y(x,z)，则dS=1+xy2+xz2 dy dzdS=\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}\,dy\,dzdS=1+yx2+yz2 dx dzdS=\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}\,dx\,dz选择投影方向的原则：向投影不重叠、且偏导数较简单的坐标平面投影。
在曲面上可以把方程代入被积函数化简。例如在 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2 上，可把 z2z^2 换成 R2−x2−y2R^2-x^2-y^2，再去根号或降次。
若曲面由r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)∈D\mathbf r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr),\qquad (u,v)\in D给出，则dS=∣ru×rv∣ du dvdS=|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv其中ru×rv=∣ijkxuyuzuxvyvzv∣\mathbf r_u\times\mathbf r_v= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}常用参数化：
  • 球面 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2：取 r(φ,θ)=(Rsin⁡φcos⁡θ,Rsin⁡φsin⁡θ,Rcos⁡φ)\mathbf r(\varphi,\theta)=(R\sin\varphi\cos\theta,R\sin\varphi\sin\theta,R\cos\varphi)，得 dS=R2sin⁡φ dφ dθdS=R^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta；
  • 柱面 x2+y2=R2x^2+y^2=R^2：取 r(θ,z)=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,z)\mathbf r(\theta,z)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z)，得 dS=R dθ dzdS=R\,d\theta\,dz。
第一型曲面积分与侧无关，可直接使用奇偶对称性。若 Σ\Sigma 关于 yOzyOz 平面对称，则被积函数关于 xx 为奇函数，而 dSdS 在对称点处相等，因此∬Σx dS=0\iint_\Sigma x\,dS=0一般地，Σ\Sigma 关于 yOzyOz 对称时，被积函数关于 xx 为奇函数则积分为 00；为偶函数则等于在 Σ+=Σ∩{x≥0}\Sigma_+=\Sigma\cap\{x\ge0\} 上积分的 22 倍。若 Σ\Sigma 关于平面 x=yx=y 对称，则∬Σf(x,y,z) dS=∬Σf(y,x,z) dS\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS=\iint_\Sigma f(y,x,z)\,dS特别地，若 Σ\Sigma 为球面 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2，则由轮换对称性∬Σx2 dS=∬Σy2 dS=∬Σz2 dS\iint_\Sigma x^2\,dS=\iint_\Sigma y^2\,dS=\iint_\Sigma z^2\,dS且∬Σx2 dS=13∬Σ(x2+y2+z2) dS\iint_\Sigma x^2\,dS =\frac13\iint_\Sigma(x^2+y^2+z^2)\,dS
曲面关于坐标面对称时，只有被积函数在该变量上为奇函数，积分才为 00；若为偶函数，结果是“两倍半边”，不是 00。

