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# 第 7 章 参数估计与假设检验

> 整理矩估计、最大似然估计、估计量评价、区间估计，以及单个和两个正态总体的假设检验。

本章把抽样分布用于统计推断。做题时先写清参数和统计量，再判断方差是否已知、是一个总体还是两个总体，最后选择标准正态、$t$、$\chi^2$ 或 $F$ 分布。

> [!NOTE]
>
> 主复习路线：**点估计 → 估计量评价 → 区间估计 → 假设检验**。数理统计题的答案要写出关键统计量及其分布。

## 点估计

> [accordion] 点估计
>
> 设总体分布含未知参数 $\theta$。用样本构造统计量：
>
> $$
> \hat\theta=\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)
> $$
>
> 作为 $\theta$ 的估计，称为点估计量。把样本值代入后得到的数值称为估计值。

## 矩估计法

> [accordion] 矩估计法
>
> 矩估计法用样本矩替换相应的总体矩。
>
> 一阶矩估计：
>
> $$
> \bar X=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i
> $$
>
> 令：
>
> $$
> E(X;\theta)=\bar X
> $$
>
> 解出 $\hat\theta$，即为矩估计量。
>
> 若有 $k$ 个未知参数 $\theta_1,\ldots,\theta_k$，通常令前 $k$ 阶样本原点矩等于总体原点矩：
>
> $$
> \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i^j=E_\theta(X^j),\qquad j=1,\ldots,k
> $$
>
> 解方程组得到矩估计。
>
> > [!TIP]
> >
> > 矩估计不一定只有一个方程。若总体期望中不含待估参数，可以继续使用二阶矩等更高阶矩。

## 最大似然估计

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 设样本观测值为 $x_1,\ldots,x_n$。
>
> 离散型似然函数：
>
> $$
> L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}P(X_i=x_i;\theta)
> $$
>
> 连续型似然函数：
>
> $$
> L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)
> $$
>
> 最大似然估计是使 $L(\theta)$ 最大的参数值。若似然函数为正，通常取对数后求驻点：
>
> $$
> \ln L(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\ln P(X_i=x_i;\theta)
> $$
>
> 或：
>
> $$
> \ln L(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\ln f(x_i;\theta)
> $$
>
> 对参数求导并令导数为零：
>
> $$
> \frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0
> $$
>
> 对于多参数，分别求偏导并解方程组：
>
> $$
> \frac{\partial\ln L(\theta_1,\ldots,\theta_k)}{\partial\theta_j}=0,
> \qquad j=1,\ldots,k
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 推导最大似然估计时不要漏掉参数取值范围。若参数出现在支持集的端点，例如 $0<x<\theta$，最大值可能在边界处取得，必须单独判断。

> [accordion] 常见分布的最大似然估计
>
> | 总体分布 | 参数 | 最大似然估计 |
> | - | - | - |
> | $B(1,p)$ | $p$ | $\hat p=\bar X$ |
> | $B(m,p)$ | $p$ | $\hat p=\dfrac{\bar X}{m}$ |
> | $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\hat\lambda=\bar X$ |
> | $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu,\sigma^2$ | $\hat\mu=\bar X,\quad \hat\sigma^2=\dfrac1n\sum(X_i-\bar X)^2$ |
> | $U(0,\theta)$ | $\theta$ | $\hat\theta=X_{(n)}=\max(X_1,\ldots,X_n)$ |
>
> **不变性**：若 $\hat\theta$ 是 $\theta$ 的最大似然估计，且 $g$ 为适当函数，则 $g(\hat\theta)$ 是 $g(\theta)$ 的最大似然估计。

## 估计量的评价标准

> [accordion] 无偏性
>
> 若：
>
> $$
> E_\theta(\hat\theta)=\theta\qquad(\forall\theta)
> $$
>
> 则称 $\hat\theta$ 是 $\theta$ 的无偏估计。偏差为：
>
> $$
> \operatorname{Bias}_\theta(\hat\theta)=E_\theta(\hat\theta)-\theta
> $$
>
> 无偏估计的偏差为零。

