> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://docs.0907world.cn/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# 第 4 章 随机变量的数字特征

> 整理数学期望、方差、协方差、相关系数、矩和条件期望，并汇总常见分布的数字特征。

本章用于概括随机变量的位置、波动和相依程度。先判断随机变量类型，再选择求和或积分公式；处理线性组合时，优先使用期望与方差的运算性质。

> [!NOTE]
>
> 主复习路线：**期望 → 方差 → 协方差与相关系数 → 矩 → 条件期望**。

## 数学期望

> [accordion] 定义与计算公式
>
> 离散型随机变量：
>
> $$
> E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i)
> $$
>
> 连续型随机变量：
>
> $$
> E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f_X(x)\,dx
> $$
>
> 随机变量函数的期望：
>
> $$
> E[g(X)]=
> \begin{cases}
> \displaystyle\sum_i g(x_i)P(X=x_i), & X\text{ 离散型},\\[3mm]
> \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f_X(x)\,dx, & X\text{ 连续型}
> \end{cases}
> $$
>
> 二维情形：
>
> $$
> E[g(X,Y)]=
> \begin{cases}
> \displaystyle\sum_i\sum_j g(x_i,y_j)p_{ij}, & (X,Y)\text{ 离散型},\\[3mm]
> \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f_{XY}(x,y)\,dx\,dy, & (X,Y)\text{ 连续型}
> \end{cases}
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 求 $E[g(X)]$ 时通常不需要先求 $g(X)$ 的分布，直接使用 $X$ 的分布即可。这就是“无意识统计学家公式”。

> [accordion] 期望的性质
>
> 对任意常数 $a,b,c$：
>
> $$
> E(c)=c,\qquad E(aX+b)=aE(X)+b
> $$
>
> $$
> E(X+Y)=E(X)+E(Y)
> $$
>
> $$
> E\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i+b\right)=\sum_{i=1}^{n}a_iE(X_i)+b
> $$
>
> 若 $X,Y$ 相互独立，则：
>
> $$
> E(XY)=E(X)E(Y)
> $$
>
> 若 $X,Y$ 不相关且二阶矩存在，按定义也有 $E(XY)=E(X)E(Y)$。
>
> > [!WARNING]
> >
> > $E(XY)=E(X)E(Y)$ 不能反推出 $X,Y$ 独立。它只能说明二者不相关。

## 方差

> [accordion] 定义与计算公式
>
> $$
> D(X)=E\left([X-E(X)]^2\right)
> $$
>
> 最常用的计算式：
>
> $$
> D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
> $$
>
> 标准差为：
>
> $$
> \sigma_X=\sqrt{D(X)}
> $$

> [accordion] 方差的性质
>
> 对任意常数 $a,b$：
>
> $$
> D(c)=0,\qquad D(aX+b)=a^2D(X)
> $$
>
> $$
> D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)
> $$
>
> 若 $X,Y$ 不相关，则：
>
> $$
> D(X+Y)=D(X)+D(Y)
> $$
>
> 更一般地：
>
> $$
> D\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i\right)
> =\sum_{i=1}^{n}a_i^2D(X_i)
> +2\sum_{1\le i<j\le n}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)
> $$
>
> 当 $X_1,\ldots,X_n$ 两两不相关时：
>
> $$
> D\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i\right)=\sum_{i=1}^{n}a_i^2D(X_i)
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 方差一般不能直接相加。只有不相关时交叉项才消失；独立只是保证不相关的一种更强条件。

## 协方差

> [accordion] 定义与计算公式
>
> 设 $X,Y$ 的期望存在且二阶矩有限，协方差定义为：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,Y)=E\left([X-E(X)][Y-E(Y)]\right)
> $$
>
> 最常用的计算式：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 计算时优先使用第二式，只需分别求出 $E(XY)$、$E(X)$、$E(Y)$，不必先求 $(X-E(X))(Y-E(Y))$ 的分布。

> [accordion] 基本性质
>
> 对任意常数 $a,b,c,d$：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)
> $$
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,X)=D(X)
> $$
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,c)=0,\qquad
> \operatorname{Cov}(aX,Y)=a\operatorname{Cov}(X,Y)
> $$
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X+c,Y)=\operatorname{Cov}(X,Y)
> $$
>
> 两边同时作线性变换时：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\operatorname{Cov}(X,Y)
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > $\operatorname{Cov}(X,X)=D(X)$ 说明方差就是随机变量与自身的协方差。加常数不改变协方差，乘常数按倍数提出。

> [accordion] 线性运算
>
> 协方差对两个位置分别具有线性性：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X+Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z)
> $$
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X-Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)-\operatorname{Cov}(Y,Z)
> $$
>
> 推广到多个随机变量：
>
> $$
> \operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i,Y\right)
> =\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Cov}(X_i,Y)
> $$
>
> 两边都是和式时：
>
> $$
> \operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i,\sum_{j=1}^{m}Y_j\right)
> =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\operatorname{Cov}(X_i,Y_j)
> $$
>
> 更一般地，两个线性组合的协方差为：
>
> $$
> \operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i,\sum_{j=1}^{m}b_jY_j\right)
> =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_ib_j\operatorname{Cov}(X_i,Y_j)
> $$
>
> 特别地：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X-Y,X)=D(X)-\operatorname{Cov}(X,Y)
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 遇到线性组合的协方差，先把两个位置分别拆成和式，再逐项配对展开。

