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本章对应张宇《高等数学基础30讲》第 17 讲，是数学一的内容，为第 18 讲多元函数积分学做几何与场论上的准备。全章按“向量代数 → 平面与直线 → 曲面与曲线 → 曲线的切线与法平面 → 曲面的切平面与法线 → 方向导数与梯度 → 散度与旋度”展开。 复习时先建立“方向”意识：空间几何中的距离、夹角、切线、法线都由方向向量决定；场论中的方向导数、通量、环量则由梯度、散度、旋度刻画。本章公式是格林、高斯、斯托克斯公式的直接工具，不能只背结论。
复习主线：写出方向向量或法向量 → 用点积判断垂直、叉积判断平行 → 套距离与夹角公式 → 用梯度求切平面与方向导数 → 用散度、旋度描述向量场。常见考法：
  • 小题多考向量运算、平面与直线的位置关系、点到直线与点到平面的距离；
  • 大题多考曲线、曲面的切线与切平面，方向导数的最大值，以及散度、旋度的计算；
  • 本章结论会直接出现在多元积分学大题的第一步，例如补面时求法向量、定向时判断侧。

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向量代数

设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)\mathbf a=(a_1,a_2,a_3),\qquad \mathbf b=(b_1,b_2,b_3)则a±b=(a1±b1, a2±b2, a3±b3),ka=(ka1,ka2,ka3)\mathbf a\pm\mathbf b=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2,\ a_3\pm b_3),\qquad k\mathbf a=(ka_1,ka_2,ka_3)模与单位向量：∣a∣=a12+a22+a32,a∘=a∣a∣|\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},\qquad \mathbf a^\circ=\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}设 a\mathbf a 与三条坐标轴正向的夹角分别为 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma，称为方向角，则方向余弦为cos⁡α=a1∣a∣,cos⁡β=a2∣a∣,cos⁡γ=a3∣a∣\cos\alpha=\frac{a_1}{|\mathbf a|},\qquad \cos\beta=\frac{a_2}{|\mathbf a|},\qquad \cos\gamma=\frac{a_3}{|\mathbf a|}且cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1因此a∘=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\mathbf a^\circ=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)
方向余弦就是单位向量的三个分量。题目给出方向角或方向余弦时，方向向量可直接取 (cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)，不必再单位化。
a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ=a1b1+a2b2+a3b3\mathbf a\cdot\mathbf b =|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3其中 θ\theta 为两向量夹角，θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]。由此得到夹角公式cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣\cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}以及∣a∣2=a⋅a|\mathbf a|^2=\mathbf a\cdot\mathbf a运算律：交换律、分配律、与数乘结合。但不满足消去律：a⋅b=a⋅c ⇏ b=c\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf c \ \not\Rightarrow\ \mathbf b=\mathbf c因为只能推出 a⋅(b−c)=0\mathbf a\cdot(\mathbf b-\mathbf c)=0，即 a⊥(b−c)\mathbf a\perp(\mathbf b-\mathbf c)。投影：b\mathbf b 在 a\mathbf a 方向上的投影为Prj⁡ab=a⋅b∣a∣=∣b∣cos⁡θ\operatorname{Prj}_{\mathbf a}\mathbf b =\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|} =|\mathbf b|\cos\theta这是一个带符号的数，夹角为钝角时投影为负。
投影是数量，投影向量是向量：b\mathbf b 在 a\mathbf a 方向上的投影向量为 a⋅ba⋅aa\dfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf a\cdot\mathbf a}\mathbf a。两者不要混写。
a×b=∣ijka1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)\mathbf a\times\mathbf b= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)模：∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b| =|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta几何意义：∣a×b∣|\mathbf a\times\mathbf b| 等于以 a,b\mathbf a,\mathbf b 为邻边的平行四边形的面积，三角形面积为 12∣a×b∣\dfrac12|\mathbf a\times\mathbf b|。方向：同时垂直于 a,b\mathbf a,\mathbf b，且 a,b,a×b\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a\times\mathbf b 构成右手系。运算性质：
  • 反交换律：a×b=−b×a\mathbf a\times\mathbf b=-\mathbf b\times\mathbf a；
  • 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c；
  • a×a=0\mathbf a\times\mathbf a=\mathbf 0；
  • 不满足结合律，一般 (a×b)×c≠a×(b×c)(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c\ne\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)。
求“同时垂直于两个已知向量”的向量，标准做法就是作叉积。求平面法向量、直线方向向量、曲面法向量，最终都归结为这一步。
[a,b,c]=(a×b)⋅c=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c] =(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}几何意义：绝对值等于以 a,b,c\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c 为棱的平行六面体的体积；以它们为棱的四面体体积为 16∣[a,b,c]∣\dfrac16\bigl|[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]\bigr|。性质：
  • 轮换不变：[a,b,c]=[b,c,a]=[c,a,b][\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=[\mathbf b,\mathbf c,\mathbf a]=[\mathbf c,\mathbf a,\mathbf b]；
  • 任意交换两个向量，混合积变号；
  • 含零向量或有两个向量平行时，混合积为 00。
三向量共面的判据：[a,b,c]=0[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=0即混合积为零时，a,b,c\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c 共面。
混合积是数，不是向量。“[a,b,c]=0[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=0”表示三向量共面，不要与 a×b=0\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0（表示两向量平行）混淆。
垂直与平行：a⊥b  ⟺  a⋅b=0\mathbf a\perp\mathbf b\iff\mathbf a\cdot\mathbf b=0a∥b  ⟺  a×b=0  ⟺  a1b1=a2b2=a3b3\mathbf a\parallel\mathbf b\iff\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0 \iff\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}分式写法要求分母不为 00；某个分母为 00 时，按“存在 kk 使 a=kb\mathbf a=k\mathbf b”理解，即对应分子也必须为 00。两向量夹角cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣,θ∈[0,π]\cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}, \qquad \theta\in[0,\pi]若只关心两条直线或两个平面的夹角，则取锐角或直角：cos⁡θ=∣a⋅b∣∣a∣∣b∣,θ∈[0,π2]\cos\theta=\frac{|\mathbf a\cdot\mathbf b|}{|\mathbf a||\mathbf b|}, \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]
向量夹角可以是钝角，线线角、面面角只取锐角。判断垂直用点积是否为 00，与绝对值无关；求角度时是否加绝对值，要看对象是“向量”还是“直线、平面”。
  1. 向量积坐标公式的第二个分量是 a3b1−a1b3a_3b_1-a_1b_3，符号最容易写反，建议每次用行列式展开。
  2. 混合积交换两个向量要变号，只有轮换才不变号。
  3. 用分式表示平行时，必须单独检查分母为 00 的分量。
  4. 投影是数量，投影向量是向量。
  5. 由 a⋅b=0\mathbf a\cdot\mathbf b=0 判断垂直时，要确认 a,b\mathbf a,\mathbf b 都不是零向量。
  6. 两向量平行   ⟺  \iff 对应分量成比例，不要写成点积为 00。

