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Documentation Index

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这一章整理定点数的加减乘除、标志位判断、Booth 乘法推导，以及浮点数舍入规则，适合按“加减法 -> 乘法 -> 除法 -> 浮点舍入”的顺序回顾

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C 语言中涉及的运算

  1. 按位运算：或运算（|）、与运算（&）、取反运算（~）、异或运算（^）
  2. 逻辑运算：或运算（||）、与运算（&&）、非运算（!）
  3. 移位运算
  • 逻辑移位
  • 算术移位：右移高位补符号
  1. 位扩展和位截断运算
  • 0 扩展
  • 符号扩展

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定点数运算

  • 溢出标志 OF(Overflow Flag)：OF=Cn⊕Cn−1OF = C_n \oplus C_{n-1}
  • 符号标志 SF(Sign Flag)：SF=Fn−1SF = F_{n-1}
  • 零号标志 ZF(Zero Flag)：ZF=1ZF = 1，当且仅当 F=0F = 0
  • 进位/借位标志 CF(Carry Flag)：CF=Cout⊕CinCF = C_{out} \oplus C_{in}
Compound addition
  • Y‾\overline{Y} 即 YY 各位取反
  • CF=Cin⊕CoutCF = C_{in} \oplus C_{out}，CF 对于补码加减法运算无实际意义
  • 无符号数（XX 和 YY 就是 xx 和 yy 的二进制表示）
    • 加法：X+Y, Cin=0X + Y,\ C_{in} = 0
    • 减法：X+Y‾+1, Cin=1X + \overline{Y} + 1,\ C_{in} = 1
  • 补码（XX 和 YY 就是 xx 和 yy 的补码表示）
    • 加法：X+Y, Cin=0X + Y,\ C_{in} = 0
    • 减法：X+Y‾+1, Cin=1X + \overline{Y} + 1,\ C_{in} = 1

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原码一位乘法

Unsigned multiplicationUnsigned multiplication
Two's complement multiplicationTwo's complement multiplication
记忆重点：Booth 乘法不是逐位“看到 1 就加”，而是把连续的 1 串压缩成边界上的“加一次 / 减一次”

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Booth 乘法推导

A. D. Booth 提出了一种补码相乘算法：符号位与数值位合在一起参与运算，正数与负数同等对待，直接得到补码形式的乘积下面以 nn 位补码定点整数说明其推导思路
  • 设两个 nn 位补码定点整数 [x]补=Xn−1Xn−2⋯X1X0[x]_{\text{补}} = X_{n-1} X_{n-2} \cdots X_1 X_0 [y]补=Yn−1Yn−2⋯Y1Y0[y]_{\text{补}} = Y_{n-1} Y_{n-2} \cdots Y_1 Y_0 根据补码定义，乘数 yy 的真值可写成 y=−Yn−1⋅2n−1+∑i=0n−2Yi⋅2iy = -Y_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} Y_i \cdot 2^i
  • 将 yy 改写为“相邻两位之差”的形式 利用 Yi⋅2i=Yi⋅2i+1−Yi⋅2iY_i \cdot 2^i = Y_i \cdot 2^{i+1} - Y_i \cdot 2^i，并令 Y−1=0Y_{-1} = 0（在最低位右侧附加一位 0），可推得 y=∑i=0n−1(Yi−1−Yi)⋅2iy = \sum_{i=0}^{n-1} (Y_{i-1} - Y_i) \cdot 2^i 直观含义：当 YiY_i 与 Yi−1Y_{i-1} 相同（00 或 11）时，该位对系数为 0；当出现跳变时，系数为 +1（01 跳变）或 -1（10 跳变）
  • 因而乘积可写成 x×y=∑i=0n−1(Yi−1−Yi)⋅x⋅2ix \times y = \sum_{i=0}^{n-1} (Y_{i-1} - Y_i) \cdot x \cdot 2^i 这说明：只要判断乘数中每一位 YiY_i 与其低一位 Yi−1Y_{i-1} 的关系，就能决定在第 ii 步对部分积是“加 xx”、“减 xx”还是“加 0”，再配合移位完成累加
  • 递推规则与 Booth 判别式
    (Yi,Yi−1)(Y_i, Y_{i-1})Yi−1−YiY_{i-1} - Y_i操作含义
    01+1+[x]补+[x]_{\text{补}}遇到 0→10 \to 1 跳变（连续 1 串开始）
    10-1+[−x]补+[-x]_{\text{补}}遇到 1→01 \to 0 跳变（连续 1 串结束）
    000+0+0仍在 0 区间
    110+0+0仍在连续 1 串内部
  • 实现层面的操作步骤
    1. 设初始部分积 [P0]补=0[P_0]_{\text{补}} = 0，附加位 Y−1=0Y_{-1} = 0
    2. 循环 nn 次（i=0,1,⋯ ,n−1i = 0, 1, \cdots, n-1）
    3. 根据 (Yi,Yi−1)(Y_i, Y_{i-1}) 的状态，部分积加上 [x]补[x]_{\text{补}}、加上 [−x]补[-x]_{\text{补}} 或加 0
    4. 将（部分积、乘数 yy、附加位 Y−1Y_{-1}）作为一个整体，进行算术右移 1 位
以上推导展示了 Booth 乘法“把连续的 1 串压缩为两次边界操作（加 xx 与减 xx）”的本质，不仅减少了实际的加法次数，且天然适配补码的符号扩展与算术移位运算
  • 符号位单独运算
  • 定点整数：被除数扩展高位添加 0；定点小数：被除数扩展低位添加 0
  • Qn=1Q_n = 1 时，定点整数除法和定点小数除法均溢出，浮点数除外（可右规）
Division

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恢复余数除法

DivisionDivision

​
不恢复余数除法

Division NoResetDivision NoReset
补码除法的溢出可从“商是否超出补码表示范围”来判断，常见情况有：
  • 定点小数除法中，若 ∣x∣>∣y∣|x| > |y|，则商的绝对值大于 1，可能溢出
  • 特殊边界值：x=−2n−1x = -2^{n-1} 且 y=−1y = -1 时，商应为 2n−12^{n-1}，超出 nn 位补码可表示的最大正数范围
  • 等价地说，只要最终商不能落在当前补码字长的表示区间内，就属于除法溢出
被除数需要进行符号扩展
Division Two's complement rules

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恢复余数除法

Division Two's complement division with reset

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不恢复余数除法

  • 商的修正：最后一次 Q 寄存器左移一位，将最高位 QnQ_n 移出，并在最低位置上商 Q0Q_0
  • 余数的修正：若余数符号同被除数符号，则不需修正，余数在 R 中；否则，按下列规定进行修正：当被除数和除数符号相同时，最后余数加除数；否则，最后余数减除数
Division Two's complement division with no reset

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浮点数运算的精度和舍入

  • 保护位 G（警戒位）：紧跟在有效位后面的第 1 位
  • 舍入位 R：紧跟在有效位后面的第 2 位
  • 粘位 S：后面所有位的“或”结果，即舍入位右边只要有 1，粘位则置为 1
  1. 就近舍入到偶数
就近舍入规则
G=0 -> 不进位
G=1 且（R=1 或 S=1）-> 进位
G=1 且 R=0 且 S=0 -> 向偶数舍入
  1. 朝 +∞+\infty 方向舍入
  2. 朝 −∞-\infty 方向舍入
  3. 朝 0 方向舍入 Result rounding
Last modified on May 14, 2026