第 3 章 运算方法和运算部件

• 溢出标志 OF(Overflow Flag)：$OF = C_n \oplus C_{n-1}$
• 符号标志 SF(Sign Flag)：$SF = F_{n-1}$
• 零号标志 ZF(Zero Flag)：$ZF = 1$，当且仅当 $F = 0$
• 进位/借位标志 CF(Carry Flag)：$CF = C_{out} \oplus C_{in}$

• 无符号数（$X$ 和 $Y$ 就是 $x$ 和 $y$ 的二进制表示）
  • 加法：$X + Y,\ C_{in} = 0$
  • 减法：$X + \overline{Y} + 1,\ C_{in} = 1$
• 补码（$X$ 和 $Y$ 就是 $x$ 和 $y$ 的补码表示）
  • 加法：$X + Y,\ C_{in} = 0$
  • 减法：$X + \overline{Y} + 1,\ C_{in} = 1$

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原码一位乘法

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Booth 乘法推导

• 设两个 $n$ 位补码定点整数 $$[x]_{\text{补}} = X_{n-1} X_{n-2} \cdots X_1 X_0$$ $$[y]_{\text{补}} = Y_{n-1} Y_{n-2} \cdots Y_1 Y_0$$ 根据补码定义，乘数 $y$ 的真值可写成 $$y = -Y_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} Y_i \cdot 2^i$$
• 将 $y$ 改写为“相邻两位之差”的形式 利用 $Y_i \cdot 2^i = Y_i \cdot 2^{i+1} - Y_i \cdot 2^i$，并令 $Y_{-1} = 0$（在最低位右侧附加一位 0），可推得 $$y = \sum_{i=0}^{n-1} (Y_{i-1} - Y_i) \cdot 2^i$$ 直观含义：当 $Y_i$ 与 $Y_{i-1}$ 相同（00 或 11）时，该位对系数为 0；当出现跳变时，系数为 +1（01 跳变）或 -1（10 跳变）
• 因而乘积可写成 $$x \times y = \sum_{i=0}^{n-1} (Y_{i-1} - Y_i) \cdot x \cdot 2^i$$ 这说明：只要判断乘数中每一位 $Y_i$ 与其低一位 $Y_{i-1}$ 的关系，就能决定在第 $i$ 步对部分积是“加 $x$”、“减 $x$”还是“加 0”，再配合移位完成累加
• 递推规则与 Booth 判别式

  $(Y_i, Y_{i-1})$	$Y_{i-1} - Y_i$	操作	含义
  01	+1	$+[x]_{\text{补}}$	遇到 $0 \to 1$ 跳变（连续 1 串开始）
  10	-1	$+[-x]_{\text{补}}$	遇到 $1 \to 0$ 跳变（连续 1 串结束）
  00	0	$+0$	仍在 0 区间
  11	0	$+0$	仍在连续 1 串内部

• 实现层面的操作步骤
  1. 设初始部分积 $[P_0]_{\text{补}} = 0$，附加位 $Y_{-1} = 0$
  2. 循环 $n$ 次（$i = 0, 1, \cdots, n-1$）
  3. 根据 $(Y_i, Y_{i-1})$ 的状态，部分积加上 $[x]_{\text{补}}$、加上 $[-x]_{\text{补}}$ 或加 0
  4. 将（部分积、乘数 $y$、附加位 $Y_{-1}$）作为一个整体，进行算术右移 1 位

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恢复余数除法

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不恢复余数除法

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恢复余数除法

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不恢复余数除法

1. 就近舍入到偶数

G=0 → 不进位
G=1 且（R=1 或 S=1）→ 进位
G=1 且 R=0 且 S=0 → 向偶数舍入

2. 朝 $+\infty$ 方向舍入
3. 朝 $-\infty$ 方向舍入
4. 朝 0 方向舍入