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平面与直线

设平面过点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)，法向量为 n=(A,B,C)\mathbf n=(A,B,C)。点法式A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0一般式Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0其中 n=(A,B,C)\mathbf n=(A,B,C) 就是法向量，A,B,CA,B,C 不全为 00。截距式（三个截距都不为 00）xa+yb+zc=1\frac xa+\frac yb+\frac zc=1三点式：过不共线三点 M1,M2,M3M_1,M_2,M_3 的平面为(M1M2→×M1M3→)⋅M1M→=0(\overrightarrow{M_1M_2}\times\overrightarrow{M_1M_3})\cdot\overrightarrow{M_1M}=0特殊位置：
  • D=0D=0：平面过原点；
  • A=0A=0：平面平行于 xx 轴（B,CB,C 不全为 00）；
  • A=B=0A=B=0：平面平行于 xOyxOy 平面，即 Cz+D=0Cz+D=0。
求平面方程的关键是找法向量。常用三条路：两个已知向量作叉积；与已知平面平行则取同一法向量；与已知直线垂直则取该直线的方向向量。
设两平面Π1: A1x+B1y+C1z+D1=0\Pi_1:\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0Π2: A2x+B2y+C2z+D2=0\Pi_2:\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0相交于直线 LL。则过 LL 的平面可设为A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0A_1x+B_1y+C_1z+D_1 +\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0这一形式表示除 Π2\Pi_2 以外所有过 LL 的平面。若要包含 Π2\Pi_2，用对称形式λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) +\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0其中 λ,μ\lambda,\mu 不同时为 00。
用平面束求平面时，先确认两平面确实相交（法向量不平行）。若两平面平行，束方程表示的是与它们平行的一族平面，不再是“过交线”的平面。
设直线过点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)，方向向量为 s=(m,n,p)\mathbf s=(m,n,p)。对称式（点向式）x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}参数式{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt\begin{cases} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt \end{cases}两点式：过 P1(x1,y1,z1)P_1(x_1,y_1,z_1)、P2(x2,y2,z2)P_2(x_2,y_2,z_2)x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{y-y_1}{y_2-y_1} =\frac{z-z_1}{z_2-z_1}一般式（两平面交线）{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}此时方向向量为s=n1×n2\mathbf s=\mathbf n_1\times\mathbf n_2把一般式化为对称式：先取一个满足两方程的点，再取 s=n1×n2\mathbf s=\mathbf n_1\times\mathbf n_2。
对称式中某个分母为 00 时，约定对应分子恒为 00。例如 x−10=y2=z3\dfrac{x-1}{0}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3} 表示位于平面 x=1x=1 内、方向向量为 (0,2,3)(0,2,3) 的直线。更稳妥的写法是改用参数式。
设直线方向向量为 s\mathbf s，平面法向量为 n\mathbf n。垂直：L⊥Π  ⟺  s∥n  ⟺  s×n=0L\perp\Pi\iff\mathbf s\parallel\mathbf n\iff\mathbf s\times\mathbf n=\mathbf 0平行或在平面内：s⋅n=0\mathbf s\cdot\mathbf n=0此时需再把直线上一点代入平面方程：
  • 点满足平面方程：直线在平面内；
  • 点不满足平面方程：直线与平面平行。
斜交时，联立参数式与平面方程解出 tt，即得交点：A(x0+mt)+B(y0+nt)+C(z0+pt)+D=0A(x_0+mt)+B(y_0+nt)+C(z_0+pt)+D=0
“直线与平面平行”和“直线在平面内”在方向向量上无法区分，必须代点验证。这是选择题的常见陷阱。
设两平面法向量为 n1,n2\mathbf n_1,\mathbf n_2。两平面平行或重合：Π1∥Π2  ⟺  n1×n2=0\Pi_1\parallel\Pi_2 \iff\mathbf n_1\times\mathbf n_2=\mathbf 0进一步区分：若 n2=kn1\mathbf n_2=k\mathbf n_1，则当 D2=kD1D_2=kD_1 时两平面重合，否则平行。Π1⊥Π2  ⟺  n1⋅n2=0\Pi_1\perp\Pi_2\iff\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2=0两平面相交时，交线的方向向量为s=n1×n2\mathbf s=\mathbf n_1\times\mathbf n_2