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第二型曲线积分

平面第二型曲线积分∫LP(x,y) dx+Q(x,y) dy\int_L P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy空间第二型曲线积分∫LP dx+Q dy+R dz\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz其中 LL 是有向曲线。物理意义是变力 F=(P,Q,R)\mathbf F=(P,Q,R) 沿有向曲线所做的功。若 t=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\mathbf t=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) 为 LL 的单位切向量，则∫LP dx+Q dy+R dz=∫L(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ) ds\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,ds这说明第二型曲线积分是“带方向的第一型积分”。性质：
  • 与方向有关：∫L−P dx+Q dy=−∫LP dx+Q dy\int_{L^-}P\,dx+Q\,dy=-\int_L P\,dx+Q\,dy；
  • 线性；
  • 曲线分段时，各段按自己的方向积分后相加。
第二型曲线积分与方向有关，不能直接照搬第一型的奇偶对称性结论。若要利用对称性，先写成 ∫L(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ) ds\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,ds，注意切向量在对称点处会反向。
第二型曲线积分必须明确起点与终点。只写“沿曲线 LL”而不说明方向，积分没有确定值。
设x=x(t),y=y(t),z=z(t),t:a→bx=x(t),\qquad y=y(t),\qquad z=z(t),\qquad t:a\to b其中 t=at=a 对应起点，t=bt=b 对应终点（aa 不一定小于 bb），则∫LP dx+Q dy+R dz=∫ab[P x′(t)+Q y′(t)+R z′(t)]dt\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\int_a^b\left[P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right]dt其中 P,Q,RP,Q,R 均用 x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t) 代入。
下限对应起点、上限对应终点，不要求 a<ba<b。这一点与第一型曲线积分“下限小于上限”的规则不同。
设 LL 是平面区域 DD 的分段光滑正向边界，P,QP,Q 在 DD 上具有连续一阶偏导数，则∮LP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\oint_L P\,dx+Q\,dy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy正向规定：沿 LL 前进时，区域 DD 始终在左侧。等价地，单连通区域的外边界取逆时针；复连通区域取“外逆内顺”。
使用格林公式前必须同时检查三件事：
  1. LL 是否封闭；
  2. LL 是否取正向；
  3. P,QP,Q 在 DD 上是否处处具有连续一阶偏导数，即区域内有无奇点。
若 LL 不封闭，可补一段或几段辅助曲线 L1L_1，使 L+L1L+L_1 成为封闭曲线，且整体取正向，则∫LP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy−∫L1P dx+Q dy\int_L P\,dx+Q\,dy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy -\int_{L_1}P\,dx+Q\,dy辅助线通常取平行于坐标轴的线段，因为此时 dx=0dx=0 或 dy=0dy=0，补线积分容易计算。
先算整个闭曲线的积分，再减去补线部分。补线的方向要按“闭曲线正向”来确定，符号写反是高频错误。
若 P,QP,Q 在 DD 内某点处不满足连续偏导条件，不能直接对整个 DD 用格林公式。作一条位于 DD 内、包围奇点的小闭曲线 ll，把 ll 的内部挖去，记剩余区域为 D′D'。在 D′D' 上，正向边界由 LL（逆时针）和 ll（顺时针）组成，于是∮LP dx+Q dy+∮l−P dx+Q dy=∬D′(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\oint_L P\,dx+Q\,dy+\oint_{l^-}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D'}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy若右端为 00，则∮LP dx+Q dy=∮l+P dx+Q dy\oint_L P\,dx+Q\,dy=\oint_{l^+}P\,dx+Q\,dy即大曲线（逆时针）上的积分等于小曲线（逆时针）上的积分。小曲线通常取圆，参数化后直接计算。
挖洞时小曲线的方向最容易出错。记住：相对挖去后的区域，内边界取顺时针；但换算成大曲线积分时，结果等于小曲线逆时针方向的积分。
设 GG 是平面单连通开区域，P,QP,Q 在 GG 内具有连续一阶偏导数。以下四条等价：
  1. 对 GG 内任意两点 A,BA,B，∫ABP dx+Q dy\int_A^B P\,dx+Q\,dy 与路径无关；
  2. 对 GG 内任意分段光滑闭曲线 CC，∮CP dx+Q dy=0\oint_C P\,dx+Q\,dy=0；
  3. 在 GG 内恒有
∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