> [accordion] 有效性
>
> 设 $\hat\theta_1,\hat\theta_2$ 都是 $\theta$ 的无偏估计。若：
>
> $$
> D_\theta(\hat\theta_1)\le D_\theta(\hat\theta_2)\qquad(\forall\theta)
> $$
>
> 且至少对某个 $\theta$ 严格不等，则称 $\hat\theta_1$ 比 $\hat\theta_2$ 更有效。

> [accordion] 均方误差
>
> $$
> \operatorname{MSE}_\theta(\hat\theta)
> =E_\theta\left[(\hat\theta-\theta)^2\right]
> $$
>
> 均方误差分解公式：
>
> $$
> \operatorname{MSE}_\theta(\hat\theta)
> =D_\theta(\hat\theta)+\left[\operatorname{Bias}_\theta(\hat\theta)\right]^2
> $$
>
> 因此无偏估计的均方误差就是其方差。

> [accordion] 一致性
>
> 若：
>
> $$
> \hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta\qquad(n\to\infty)
> $$
>
> 则称 $\hat\theta_n$ 是 $\theta$ 的一致估计。

## 区间估计

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 置信区间通过构造枢轴量得到。设 $1-\alpha$ 为置信水平，通常写成：
>
> $$
> P(\hat\theta_L<\theta<\hat\theta_U)=1-\alpha
> $$
>
> 则 $(\hat\theta_L,\hat\theta_U)$ 是 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间。
>
> 标准正态、$t$、$\chi^2$ 和 $F$ 分布的上侧分位数约定为：
>
> $$
> P(Z>z_\alpha)=\alpha,\qquad
> P(T>t_\alpha(n))=\alpha
> $$
>
> $$
> P(\chi^2>\chi^2_\alpha(n))=\alpha,\qquad
> P(F>F_\alpha(n_1,n_2))=\alpha
> $$

> [accordion] 单个正态总体均值的置信区间
>
> 设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$。
>
> #### 方差已知
>
> $$
> \bar X\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}
> $$
>
> #### 方差未知
>
> $$
> \bar X\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n}
> $$

> [accordion] 单个正态总体方差的置信区间
>
> $$
> \left(
> \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\
> \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}
> \right)
> $$
>
> 其中 $\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 是较小分位数，$\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ 是较大分位数。

> [accordion] 两个正态总体均值差的置信区间
>
> 设两个样本相互独立，样本量分别为 $n_1,n_2$。
>
> #### 两个方差已知
>
> $$
> (\bar X-\bar Y)
> \pm z_{\alpha/2}
> \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}
> $$
>
> #### 两个方差未知但相等
>
> 合并方差：
>
> $$
> S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}
> $$
>
> 置信区间为：
>
> $$
> (\bar X-\bar Y)
> \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)
> S_w\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 使用 $t$ 分布的两个均值区间估计时，除正态总体外，还要满足方差相等或至少题目明确说明可用合并方差。

> [accordion] 配对数据
>
> 若两个观测成对出现，令：
>
> $$
> D_i=X_i-Y_i
> $$
>
> 则把 $D_1,\ldots,D_n$ 看成单个正态总体，使用单样本均值区间估计。

## 假设检验的基本步骤

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 1. 根据问题提出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$。
> 2. 选择显著性水平 $\alpha$。
> 3. 构造在原假设下分布已知的检验统计量。
> 4. 根据备择假设确定拒绝域。
> 5. 用样本值判断是否拒绝 $H_0$，或比较 $p$ 值与 $\alpha$。
>
> 第一类错误为“原假设成立却拒绝原假设”，概率不超过 $\alpha$。第二类错误为“原假设不成立却不拒绝原假设”。