判断两平面平行，先要把法向量系数化成同一比例再比较常数项。直接比较 D1,D2D_1,D_2 而不统一系数，会得出错误结论。
设L1: r=p1+ts1,L2: r=p2+ss2L_1:\ \mathbf r=\mathbf p_1+t\mathbf s_1,\qquad L_2:\ \mathbf r=\mathbf p_2+s\mathbf s_2平行或重合：s1×s2=0\mathbf s_1\times\mathbf s_2=\mathbf 0此时再用 p2−p1\mathbf p_2-\mathbf p_1 与 s1\mathbf s_1 是否平行区分平行、重合。共面：[p2−p1, s1, s2]=0[\mathbf p_2-\mathbf p_1,\ \mathbf s_1,\ \mathbf s_2]=0当 s1×s2≠0\mathbf s_1\times\mathbf s_2\ne\mathbf 0 时：
  • 混合积为 00：两直线共面，必相交；
  • 混合积不为 00：两直线异面。
判断两条直线的关系，先看方向向量是否平行，再看混合积是否为零，两步就能定完“平行、重合、相交、异面”四种情况。
点到平面d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}点到直线（P1P_1 为直线上一点，s\mathbf s 为方向向量）d=∣P1P0→×s∣∣s∣d=\frac{|\overrightarrow{P_1P_0}\times\mathbf s|}{|\mathbf s|}推导：∣P1P0→×s∣|\overrightarrow{P_1P_0}\times\mathbf s| 是以两向量为邻边的平行四边形面积，等于 ∣s∣|\mathbf s| 乘以点线距离。两条异面直线d=∣P1P2→⋅(s1×s2)∣∣s1×s2∣d=\frac{\bigl|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf s_1\times\mathbf s_2)\bigr|} {|\mathbf s_1\times\mathbf s_2|}分子是以 P1P2→,s1,s2\overrightarrow{P_1P_2},\mathbf s_1,\mathbf s_2 为棱的平行六面体体积，分母是底面平行四边形的面积，相除即公垂线长。两条平行平面Ax+By+Cz+D1=0,Ax+By+Cz+D2=0Ax+By+Cz+D_1=0,\qquad Ax+By+Cz+D_2=0d=∣D1−D2∣A2+B2+C2d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}两条平行直线：在其中一条上取一点，转化为点到直线的距离。
两平行平面的距离公式要求两个方程的法向量系数已经统一。若写成 A1x+B1y+C1z+D1=0A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 与 k(A1x+B1y+C1z)+D2=0k(A_1x+B_1y+C_1z)+D_2=0，必须先化为同一组 A,B,CA,B,C 再套公式。
两条直线cos⁡θ=∣s1⋅s2∣∣s1∣∣s2∣,θ∈[0,π2]\cos\theta=\frac{|\mathbf s_1\cdot\mathbf s_2|}{|\mathbf s_1||\mathbf s_2|}, \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]两个平面cos⁡θ=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣,θ∈[0,π2]\cos\theta=\frac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|}{|\mathbf n_1||\mathbf n_2|}, \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]直线与平面sin⁡θ=∣s⋅n∣∣s∣∣n∣,θ∈[0,π2]\sin\theta=\frac{|\mathbf s\cdot\mathbf n|}{|\mathbf s||\mathbf n|}, \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]这里 θ\theta 是直线与它在平面上投影线的夹角，所以用 sin⁡\sin 而不是 cos⁡\cos：s\mathbf s 与 n\mathbf n 的夹角是 90∘−θ90^\circ-\theta。
线面角用 sin⁡\sin，线线角、面面角用 cos⁡\cos，是最高频的公式混淆点。记法：直线与平面“越陡”，s\mathbf s 越接近 n\mathbf n，此时 sin⁡θ\sin\theta 越接近 11。
  1. 平面方程的法向量是 (A,B,C)(A,B,C)，直线方程的分母是方向向量，两者不要互串。
  2. 直线在平面内与平行于平面都满足 s⋅n=0\mathbf s\cdot\mathbf n=0，必须代点区分。
  3. 两平面平行要统一法向量系数后再比较常数项。
  4. 异面直线距离的分子要加绝对值，否则可能算出负数。
  5. 线面角用 sin⁡\sin，不要套成 cos⁡\cos。
  6. 用平面束时，束方程默认漏掉 Π2\Pi_2，需要时改用 λΠ1+μΠ2=0\lambda\Pi_1+\mu\Pi_2=0。
  7. 对称式分母为 00 时不能直接约分，应理解为对应分子为 00。