  1. 存在势函数 u(x,y)u(x,y)，使
du=P dx+Q dydu=P\,dx+Q\,dy此时∫ABP dx+Q dy=u(B)−u(A)\int_A^B P\,dx+Q\,dy=u(B)-u(A)
“单连通”不能省。经典的P=−yx2+y2,Q=xx2+y2P=\frac{-y}{x^2+y^2},\qquad Q=\frac{x}{x^2+y^2}在挖去原点的区域内满足 Py=QxP_y=Q_x，但绕原点一周的积分为 2π2\pi，并不为 00，所以在该区域上积分与路径无关不成立。
已知 du=P dx+Q dydu=P\,dx+Q\,dy 且 Py=QxP_y=Q_x，求 u(x,y)u(x,y)。方法一：偏积分由 ux=Pu_x=P 得u(x,y)=∫P(x,y) dx+φ(y)u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+\varphi(y)再对 yy 求偏导，令 uy=Qu_y=Q，解出 φ′(y)\varphi'(y)，积分得 φ(y)\varphi(y)。方法二：折线积分取定点 (x0,y0)(x_0,y_0)，沿“先水平后竖直”的折线积分：u(x,y)=∫x0xP(x,y0) dx+∫y0yQ(x,y) dy+Cu(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)\,dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)\,dy+C也可先竖直后水平，结果只差常数。
求出 uu 后回代验证 du=P dx+Q dydu=P\,dx+Q\,dy。空间情形同理：先设 u=∫P dx+φ(y,z)u=\int P\,dx+\varphi(y,z)，再由 uy=Qu_y=Q、uz=Ru_z=R 确定 φ\varphi。
设 Σ\Sigma 为分段光滑的有向曲面，其边界 Γ=∂Σ\Gamma=\partial\Sigma 为分段光滑闭曲线，Γ\Gamma 的方向与 Σ\Sigma 的法向量 n\mathbf n 符合右手定则，P,Q,RP,Q,R 在包含 Σ\Sigma 的区域内有连续一阶偏导数，则∮ΓP dx+Q dy+R dz=∬Σ∣dy dzdz dxdx dy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\oint_\Gamma P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dy\,dz & dz\,dx & dx\,dy\\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[8pt] P & Q & R \end{vmatrix}按第一行展开，得∮ΓP dx+Q dy+R dz=∬Σ[(∂R∂y−∂Q∂z)dy dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy]\oint_\Gamma P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\iint_\Sigma\left[ \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\,dz +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dz\,dx +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy \right]向量形式为∮ΓF⋅dr=∬Σ(∇×F)⋅n dS\oint_\Gamma\mathbf F\cdot d\mathbf r =\iint_\Sigma(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS其中旋度为∇×F=(∂R∂y−∂Q∂z, ∂P∂z−∂R∂x, ∂Q∂x−∂P∂y)\nabla\times\mathbf F =\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)方向判定（右手定则）：右手四指沿 Γ\Gamma 的方向弯曲，拇指所指的一侧为 Σ\Sigma 的正侧。曲面选取：Γ\Gamma 确定后，Σ\Sigma 可以任选，只要以 Γ\Gamma 为边界。常取以 Γ\Gamma 为边界的平面区域（当 Γ\Gamma 共面时），或取球面、柱面等较简单曲面的一部分，使 ∇×F⋅n\nabla\times\mathbf F\cdot\mathbf n 容易计算。若能取平面块，则 n\mathbf n 为常向量，计算最简。
斯托克斯公式要求 Γ\Gamma 是封闭曲线，且 Σ\Sigma 的边界恰好是 Γ\Gamma。若曲线不封闭，不能直接用斯托克斯公式；若曲面封闭（无边界），则不存在边界曲线 Γ\Gamma，此时由 ∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0 和高斯公式可知 ∯Σ(∇×F)⋅n dS=0\oiint_\Sigma(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS=0。
在空间单连通区域 GG 内，若 P,Q,RP,Q,R 具有连续一阶偏导数，则下列条件等价：
  • ∫LP dx+Q dy+R dz\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz 与路径无关；
  • 沿 GG 内任意闭曲线的积分为 00；
  • 在 GG 内恒有
∂P∂y=∂Q∂x,∂P∂z=∂R∂x,∂Q∂z=∂R∂y\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}
  • 存在 u(x,y,z)u(x,y,z)，使 du=P dx+Q dy+R dzdu=P\,dx+Q\,dy+R\,dz。
此时∫ABP dx+Q dy+R dz=u(B)−u(A)\int_A^B P\,dx+Q\,dy+R\,dz=u(B)-u(A)

