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# 第 5 章 大数定律与中心极限定理

> 整理切比雪夫不等式、依概率收敛、三类大数定律，以及独立同分布中心和棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理。

本章解决大量独立随机变量平均值的稳定性与和的近似分布。大数定律说明“平均接近期望”，中心极限定理说明“标准化和接近正态分布”。

> [!NOTE]
>
> 主复习路线：**切比雪夫不等式 → 依概率收敛 → 大数定律 → 中心极限定理 → 正态近似计算**。

## 切比雪夫不等式

> [accordion] 切比雪夫不等式
>
> 设随机变量 $X$ 满足 $E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$。对任意 $\varepsilon>0$：
>
> $$
> P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
> $$
>
> 等价地：
>
> $$
> P(|X-\mu|<\varepsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
> $$
>
> 也可以写成：
>
> $$
> P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\frac1{k^2},\qquad k>0
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 切比雪夫不等式只要求均值和方差存在，不对分布类型作要求。它给出的是上界，通常不是精确概率。若 $\sigma^2/\varepsilon^2>1$，右侧上界没有信息量。

## 依概率收敛

> [accordion] 依概率收敛
>
> 若对任意 $\varepsilon>0$，都有：
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\ge\varepsilon)=0
> $$
>
> 则称随机变量序列 $\{X_n\}$ 依概率收敛于 $X$，记作：
>
> $$
> X_n\xrightarrow{P}X
> $$
>
> 若 $X$ 为常数 $a$，也记作 $X_n\xrightarrow{P}a$。
>
> 依概率收敛的常用性质：
>
> $$
> X_n\xrightarrow{P}a,\quad Y_n\xrightarrow{P}b
> \quad\Longrightarrow\quad
> X_n\pm Y_n\xrightarrow{P}a\pm b
> $$
>
> $$
> X_nY_n\xrightarrow{P}ab
> $$
>
> 若 $b\ne0$，则：
>
> $$
> \frac{X_n}{Y_n}\xrightarrow{P}\frac ab
> $$
>
> 连续映射定理：若 $g$ 在 $a$ 处连续且 $X_n\xrightarrow{P}a$，则：
>
> $$
> g(X_n)\xrightarrow{P}g(a)
> $$

## 大数定律

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 大数定律研究样本平均值是否依概率稳定于某个常数。

> [accordion] 切比雪夫大数定律
>
> 设 $X_1,X_2,\ldots$ 两两不相关，且各 $D(X_i)$ 存在。若：
>
> $$
> \frac1{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)\to0
> $$
>
> 则：
>
> $$
> \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i-
> \frac1n\sum_{i=1}^{n}E(X_i)
> \xrightarrow{P}0
> $$
>
> 特别地，若存在常数 $C$，使 $D(X_i)\le C$，则：
>
> $$
> \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i-
> \frac1n\sum_{i=1}^{n}E(X_i)
> \xrightarrow{P}0
> $$
>
> 若还具有相同的期望 $E(X_i)=\mu$，则：
>
> $$
> \bar X_n=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu
> $$

> [accordion] 伯努利大数定律
>
> 设 $n_A$ 为 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，每次发生的概率为 $p$。则：
>
> $$
> \frac{n_A}{n}\xrightarrow{P}p
> $$
>
> 即频率依概率收敛于概率。

> [accordion] 辛钦大数定律
>
> 设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，且 $E(X_i)=\mu$ 存在，则：
>
> $$
> \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 大数定律只说明平均值依概率接近期望，不表示样本值会接近期望，也不等价于分布收敛。辛钦大数定律只要求一阶矩存在，不要求方差存在。

## 中心极限定理

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 中心极限定理研究大量独立随机变量和的标准化极限分布。

> [accordion] 独立同分布中心极限定理
>
> 设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，且：
>
> $$
> E(X_i)=\mu,\qquad D(X_i)=\sigma^2,\qquad 0<\sigma^2<+\infty
> $$
>
> 则：
>
> $$
> \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}
> \xrightarrow{d}N(0,1)
> $$
>
> 样本均值形式为：
>
> $$
> \frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}
> \xrightarrow{d}N(0,1)
> $$
>
> 当 $n$ 较大时：
>
> $$
> \sum_{i=1}^{n}X_i\ \text{近似服从}\ N(n\mu,n\sigma^2)
> $$
>
> $$
> \bar X_n\ \text{近似服从}\ N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
> $$
>
> 概率近似公式：
>
> $$
> P(a<S_n\le b)
> \approx
> \Phi\left(\frac{b-n\mu}{\sigma\sqrt n}\right)
> -\Phi\left(\frac{a-n\mu}{\sigma\sqrt n}\right)
> $$
>
> 其中 $S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$。

> [accordion] 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
>
> 设 $X\sim B(n,p)$，$q=1-p$。当 $n$ 较大时：
>
> $$
> \frac{X-np}{\sqrt{npq}}
> \xrightarrow{d}N(0,1)
> $$
>
> 即：
>
> $$
> X\ \text{近似服从}\ N(np,npq)
> $$

> [accordion] 二项分布的正态近似与连续性修正
>
> 当 $X\sim B(n,p)$，且 $a,b$ 为整数时：
>
> $$
> P(a\le X\le b)
> \approx
> \Phi\left(\frac{b+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)
> -\Phi\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)
> $$
>
> 常见的修正规则：
>
> | 原概率 | 正态近似端点 |
> | - | - |
> | $P(X\le k)$ | $\Phi\left(\dfrac{k+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)$ |
> | $P(X<k)$ | $\Phi\left(\dfrac{k-0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)$ |
> | $P(X\ge k)$ | $1-\Phi\left(\dfrac{k-0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)$ |
> | $P(X>k)$ | $1-\Phi\left(\dfrac{k+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)$ |
>
> > [!TIP]
> >
> > 二项分布用正态近似时，每个整数点看作宽度为 1 的区间。等号方向决定加减 $0.5$，画数轴可以快速判断。

## 两类定理的区别

> [accordion] 两类定理的区别
>
> | 定理 | 关注对象 | 典型结论 |
> | - | - | - |
> | 大数定律 | 样本平均值的稳定性 | $\bar X_n\xrightarrow{P}\mu$ |
> | 中心极限定理 | 标准化和的极限分布 | $\dfrac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1)$ |
>
> > [!WARNING]
> >
> > 大数定律不要求分布近似正态；中心极限定理不只说明平均值接近期望，而是说明标准化误差的分布趋近标准正态。二者解决的问题不同。

## 高频题型与易错点

> [accordion] 切比雪夫不等式中的标准差
>
> 公式分母是 $\varepsilon^2$，不是 $\varepsilon$。若题目给出标准差 $\sigma$，先平方得到方差。

> [accordion] 中心极限定理先标准化
>
> 先写：
>
> $$
> \frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{D(S_n)}}
> $$
>
> 再代入标准正态分布。若 $X_i$ 独立但不同分布，需要检查题目是否给出可用中心极限定理的条件。

> [accordion] 二项分布近似的连续性修正
>
> 题目把离散的 $B(n,p)$ 用正态分布近似时，含端点通常要加减 $0.5$。只有粗略近似时才忽略。

> [accordion] 不要混淆收敛类型
>
> 大数定律对应依概率收敛，中心极限定理对应依分布收敛。前者给数值稳定性，后者给分布形状。


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