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空间曲面与曲线

曲面的一般方程为F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0也可写成显式 z=f(x,y)z=f(x,y)，或参数式r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\mathbf r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)柱面：动直线沿定曲线平行移动形成的曲面。母线平行于 zz 轴时，方程中不含 zz：F(x,y)=0F(x,y)=0例如 x2+y2=R2x^2+y^2=R^2 是圆柱面，y2=2pxy^2=2px 是抛物柱面。判断柱面：方程缺少哪个变量，母线就平行于哪条坐标轴。
空间曲线在坐标面上的投影，本质就是找一个以该坐标面为“底”的柱面，所以投影问题与柱面方程是同一件事。
曲线 CC 绕定直线旋转一周形成的曲面。设 CC 位于 xOyxOy 平面内。y=f(x)y=f(x) 绕 xx 轴y2+z2=[f(x)]2y^2+z^2=[f(x)]^2x=g(y)x=g(y) 绕 yy 轴x2+z2=[g(y)]2x^2+z^2=[g(y)]^2一般原则：绕哪个轴旋转，哪个坐标不变，另一个坐标替换为“其余两个坐标平方和的平方根”，再平方去根号。若曲线位于 yOzyOz 平面内，方程为 f(y,z)=0f(y,z)=0，绕 zz 轴旋转后得到f(±x2+y2, z)=0f\bigl(\pm\sqrt{x^2+y^2},\ z\bigr)=0
旋转曲面的方程是“平方和”形式，开方会引入 ±\pm，所以最终写成平方，不要保留根号而丢掉另一支。
识别方法：二次项系数“两正一负”时，若等号右端为 11 且负项在 z2z^2 上，多为单叶双曲面；若写成 zz 等于两个平方项之差，则为双曲抛物面。二次项系数“一正两负”时，多为双叶双曲面。
数一考题常把二次曲面与旋转曲面结合，例如“yOzyOz 平面内的抛物线绕 zz 轴旋转”，先写出旋转面方程，再与平面求交线。
空间曲线常用两种表示。一般式（两曲面交线）{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}参数式{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases}投影到 xOyxOy 平面：从两方程中消去 zz，得投影柱面H(x,y)=0H(x,y)=0再与 z=0z=0 联立，得投影曲线{H(x,y)=0z=0\begin{cases} H(x,y)=0\\ z=0 \end{cases}投影到 yOzyOz、zOxzOx 平面时，分别消去 xx、yy。
消元是不可逆运算，投影柱面可能包含原曲线以外的点。因此投影曲线只能取柱面与坐标面交线上满足原方程的那一段，必要时要补上范围限制，例如 x≥0x\ge0、0≤z≤10\le z\le1。
  1. 柱面方程缺少一个变量，不要误判为“平面”。
  2. 旋转曲面要写平方和，开方后不能只取正支。
  3. 投影只写消元结果，忘记与 z=0z=0 联立或忘记范围限制。
  4. 二次曲面标准方程中 a,b,ca,b,c 是半轴长，不是轴长。
  5. 参数式曲线的参数范围要写全，它决定曲线是整条还是其中一段。