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第二型曲面积分

第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）为∬ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy\iint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy若 n=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\mathbf n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) 为曲面指定一侧的单位法向量，则∬ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy=∬Σ(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ) dS\iint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy =\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dS也可写成∬ΣF⋅n dS\iint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS其中 F=(P,Q,R)\mathbf F=(P,Q,R)。物理意义为向量场通过有向曲面的通量。性质：
  • 与所取的侧有关，换侧变号；
  • 线性、曲面可加（保持同一侧）；
  • 闭曲面默认取外侧为正。
第二型曲面积分必须指定侧。只说“在曲面 Σ\Sigma 上积分”而不说明上侧、下侧、外侧或内侧，积分没有确定值。
设 Σ:z=z(x,y)\Sigma:z=z(x,y)，投影为 DxyD_{xy}，取上侧（法向量的 zz 分量为正），则(dy dz, dz dx, dx dy)=(−zx, −zy, 1) dx dy(dy\,dz,\ dz\,dx,\ dx\,dy)=(-z_x,\,-z_y,\,1)\,dx\,dy于是∬ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy=∬Dxy(−Pzx−Qzy+R)dx dy\iint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy =\iint_{D_{xy}}\left(-Pz_x-Qz_y+R\right)dx\,dy其中 P,Q,RP,Q,R 均代入 z=z(x,y)z=z(x,y)。若取下侧，整体加负号。
合一投影把三项合成一个二重积分，适合曲面能整体写成 z=z(x,y)z=z(x,y) 的情形。若曲面分片或投影重叠，改用分面投影或高斯公式。
把三项分别投影到相应坐标平面：∬ΣR dx dy=±∬DxyR(x,y,z(x,y))dx dy\iint_\Sigma R\,dx\,dy =\pm\iint_{D_{xy}}R\bigl(x,y,z(x,y)\bigr)dx\,dy∬ΣP dy dz=±∬DyzP(x(y,z),y,z)dy dz\iint_\Sigma P\,dy\,dz =\pm\iint_{D_{yz}}P\bigl(x(y,z),y,z\bigr)dy\,dz∬ΣQ dz dx=±∬DzxQ(x,y(x,z),z)dz dx\iint_\Sigma Q\,dz\,dx =\pm\iint_{D_{zx}}Q\bigl(x,y(x,z),z\bigr)dz\,dx符号规则：法向量的对应分量为正取“++”，为负取“−-”。具体地，
  • ∬ΣR dx dy\iint_\Sigma R\,dx\,dy：上侧（nz>0n_z>0）取 ++，下侧取 −-；
  • ∬ΣP dy dz\iint_\Sigma P\,dy\,dz：前侧（nx>0n_x>0）取 ++，后侧取 −-；
  • ∬ΣQ dz dx\iint_\Sigma Q\,dz\,dx：右侧（ny>0n_y>0）取 ++，左侧取 −-。
每一项的符号只看该方向法向分量的正负，不同项可能取不同符号。闭曲面若分上下两片直接算，极易漏项或错号，优先考虑高斯公式。