> [accordion] 单个正态总体均值的检验
>
> 设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$，检验：
>
> $$
> H_0:\mu=\mu_0
> $$
>
> #### 方差已知
>
> 检验统计量：
>
> $$
> Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)
> $$
>
> 双侧拒绝域：
>
> $$
> |Z|>z_{\alpha/2}
> $$
>
> 右侧检验 $H_1:\mu>\mu_0$ 时，拒绝域为：
>
> $$
> Z>z_\alpha
> $$
>
> 左侧检验 $H_1:\mu<\mu_0$ 时，拒绝域为：
>
> $$
> Z<-z_\alpha
> $$
>
> #### 方差未知
>
> 检验统计量：
>
> $$
> T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)
> $$
>
> 双侧拒绝域：
>
> $$
> |T|>t_{\alpha/2}(n-1)
> $$
>
> 右侧、左侧拒绝域分别换成：
>
> $$
> T>t_\alpha(n-1),\qquad T<-t_\alpha(n-1)
> $$

> [accordion] 单个正态总体方差的检验
>
> 检验：
>
> $$
> H_0:\sigma^2=\sigma_0^2
> $$
>
> 检验统计量：
>
> $$
> \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)
> $$
>
> 双侧拒绝域：
>
> $$
> \chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(n-1)
> \quad\text{或}\quad
> \chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)
> $$

> [accordion] 两个正态总体均值差的检验
>
> 检验：
>
> $$
> H_0:\mu_1-\mu_2=\Delta_0
> $$
>
> #### 两个方差已知
>
> $$
> Z=\frac{(\bar X-\bar Y)-\Delta_0}
> {\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}
> \sim N(0,1)
> $$
>
> #### 两个方差未知但相等
>
> $$
> T=\frac{(\bar X-\bar Y)-\Delta_0}
> {S_w\sqrt{\dfrac1{n_1}+\dfrac1{n_2}}}
> \sim t(n_1+n_2-2)
> $$
>
> 其中 $S_w^2$ 为合并方差。拒绝域与单个均值检验相同，只需把对应统计量替换为上述 $Z$ 或 $T$。

> [accordion] 两个正态总体方差比的检验
>
> 检验：
>
> $$
> H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2
> $$
>
> 检验统计量：
>
> $$
> F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)
> $$
>
> 双侧拒绝域：
>
> $$
> F>F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)
> \quad\text{或}\quad
> F<F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)
> $$
>
> 其中：
>
> $$
> F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)
> =\frac1{F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)}
> $$

## 常见检验与统计量总表

> [accordion] 常见检验与统计量总表
>
> | 检验对象 | 前提 | 统计量 | 原假设下分布 |
> | - | - | - | - |
> | 单个均值 | 正态总体，$\sigma$ 已知 | $Z=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$ | $N(0,1)$ |
> | 单个均值 | 正态总体，$\sigma$ 未知 | $T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}$ | $t(n-1)$ |
> | 单个方差 | 正态总体 | $\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$ | $\chi^2(n-1)$ |
> | 两个均值差 | 正态总体，方差已知 | $Z$ | $N(0,1)$ |
> | 两个均值差 | 正态总体，方差未知但相等 | $T$ | $t(n_1+n_2-2)$ |
> | 两个方差比 | 两个正态总体 | $F=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}$ | $F(n_1-1,n_2-1)$ |

## 高频题型与易错点

> [accordion] 先写清楚待估参数
>
> 矩估计和最大似然估计都要先明确参数含义。参数出现在支持集边界时，最大似然估计常不是求导得到，而是由样本极值给出。

> [accordion] 方差已知与未知要区分
>
> $\sigma$ 已知时使用标准正态；$\sigma$ 未知时用样本标准差 $S$，改为 $t$ 分布。不要只根据样本量判断。

> [accordion] 置信区间的置信水平不是参数概率
>
> 在频率意义下，参数是固定常数，随机的是区间端点。置信水平 $1-\alpha$ 表示重复抽样时区间覆盖参数的比例。

> [accordion] 拒绝域方向由备择假设决定
>
> 双侧检验使用 $\pm z_{\alpha/2}$ 或 $|T|>t_{\alpha/2}$；单侧检验使用 $z_\alpha$ 或 $t_\alpha$，不要把 $\alpha/2$ 用在单侧检验中。

> [accordion] 两类错误和显著性水平
>
> 显著性水平 $\alpha$ 控制原假设成立时错误拒绝的概率。$p$ 值小于 $\alpha$ 时拒绝 $H_0$，但 $p$ 值不是 $H_0$ 成立的概率。


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