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曲线的切线与法平面

设曲线r(t)=(x(t),y(t),z(t))\mathbf r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)在 t=t0t=t_0 处可导，且T=r′(t0)=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))≠0\mathbf T=\mathbf r'(t_0) =\bigl(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\bigr)\ne\mathbf 0则 T\mathbf T 是曲线在对应点处的切向量。切线方程x−x0x′(t0)=y−y0y′(t0)=z−z0z′(t0)\frac{x-x_0}{x'(t_0)} =\frac{y-y_0}{y'(t_0)} =\frac{z-z_0}{z'(t_0)}法平面（过切点且垂直于切线的平面）x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0
切向量必须非零。若 r′(t0)=0\mathbf r'(t_0)=\mathbf 0，曲线在该点可能出现尖点或自交点，上述公式失效，需要单独判断。
设曲线由{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}给出，且 ∇F,∇G\nabla F,\nabla G 在点 P0P_0 处连续、∇F(P0)×∇G(P0)≠0\nabla F(P_0)\times\nabla G(P_0)\ne\mathbf 0，则曲线在 P0P_0 处的切向量为T=∇F(P0)×∇G(P0)=∣ijkFxFyFzGxGyGz∣\mathbf T=\nabla F(P_0)\times\nabla G(P_0) = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ F_x & F_y & F_z\\ G_x & G_y & G_z \end{vmatrix}因为 ∇F\nabla F 是曲面 F=0F=0 的法向量，∇G\nabla G 是曲面 G=0G=0 的法向量，交线的方向同时垂直于两个法向量，故取叉积。
这是“两曲面交线”题型最省事的做法，不必先参数化。只要两个法向量不平行，叉积就给出切向量。
若曲线位于 xOyxOy 平面内，写成 y=f(x)y=f(x)，则点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的切向量可取T=(1, f′(x0), 0)\mathbf T=(1,\ f'(x_0),\ 0)切线方程y−y0=f′(x0)(x−x0)y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)法线方程y−y0=−1f′(x0)(x−x0)y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)当 f′(x0)=0f'(x_0)=0 时，切线水平，法线竖直，需单独写出 x=x0x=x_0。
平面曲线是空间曲线的特例，也可以看成两张曲面 y−f(x)=0y-f(x)=0 与 z=0z=0 的交线，用 ∇F×∇G\nabla F\times\nabla G 会得到同一个方向 (1,f′(x0),0)(1,f'(x_0),0)。
  1. 把切向量与法向量弄反：切线沿 T\mathbf T，法平面垂直于 T\mathbf T。
  2. 交线题忘记先验证 ∇F×∇G≠0\nabla F\times\nabla G\ne\mathbf 0。
  3. 切线写成点法式（应为点向式），或法平面写成点向式（应为点法式）。
  4. 参数式求导后忘记代入具体的 t0t_0。
  5. 曲线在某点切向量为零时仍套公式，导致分母全为 00。

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曲面的切平面与法线

设曲面F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0) 在曲面上，且∇F(P0)=(Fx(P0),Fy(P0),Fz(P0))≠0\nabla F(P_0)=\bigl(F_x(P_0),F_y(P_0),F_z(P_0)\bigr)\ne\mathbf 0则曲面在 P0P_0 处的法向量为n=∇F(P0)\mathbf n=\nabla F(P_0)切平面Fx(P0)(x−x0)+Fy(P0)(y−y0)+Fz(P0)(z−z0)=0F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0法线x−x0Fx(P0)=y−y0Fy(P0)=z−z0Fz(P0)\frac{x-x_0}{F_x(P_0)} =\frac{y-y_0}{F_y(P_0)} =\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}
∇F≠0\nabla F\ne\mathbf 0 保证曲面在该点光滑。若梯度为零，曲面可能出现尖点或自交，不能再用梯度作法向量。
设曲面z=f(x,y)z=f(x,y)令 F(x,y,z)=f(x,y)−zF(x,y,z)=f(x,y)-z，则∇F=(fx, fy, −1)\nabla F=(f_x,\ f_y,\ -1)切平面z−z0=fx(P0)(x−x0)+fy(P0)(y−y0)z-z_0=f_x(P_0)(x-x_0)+f_y(P_0)(y-y_0)法线x−x0fx(P0)=y−y0fy(P0)=z−z0−1\frac{x-x_0}{f_x(P_0)} =\frac{y-y_0}{f_y(P_0)} =\frac{z-z_0}{-1}法线的方向余弦为±(fx, fy, −1)1+fx2+fy2\pm\frac{(f_x,\ f_y,\ -1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}正负号由法线指向哪一侧决定。
显式曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 的法向量是 (fx,fy,−1)(f_x,f_y,-1)，不是 (fx,fy,1)(f_x,f_y,1)。符号错了，切平面方程仍对，但法线方向和后续定向会错。
设曲面r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\mathbf r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)则法向量为n=ru×rv=∣ijkxuyuzuxvyvzv∣\mathbf n=\mathbf r_u\times\mathbf r_v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}要求 ru×rv≠0\mathbf r_u\times\mathbf r_v\ne\mathbf 0，即参数网格在该点不退化。切平面n⋅(r−r0)=0\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0法线r=r0+tn\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf n
球面、柱面的参数化在多元积分学中反复使用，这里求出的 n\mathbf n 与曲面积分中的“定向法向量”是同一个方向，可直接衔接。
全微分dz=fx dx+fy dydz=f_x\,dx+f_y\,dy的几何意义：dzdz 是切平面上 zz 的增量。因此“可微”等价于“曲面在局部可用切平面近似”，这也是切平面存在的本质。易错点：
  1. 曲面法向量与曲线切向量混淆：曲面求法向量用梯度，曲线求切向量用导数或叉积。
  2. 显式曲面法向量漏掉 −1-1，或写成 (fx,fy,1)(f_x,f_y,1)。
  3. 忘记验证 ∇F≠0\nabla F\ne\mathbf 0，在奇点处套公式。
  4. 切平面方程写成点向式，法线方程写成点法式。
  5. 参数曲面忘记 ru×rv\mathbf r_u\times\mathbf r_v 的次序会改变法向方向，进而影响侧。