设 Ω\Omega 是由分片光滑闭曲面 Σ\Sigma 围成的空间区域，Σ\Sigma 取外侧，P,Q,RP,Q,R 在 Ω\Omega 上具有连续一阶偏导数，则∯ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\oiint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy =\iiint_\Omega\left( \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z} \right)dV右端被积函数为散度：div⁡F=∇⋅F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\operatorname{div}\mathbf F=\nabla\cdot\mathbf F =\frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z}因此高斯公式可简写为∯ΣF⋅n dS=∭Ω∇⋅F dV\oiint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_\Omega\nabla\cdot\mathbf F\,dV使用前检查：曲面是否封闭、是否取外侧、P,Q,RP,Q,R 在 Ω\Omega 内是否处处具有连续偏导数。
若 Σ\Sigma 取内侧，结果整体取负号；若曲面不封闭，先补面；若区域内有奇点，先挖洞。三者是高斯公式最常见的三种变形。
若 Σ\Sigma 不封闭，补一块或几块辅助曲面 Σ1\Sigma_1，使 Σ+Σ1\Sigma+\Sigma_1 成为封闭曲面并取外侧，则∬ΣF⋅n dS=∭Ω∇⋅F dV−∬Σ1F⋅n dS\iint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_\Omega\nabla\cdot\mathbf F\,dV -\iint_{\Sigma_1}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS辅助面常取坐标平面上的平面块（如 z=0z=0），因为在这类面上某些坐标微元为 00，通量容易计算。
补面后要保证整个闭曲面取外侧，且补面的法向与之一致。减去补面通量时符号写反，是本题型最常见的错误。
若 F\mathbf F 在 Ω\Omega 内某点无定义或偏导数不连续（如分母含 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2），作包围奇点的小闭曲面 Σε\Sigma_\varepsilon（常取小球面），在 Ω\Omega 挖去其内部后的区域 Ω′\Omega' 上使用高斯公式。设 Σ\Sigma 取外侧，n′\mathbf n' 为 Ω′\Omega' 在 Σε\Sigma_\varepsilon 上的外法向（指向球心），则∯ΣF⋅n dS+∯ΣεF⋅n′ dS=∭Ω′∇⋅F dV\oiint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS +\oiint_{\Sigma_\varepsilon}\mathbf F\cdot\mathbf n'\,dS =\iiint_{\Omega'}\nabla\cdot\mathbf F\,dV若 ∇⋅F=0\nabla\cdot\mathbf F=0，则∯ΣF⋅n dS=∯ΣεF⋅(−n′) dS\oiint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\oiint_{\Sigma_\varepsilon}\mathbf F\cdot(-\mathbf n')\,dS即大曲面外侧的通量等于小球面取外侧（背离球心）时的通量。
在 Ω′\Omega' 的边界上，小球面的法向指向球心，与“小球面外侧”相反。移项后符号取正，但方向含义已经改变，务必画图确认。
取 F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z)，则 ∇⋅F=3\nabla\cdot\mathbf F=3，于是V=∭ΩdV=13∯Σ(x dy dz+y dz dx+z dx dy)V=\iiint_\Omega dV =\frac13\oiint_\Sigma\left(x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy\right)其中 Σ\Sigma 为 Ω\Omega 的边界曲面，取外侧。更一般地，只要选取 F\mathbf F 使 ∇⋅F=1\nabla\cdot\mathbf F=1，就有 V=∯ΣF⋅n dSV=\oiint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS。例如取 F=(x,0,0)\mathbf F=(x,0,0)，得V=∯Σx dy dzV=\oiint_\Sigma x\,dy\,dz
  1. 第二型曲面积分与侧有关，换侧变号；第一型与侧无关。
  2. 合一投影公式中是 −Pzx−Qzy+R-Pz_x-Qz_y+R，符号不能记错。
  3. 闭曲面用高斯公式必须取外侧；内侧结果整体取负。
  4. 曲面不封闭时先补面，再减去补面通量。
  5. 区域内有奇点时不能直接对整个区域用高斯公式。
  6. 第二型积分的对称性不能照搬第一型结论：对称点处的法向或切向会反向，稳妥做法是先化为第一型再判断，或直接分侧计算。

