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本章按“常数项级数 → 正项级数 → 交错与任意项级数 → 幂级数 → 傅里叶级数”整理无穷级数。复习时先判断级数类型，再选择对应判别法，重点掌握收敛半径、端点判断和常用展开式。
考试范围：
  • 数二不考无穷级数；
  • 数一、数三考常数项级数和幂级数；
  • 数一额外考傅里叶级数。
傅里叶部分统一使用一般周期形式，不把周期特殊成 2π2\pi，也不使用复数形式。

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常数项级数

级数为：∑n=1∞un=u1+u2+⋯+un+⋯\sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots前 nn 项部分和定义为：Sn=∑k=1nukS_n=\sum_{k=1}^{n}u_k若lim⁡n→∞Sn=S\lim_{n\to\infty}S_n=S存在，则称级数收敛，且和为 SS；否则称级数发散。余项为：Rn=S−Sn=∑k=n+1∞ukR_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}u_k收敛级数的余项满足：lim⁡n→∞Rn=0\lim_{n\to\infty}R_n=0
若 ∑un\sum u_n 收敛，则lim⁡n→∞un=0\lim_{n\to\infty}u_n=0其逆否命题为：lim⁡n→∞un≠0⇒∑un 发散\lim_{n\to\infty}u_n\ne 0\quad\Rightarrow\quad \sum u_n\text{ 发散}
un→0u_n\to0 只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。例如调和级数∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n虽然 1n→0\frac1n\to0，但级数发散。
若 ∑un\sum u_n、∑vn\sum v_n 均收敛，则对任意常数 a,ba,b，级数∑(aun+bvn)\sum(au_n+bv_n)收敛，且∑(aun+bvn)=a∑un+b∑vn\sum(au_n+bv_n)=a\sum u_n+b\sum v_n
改变级数的有限项，不改变级数的敛散性。
  • 收敛级数加括号后仍收敛，且和不变。
  • 若加括号后的级数发散，则原级数必发散。
  • 若加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛。

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正项级数

若 un≥0u_n\ge0，则称 ∑un\sum u_n 为正项级数。
正项级数收敛的充要条件是：部分和数列 {Sn}\{S_n\} 有界。
若0≤un≤vn0\le u_n\le v_n则：
  • 若 ∑vn\sum v_n 收敛，则 ∑un\sum u_n 收敛；
  • 若 ∑un\sum u_n 发散，则 ∑vn\sum v_n 发散。
极限形式若lim⁡n→∞unvn=l\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l则：
  • 当 0<l<+∞0<l<+\infty 时，∑un\sum u_n 与 ∑vn\sum v_n 同敛散；
  • 当 l=0l=0 时，若 ∑vn\sum v_n 收敛，则 ∑un\sum u_n 收敛；
  • 当 l=+∞l=+\infty 时，若 ∑vn\sum v_n 发散，则 ∑un\sum u_n 发散。
常用比较对象pp 级数：∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}当 p>1p>1 时收敛，当 p≤1p\le1 时发散。几何级数：∑n=0∞aqn\sum_{n=0}^{\infty}aq^n当 ∣q∣<1|q|<1 时收敛，当 ∣q∣≥1|q|\ge1 时发散。
设lim⁡n→∞un+1un=ρ\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho则：
  • 若 ρ<1\rho<1，级数收敛；
  • 若 ρ>1\rho>1，级数发散；
  • 若 ρ=1\rho=1，判别法失效，需要另判。
常用于通项含 n!n!、ana^n、nnn^n 等因子的级数。
设lim⁡n→∞unn=ρ\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho则：
  • 若 ρ<1\rho<1，级数收敛；
  • 若 ρ>1\rho>1，级数发散；
  • 若 ρ=1\rho=1，判别法失效。
常用于通项含 nn 次方或可整理成某表达式 nn 次方的级数。
若 f(x)f(x) 在 [1,+∞)[1,+\infty) 上非负、连续、单调减少，且un=f(n)u_n=f(n)则级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n与广义积分∫1+∞f(x) dx\int_1^{+\infty}f(x)\,dx同敛散。

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交错级数

交错级数的一般形式为：∑n=1∞(−1)n−1un,un>0\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n,\qquad u_n>0
若un↓0u_n\downarrow0即 unu_n 单调减少且趋于 00，则交错级数收敛。
∣Rn∣≤un+1|R_n|\le u_{n+1}