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方向导数与梯度

设函数 ff 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 的某邻域内有定义，e=(cos⁡α,cos⁡β)\mathbf e=(\cos\alpha,\cos\beta) 是单位向量，则 ff 沿方向 e\mathbf e 的方向导数为∂f∂l∣P0=lim⁡t→0+f(x0+tcos⁡α, y0+tcos⁡β)−f(x0,y0)t\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0} =\lim_{t\to0^+} \frac{f(x_0+t\cos\alpha,\ y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}三元函数沿 e=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\mathbf e=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) 的方向导数类似：∂f∂l∣P0=lim⁡t→0+f(x0+tcos⁡α, y0+tcos⁡β, z0+tcos⁡γ)−f(x0,y0,z0)t\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0} =\lim_{t\to0^+} \frac{f(x_0+t\cos\alpha,\ y_0+t\cos\beta,\ z_0+t\cos\gamma)-f(x_0,y_0,z_0)}{t}两点注意：e\mathbf e 必须是单位向量；t→0+t\to0^+ 是单侧极限，方向导数有方向性，反向要变号。
方向导数不是“沿任意曲线的导数”，而是沿射线的变化率。方向反了，结果取相反数。
若 ff 在点 P0P_0 可微，则沿任意单位向量 e\mathbf e 的方向导数存在，且∂f∂l=fxcos⁡α+fycos⁡β\frac{\partial f}{\partial l} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta三元情形∂f∂l=fxcos⁡α+fycos⁡β+fzcos⁡γ\frac{\partial f}{\partial l} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma也可写成梯度与单位向量的内积∂f∂l=∇f⋅e\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot\mathbf e若题目给出的是方向向量 a≠0\mathbf a\ne\mathbf 0 而不是单位向量，必须先单位化：e=a∣a∣\mathbf e=\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}
最常见的失分点是忘记单位化。直接把 a\mathbf a 代入 ∇f⋅a\nabla f\cdot\mathbf a，得到的是方向导数的 ∣a∣|\mathbf a| 倍，不是方向导数。
三者关系可以串成一条链：
  • 偏导数连续   ⟹  \implies 可微；
  • 可微   ⟹  \implies 连续；
  • 可微   ⟹  \implies 偏导数存在；
  • 可微   ⟹  \implies 任意方向导数存在，且
∂f∂l=∇f⋅e\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot\mathbf e反过来都不成立：
  • 偏导数存在不一定连续，也不一定可微；
  • 方向导数存在不一定可微；
  • 甚至所有方向的方向导数都存在，也不一定可微。
例如 f(x,y)=x2+y2f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} 在原点，沿任意单位方向 e\mathbf e 都有∂f∂l∣(0,0)=lim⁡t→0+t−0t=1\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(0,0)} =\lim_{t\to0^+}\frac{t-0}{t}=1但 ff 在原点不可微，因为两个偏导数都不存在（左右导数分别为 ±1\pm1）。
考试中若题目只给“ff 在点 P0P_0 可微”，才可以直接用 ∇f⋅e\nabla f\cdot\mathbf e；若只说“偏导数存在”，必须回到定义判断。
二元函数∇f=(fx, fy)\nabla f=(f_x,\ f_y)三元函数∇f=(fx, fy, fz)\nabla f=(f_x,\ f_y,\ f_z)梯度是一个向量，方向为函数增长最快的方向，模为最大方向导数的值。运算公式（在可微、可导的条件下）：∇(u±v)=∇u±∇v\nabla(u\pm v)=\nabla u\pm\nabla v∇(uv)=u∇v+v∇u\nabla(uv)=u\nabla v+v\nabla u∇(uv)=v∇u−u∇vv2\nabla\left(\frac uv\right) =\frac{v\nabla u-u\nabla v}{v^2}∇φ(u)=φ′(u)∇u\nabla\varphi(u)=\varphi'(u)\nabla u
∇\nabla 是向量微分算子 (∂∂x,∂∂y,∂∂z)\left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right)，上述法则与一元求导法则完全平行，可以直接套用。
设 ff 可微且 ∇f(P0)≠0\nabla f(P_0)\ne\mathbf 0，e\mathbf e 为单位向量，θ\theta 为 ∇f(P0)\nabla f(P_0) 与 e\mathbf e 的夹角，则∂f∂l=∇f⋅e=∣∇f∣cos⁡θ\frac{\partial f}{\partial l} =\nabla f\cdot\mathbf e =|\nabla f|\cos\theta由此得到三条结论：其他性质：
  • 梯度方向是函数值增长最快的方向，负梯度方向是下降最快的方向；
  • 梯度垂直于等值线 f(x,y)=Cf(x,y)=C（或等值面 f(x,y,z)=Cf(x,y,z)=C），并指向函数值增大的方向；
  • 梯度场是无旋场，即 ∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0。
“最大方向导数等于 ∣∇f∣|\nabla f|”要求 ∇f≠0\nabla f\ne\mathbf 0。若 ∇f=0\nabla f=\mathbf 0，则各方向导数全为 00，最大值也是 00，此时不存在唯一的“最速增长方向”。
  1. 方向向量未单位化，直接把 (a,b)(a,b) 代入内积。
  2. 求“沿某方向的方向导数”时，把方向取反却忘记变号。
  3. 把梯度当作数，写成 ∇f=∣∇f∣\nabla f=|\nabla f|。
  4. 求最大方向导数时忘记开方，或忘记先算梯度。
  5. 用 ∇f⋅e\nabla f\cdot\mathbf e 前不检查可微性，题目只给偏导数存在时不能直接用。
  6. 混淆“方向导数最大”与“函数值最大”：前者是变化率，后者是函数值。