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三大公式对比

三者都要求被积函数在所讨论区域上具有连续一阶偏导数，且积分区域与边界的方向匹配。 公式之间的关系
  • 格林公式是斯托克斯公式的特例：取 Σ\Sigma 为 xOyxOy 平面内的区域，n=k\mathbf n=\mathbf k，则 ∇×F⋅k=Qx−Py\nabla\times\mathbf F\cdot\mathbf k=Q_x-P_y。
  • 高斯公式把闭曲面上的通量化为三重积分，对应散度；斯托克斯公式把空间闭曲线上的环量化为曲面积分，对应旋度。
  • 统一理解：边界上的积分等于内部“微分”的积分。格林、高斯、斯托克斯分别是平面、空间区域、曲面上的三种具体形式。
方向口诀：格林看左，高斯看外，斯托克斯看右手。
  • 格林：沿边界走，区域在左手边；
  • 高斯：闭曲面法向朝外；
  • 斯托克斯：右手四指沿曲线，拇指指向曲面法向。

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常用结论与解题技巧

设 LL 为平面区域 DD 的正向边界，则SD=12∮L(x dy−y dx)S_D=\frac12\oint_L(x\,dy-y\,dx)也可写成SD=∮Lx dy=−∮Ly dxS_D=\oint_L x\,dy=-\oint_L y\,dx推导：取 P=−yP=-y，Q=xQ=x，则 Qx−Py=1−(−1)=2Q_x-P_y=1-(-1)=2，由格林公式即得。
当边界由参数方程给出、面积不易用二重积分直接算时，用曲线积分求面积往往更方便。
  1. 先区域，后函数：先确认积分区域（曲线、曲面、空间区域）在相应变换下不变，再判断被积函数的奇偶性。
  2. 第一型直接用：第一型曲线、曲面积分与方向、侧无关，奇函数项直接为 00，偶函数项取两倍。
  3. 第二型要谨慎：第二型积分中的 dx,dy,dzdx,dy,dz 或 dy dz,dz dx,dx dydy\,dz,dz\,dx,dx\,dy 带有方向信息，对称点处的切向或法向会反向，不能直接套用第一型的结论。
  4. 轮换对称：区域关于 x=yx=y 对称时，可交换被积函数中的 x,yx,y；球面、正方体等还可利用 ∬x2 dS=∬y2 dS=∬z2 dS\iint x^2\,dS=\iint y^2\,dS=\iint z^2\,dS。
  5. 补形后仍要检查：补线、补面后，新边界的方向要与原方向配套，否则符号出错。
设 F=(P,Q,R)\mathbf F=(P,Q,R)，则div⁡F=∇⋅F=Px+Qy+Rz\operatorname{div}\mathbf F=\nabla\cdot\mathbf F =P_x+Q_y+R_zrot⁡F=∇×F=(Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py)\operatorname{rot}\mathbf F=\nabla\times\mathbf F =\left(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\right)常用恒等式（在二阶偏导数连续的条件下）：∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0∇×(∇u)=0\nabla\times(\nabla u)=\mathbf 0记忆：高斯公式对应散度，斯托克斯公式对应旋度。

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方法选择

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高频易错点

  1. 方向：第一型无方向；第二型有方向；闭曲面取外侧；空间曲线与曲面法向符合右手定则。
  2. 奇点：偏导数不连续处不能直接用公式，先挖洞。
  3. 补形符号：补线、补面后要减去辅助部分，符号写反是高频错误。
  4. 球坐标范围：φ∈[0,π]\varphi\in[0,\pi]，θ∈[0,2π)\theta\in[0,2\pi)，别把两者混淆。
  5. 雅可比：换元必须乘 ∣J∣|J|，并同步更换积分区域。
  6. 对称性前提：区域不对称时，不能只凭被积函数的奇偶性写 00。
  7. 封闭性判断：曲线、曲面是否封闭，要用方程验证，不能凭图像印象。
  8. 公式适用条件：格林、高斯、斯托克斯都要求偏导数连续，且方向匹配。

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本章总结

按“会算、会选、会验”三层检查：
  1. 三重积分：能在直角坐标两种次序、柱面坐标、球面坐标之间选择，正确写出积分限与体积微元。
  2. 第一型曲线积分：熟记参数、显函数、极坐标三种弧长微元，知道化定积分时下限小于上限。
  3. 第一型曲面积分：会投影、会套面积微元，能用对称性化简。
  4. 格林公式：会判断封闭性、方向与奇点，掌握补线与挖洞，理解路径无关的四个等价条件。
  5. 高斯公式：会补面、判断内外侧、处理奇点，会用 13∯(x dy dz+y dz dx+z dx dy)\frac13\oiint(x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy) 求体积。
  6. 斯托克斯公式：会选曲面、判定右手方向，能把空间闭曲线积分化为曲面积分。
多元积分学的核心不是公式数量，而是“先定性、再定形、后定号”：先判断第一型还是第二型，再根据区域形状选坐标系或投影，最后确认方向与符号。
  • 第一型曲线积分化定积分时，下限必须小于上限；第二型则按下限对应起点、上限对应终点。
  • 三重积分换元后忘记乘 ∣J∣|J|，或柱面、球面坐标漏掉 rr、ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi。
  • 球面坐标中把 φ\varphi 的范围写成 [0,2π][0,2\pi]。
  • 格林公式用于非封闭曲线时，补线后忘记减去补线积分。
  • 区域内有奇点仍直接使用格林公式或高斯公式。
  • 高斯公式中闭曲面取内侧，结果忘记变号。
  • 斯托克斯公式中曲线方向与曲面法向不满足右手定则。
  • 把第二型积分的对称性当作第一型直接使用。
Last modified on October 28, 2026