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任意项级数

若∑∣un∣\sum|u_n|收敛，则∑un\sum u_n必收敛，并称 ∑un\sum u_n 绝对收敛。
若∑un\sum u_n收敛，但∑∣un∣\sum|u_n|发散，则称 ∑un\sum u_n 条件收敛。
交错调和级数∑n=1∞(−1)n−1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}条件收敛。交错 pp 级数∑n=1∞(−1)n−1n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}绝对收敛。
  • 绝对收敛级数可以任意交换项的顺序，和不变。
  • 条件收敛级数不能随意交换项的顺序，否则可能改变和，甚至变成发散级数。
  • 判断任意项级数的顺序： 先看通项是否趋于 00，再判断绝对值级数是否收敛。 若绝对值级数不收敛，再利用莱布尼茨判别法等方法判断是否条件收敛。

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幂级数

形如∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n的函数项级数称为幂级数。最常见的形式为：∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
若 ∑anxn\sum a_nx^n 在 x=x0≠0x=x_0\ne0 处收敛，则当∣x∣<∣x0∣|x|<|x_0|时，级数绝对收敛。若 ∑anxn\sum a_nx^n 在 x=x0x=x_0 处发散，则当∣x∣>∣x0∣|x|>|x_0|时，级数发散。
对于幂级数∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n若相应极限存在，则收敛半径为：R=lim⁡n→∞∣anan+1∣R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|也可以用根值形式：R=1lim sup⁡n→∞∣an∣nR=\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}收敛区间为：(x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)端点 x=x0±Rx=x_0\pm R 必须单独判断。
  • R=0R=0：级数只在 x=x0x=x_0 处收敛；
  • R=+∞R=+\infty：级数在整个实轴上收敛；
  • 0<R<+∞0<R<+\infty：级数在 (x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R) 内绝对收敛，在区间外发散，两个端点分别判断。
收敛半径只由系数 ana_n 决定，信息只覆盖开区间。端点处级数可能绝对收敛、条件收敛，也可能发散，因此必须代回原级数逐一判断。
在收敛区间内：
  1. 和函数连续；
  2. 可以逐项求导；
  3. 可以逐项积分；
  4. 逐项求导、逐项积分后收敛半径不变，但端点处的敛散性可能改变。
若S(x)=∑n=0∞anxnS(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n则S′(x)=∑n=1∞nanxn−1S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}∫0xS(t) dt=∑n=0∞ann+1xn+1\int_0^xS(t)\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
11−x=∑n=0∞xn,∣x∣<1\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\qquad |x|<111+x=∑n=0∞(−1)nxn,∣x∣<1\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,\qquad |x|<1常用变形：∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2,∣x∣<1\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2},\qquad |x|<1∑n=0∞(n+1)xn=1(1−x)2,∣x∣<1\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac1{(1-x)^2},\qquad |x|<1
ex=∑n=0∞xnn!,−∞<x<+∞e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\qquad -\infty<x<+\infty
sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,−∞<x<+∞\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad -\infty<x<+\inftycos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,−∞<x<+∞\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!},\qquad -\infty<x<+\infty
ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xnn,−1<x≤1\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n},\qquad -1<x\le1ln⁡(1−x)=−∑n=1∞xnn,−1≤x<1\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n},\qquad -1\le x<1
arctan⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1,∣x∣≤1\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|\le1
(1+x)α=1+∑n=1∞α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn(1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n收敛域为：
  • ∣x∣<1|x|<1 时一定收敛；
  • 两个端点是否收敛，取决于 α\alpha 的具体值。
若通项含 nn，可以先求导消去 nn。例如求和：∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}先令S(x)=∑n=1∞xn=x1−xS(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}再逐项求导：S′(x)=∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} =\frac1{(1-x)^2}
若通项含 1n\frac1n，可以先积分消去分母。例如求和：S(x)=∑n=1∞xnnS(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}逐项求导：S′(x)=∑n=1∞xn−1=11−xS'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac1{1-x}再由 S(0)=0S(0)=0 积分：S(x)=−ln⁡(1−x)S(x)=-\ln(1-x)
把通项拆成已知幂级数展开式的线性组合，再分别求和。
有时逐项求导后可以得到关于 S(x)S(x) 的微分方程，先解微分方程，再结合初值确定和函数。
计算泰勒系数：f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n当 x0=0x_0=0 时，得到麦克劳林级数：f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!xnf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
利用已知展开式，通过变量代换、逐项求导、逐项积分和四则运算得到新的展开式。
考试中绝大多数函数展开题都使用间接法。