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散度与旋度

设向量场F(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))\mathbf F(x,y,z)=\bigl(P(x,y,z),\ Q(x,y,z),\ R(x,y,z)\bigr)且 P,Q,RP,Q,R 有连续一阶偏导数，则散度为div⁡F=∇⋅F=Px+Qy+Rz\operatorname{div}\mathbf F =\nabla\cdot\mathbf F =P_x+Q_y+R_z散度是数量，不是向量。物理意义：散度刻画场在一点处的“源”的强弱。div⁡F>0\operatorname{div}\mathbf F>0 表示该点有源（通量向外发散），div⁡F<0\operatorname{div}\mathbf F<0 表示有汇，div⁡F=0\operatorname{div}\mathbf F=0 表示无源场。
散度与高斯公式直接对应：∯ΣF⋅n dS=∭Ωdiv⁡F dV\oiint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf F\,dV即“穿出闭曲面的通量等于内部散度的三重积分”。
旋度为rot⁡F=∇×F=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\operatorname{rot}\mathbf F =\nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}展开得rot⁡F=(Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py)\operatorname{rot}\mathbf F =\left(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\right)旋度是向量。物理意义：旋度刻画场在一点处的“旋转”强弱与转轴方向。rot⁡F=0\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0 的场称为无旋场。
旋度三个分量的顺序是 (Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py)(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y)，与行列式展开一致。第二分量是 Pz−RxP_z-R_x，不是 Rx−PzR_x-P_z，符号写反是常见错误。
在二阶偏导数连续的条件下：∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0即梯度场无旋；∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0即旋度场无散。拉普拉斯算子Δf=∇⋅(∇f)=fxx+fyy+fzz\Delta f=\nabla\cdot(\nabla f)=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}满足 Δf=0\Delta f=0 的函数称为调和函数。乘积法则（了解即可）：∇⋅(fF)=f ∇⋅F+F⋅∇f\nabla\cdot(f\mathbf F)=f\,\nabla\cdot\mathbf F+\mathbf F\cdot\nabla f∇×(fF)=f ∇×F+∇f×F\nabla\times(f\mathbf F)=f\,\nabla\times\mathbf F+\nabla f\times\mathbf F
两个恒等式可以这样记：梯度的旋度为零，旋度的散度为零。“先梯度后旋度”“先旋度后散度”都得到零。
设 F=(P,Q,R)\mathbf F=(P,Q,R) 在单连通区域内有一阶连续偏导数，则以下四条等价：
  1. rot⁡F=0\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0；
  2. 曲线积分 ∫LP dx+Q dy+R dz\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz 与路径无关；
  3. 沿任意闭曲线积分为 00；
  4. 存在势函数 uu，使 ∇u=F\nabla u=\mathbf F。
此时u(x,y,z)=∫(x0,y0,z0)(x,y,z)P dx+Q dy+R dzu(x,y,z)=\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}P\,dx+Q\,dy+R\,dz且∫ABP dx+Q dy+R dz=u(B)−u(A)\int_A^B P\,dx+Q\,dy+R\,dz=u(B)-u(A)求势函数的常用方法：凑全微分，或分组积分后再对另一变量求偏导定出待定函数。
“rot⁡F=0\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0”只在单连通区域上等价于路径无关。若区域有洞（例如去掉 zz 轴的空间），需要额外检查绕洞的积分。
统一理解：边界上的积分等于内部微分的积分。格林公式是斯托克斯公式在平面上的特例，高斯公式则把通量与散度联系起来。
做多元积分大题时，先算 div⁡F\operatorname{div}\mathbf F 或 rot⁡F\operatorname{rot}\mathbf F，往往能把复杂的曲面积分、曲线积分化成简单的三重积分或二重积分。
  1. 散度是数，旋度是向量，两者不能混写。
  2. 旋度第二分量符号写反。
  3. 把 ∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0 与 ∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0 记串。
  4. 在非单连通区域直接用“旋度为零”推出路径无关。
  5. 求势函数时漏掉积分常数或待定函数。
  6. 高斯公式要求闭曲面取外侧，斯托克斯公式要求方向与法向符合右手定则，方向错了整体变号。

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方法选择

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高频易错点

  1. 方向向量未单位化：方向导数、方向余弦都要求单位向量。
  2. 线面角用错函数：线面角用 sin⁡\sin，线线角、面面角用 cos⁡\cos。
  3. 平行与在面内不分：s⋅n=0\mathbf s\cdot\mathbf n=0 只说明方向平行，必须代点区分。
  4. 法向量符号：显式曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 的法向量是 (fx,fy,−1)(f_x,f_y,-1)。
  5. 混合积换序：交换两个向量要变号，只有轮换不变号。
  6. 距离公式漏绝对值：异面直线距离、点到平面距离的分子都要加绝对值。
  7. 平行平面未统一系数：先化成同一组 A,B,CA,B,C，再比较 DD。
  8. 投影忘记范围：消元后的柱面可能多出原曲线以外的点。
  9. 切向量为零仍套公式：先验证 r′(t0)≠0\mathbf r'(t_0)\ne\mathbf 0 或 ∇F×∇G≠0\nabla F\times\nabla G\ne\mathbf 0。
  10. 可微性前提：只有可微时才能用 ∇f⋅e\nabla f\cdot\mathbf e 算方向导数。

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本章总结

按“会算、会判、会连”三层检查：
  1. 向量代数：会算数量积、向量积、混合积，能说出三者的几何意义，会用它们判断垂直、平行、共面。
  2. 平面与直线：会写点法式、一般式、对称式、参数式，会用叉积求法向量与方向向量。
  3. 位置关系：能判断线线、线面、面面的平行、垂直、相交、异面，并说明理由。
  4. 距离与夹角：熟记点面、点线、异面直线、平行平面的距离公式，以及三类夹角公式。
  5. 曲面与曲线：会写柱面、旋转曲面方程，会把空间曲线投影到坐标面。
  6. 切线与法平面：参数式用导数，交线用 ∇F×∇G\nabla F\times\nabla G。
  7. 切平面与法线：隐式用梯度，显式注意 −1-1，参数式用 ru×rv\mathbf r_u\times\mathbf r_v。
  8. 方向导数与梯度：会单位化、会算最大值、知道可微与方向导数存在的关系。
  9. 散度与旋度：会算、会判无源无旋、会用恒等式，理解与高斯、斯托克斯公式的对应。
本章的核心不是公式数量，而是“方向”二字：空间几何中一切对象由方向向量与法向量确定，场论中一切结论由梯度、散度、旋度刻画。做题时先问“我要的是方向还是位置”，再选点积、叉积或梯度。
复习优先级：向量运算、平面与直线的方程及夹角距离、曲线与曲面的切线与法平面、方向导数与梯度。异面直线距离、旋度与散度的恒等式属于进阶补充，可在掌握主线后再强化。
Last modified on October 28, 2026