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傅里叶级数（仅数一）

以下统一使用一般周期，不把周期特殊成 2π2\pi，也不使用复数形式。
设 f(x)f(x) 以 2l2l 为周期，并在 [−l,l][-l,l] 上分段光滑，则f(x)∼a02+∑n=1∞[ancos⁡nπxl+bnsin⁡nπxl]f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n\cos\frac{n\pi x}{l} +b_n\sin\frac{n\pi x}{l} \right]其中an=1l∫−llf(x)cos⁡nπxl dx,n=0,1,2,⋯a_n=\frac1l\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx, \qquad n=0,1,2,\cdotsbn=1l∫−llf(x)sin⁡nπxl dx,n=1,2,⋯b_n=\frac1l\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx, \qquad n=1,2,\cdots积分区间也可以换成任意长度为 2l2l 的区间，例如 [0,2l][0,2l]。
设T=2l,l=T2T=2l,\qquad l=\frac T2则傅里叶级数为：f(x)∼a02+∑n=1∞[ancos⁡2nπxT+bnsin⁡2nπxT]f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n\cos\frac{2n\pi x}{T} +b_n\sin\frac{2n\pi x}{T} \right]系数为：an=2T∫−T/2T/2f(x)cos⁡2nπxT dx,n=0,1,2,⋯a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\cos\frac{2n\pi x}{T}\,dx, \qquad n=0,1,2,\cdotsbn=2T∫−T/2T/2f(x)sin⁡2nπxT dx,n=1,2,⋯b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\sin\frac{2n\pi x}{T}\,dx, \qquad n=1,2,\cdots积分区间也可以换成任意长度为 TT 的区间。
若 f(x)f(x) 以 2l2l 为周期，并在 [−l,l][-l,l] 上分段光滑，则其傅里叶级数收敛，并且：
  • 在连续点 xx 处，收敛到 f(x)f(x)；
  • 在间断点 xx 处，收敛到 f(x−)+f(x+)2\frac{f(x^-)+f(x^+)}2
  • 在端点 x=±lx=\pm l 处，按周期延拓后的左右极限平均值处理。
即：傅里叶级数的和={f(x),x 为连续点f(x−)+f(x+)2,x 为间断点\text{傅里叶级数的和}= \begin{cases} f(x), & x\text{ 为连续点}\\[6pt] \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}2, & x\text{ 为间断点} \end{cases}
若 f(x)f(x) 是奇函数，则an=0a_n=0傅里叶级数只含正弦项：f(x)∼∑n=1∞bnsin⁡nπxlf(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{l}其中bn=2l∫0lf(x)sin⁡nπxl dxb_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx这种展开称为正弦级数。
若 f(x)f(x) 是偶函数，则bn=0b_n=0傅里叶级数只含余弦项和常数项：f(x)∼a02+∑n=1∞ancos⁡nπxlf(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{n\pi x}{l}其中an=2l∫0lf(x)cos⁡nπxl dx,n=0,1,2,⋯a_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx, \qquad n=0,1,2,\cdots这种展开称为余弦级数。
若函数只在 [0,l][0,l] 上定义，可以根据需要作奇延拓或偶延拓。
f(x)∼∑n=1∞bnsin⁡nπxlf(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{l}bn=2l∫0lf(x)sin⁡nπxl dxb_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx
f(x)∼a02+∑n=1∞ancos⁡nπxlf(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{n\pi x}{l}an=2l∫0lf(x)cos⁡nπxl dx,n=0,1,2,⋯a_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx, \qquad n=0,1,2,\cdots
  1. a0a_0 的计算公式与 ana_n 统一，但级数第一项必须写成 a02\frac{a_0}{2}。
  2. 一般周期为 2l2l 时，系数前面是 1l\frac1l；周期为 TT 时，系数前面是 2T\frac{2}{T}。
  3. 奇函数只含正弦项；偶函数只含余弦项和常数项。
  4. 傅里叶级数在间断点不一定等于函数值，而等于左右极限的平均值。
  5. 只给出 [0,l][0,l] 上的函数时，先确定作奇延拓还是偶延拓。
  6. 傅里叶公式中的 π\pi 来自三角函数基频，并不表示把周期特殊成了 2π2\pi。

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本章总结

  1. 常数项级数先检查通项是否趋于 00。
  2. 正项级数根据结构选择比较、比值、根值或积分判别法。
  3. 交错级数优先考虑莱布尼茨判别法。
  4. 任意项级数要分清绝对收敛与条件收敛。
  5. 幂级数先求收敛半径，再单独判断两个端点。
  6. 幂级数求和常用先导后积、先积后导、拆项配凑或解微分方程。
  7. 傅里叶级数使用一般周期公式，不把周期特殊成 2π2\pi，也不使用复数形式。
无穷级数的复习主线是“先分类，再判敛，最后处理端点或和函数”。幂级数端点、傅里叶间断点和绝对/条件收敛是高频易错部分。
Last modified on October 14, 2026