> [accordion] 与方差的互化
>
> 和、差的方差：
>
> $$
> D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)
> $$
>
> $$
> D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y)
> $$
>
> 反过来由方差求协方差：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{D(X+Y)-D(X)-D(Y)}{2}
> $$
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{D(X)-D(X-Y)+D(Y)}{2}
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > $D(X\pm Y)$ 中的交叉项符号与协方差前面的符号一致，不要写成 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$。

> [accordion] 其他常用公式
>
> 随机变量与自身函数的协方差：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,aX+b)=aD(X)
> $$
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,g(X))=E[Xg(X)]-E(X)E[g(X)]
> $$
>
> 例如：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,X^2)=E(X^3)-E(X)E(X^2)
> $$
>
> 由柯西–施瓦茨不等式，协方差满足：
>
> $$
> |\operatorname{Cov}(X,Y)|\le\sqrt{D(X)D(Y)}
> $$
>
> 这也是相关系数满足 $|\rho_{XY}|\le1$ 的依据。
>
> > [!WARNING]
> >
> > $\operatorname{Cov}(X,g(X))$ 一般不为 $0$。$X$ 与自身的函数通常不独立，不能套用“独立则协方差为零”。

## 相关系数

> [accordion] 定义与性质
>
> 当 $D(X)>0,D(Y)>0$ 时，定义相关系数：
>
> $$
> \rho_{XY}=
> \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}
> $$
>
> 协方差的大小受变量量纲和尺度影响，相关系数是标准化后的无量纲指标，更适合比较相关程度。
>
> 相关系数的性质：
>
> $$
> -1\le\rho_{XY}\le1
> $$
>
> 若 $\rho_{XY}=0$，称 $X,Y$ 不相关。不相关等价于：
>
> $$
> \operatorname{Cov}(X,Y)=0
> \quad\Longleftrightarrow\quad
> E(XY)=E(X)E(Y)
> $$
>
> 当且仅当存在常数 $a\ne0,b$，使：
>
> $$
> Y=aX+b\quad(\text{以概率 }1)
> $$
>
> 时，$|\rho_{XY}|=1$。其中 $\rho_{XY}=1$ 对应正线性关系，$\rho_{XY}=-1$ 对应负线性关系。

> [accordion] 独立与不相关的关系
>
> 若 $X,Y$ 独立且二阶矩存在，则：
>
> $$
> X,Y\text{ 独立}\quad\Longrightarrow\quad X,Y\text{ 不相关}
> $$
>
> 反方向一般不成立。例如 $X\sim U(-1,1)$，$Y=X^2$，则 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，但 $X,Y$ 明显不独立。

> [accordion] 二维正态分布的特殊性
>
> 若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则不相关与相互独立等价：
>
> $$
> \rho_{XY}=0\quad\Longleftrightarrow\quad X,Y\text{ 相互独立}
> $$

## 常见分布的数字特征

> [accordion] 常见分布的数字特征
>
> | 分布 | 记号 | 数学期望 | 方差 |
> | - | - | - | - |
> | 0-1 分布 | $B(1,p)$ | $p$ | $p(1-p)$ |
> | 二项分布 | $B(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ |
> | 泊松分布 | $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
> | 几何分布 | $G(p)$ | $\dfrac1p$ | $\dfrac{1-p}{p^2}$ |
> | 均匀分布 | $U(a,b)$ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
> | 指数分布 | $\mathrm{Exp}(\lambda)$ | $\dfrac1\lambda$ | $\dfrac1{\lambda^2}$ |
> | 正态分布 | $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
> | 卡方分布 | $\chi^2(n)$ | $n$ | $2n$ |
>
> > [!TIP]
> >
> > 二项分布、泊松分布和正态分布的数字特征最常考。正态分布的两个参数本身就是均值和方差。

## 矩

> [accordion] 矩
>
> $k$ 阶原点矩：
>
> $$
> E(X^k)
> $$
>
> $k$ 阶中心矩：
>
> $$
> E\left([X-E(X)]^k\right)
> $$
>
> 特别地：
>
> $$
> E(X)\text{ 为一阶原点矩},\qquad D(X)\text{ 为二阶中心矩}
> $$
>
> 混合原点矩与混合中心矩分别为：
>
> $$
> E(X^kY^l),\qquad E\left([X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\right)
> $$
>
> 协方差就是二阶混合中心矩。

## 条件数学期望

> [accordion] 条件数学期望
>
> 条件期望 $E(X\mid Y)$ 是随机变量 $Y$ 的函数，不再是常数。若 $Y=y$：
>
> 离散型：
>
> $$
> E(X\mid Y=y)=\sum_i x_iP(X=x_i\mid Y=y)
> $$
>
> 连续型：
>
> $$
> E(X\mid Y=y)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx
> $$
>
> 全期望公式：
>
> $$
> E(X)=E[E(X\mid Y)]
> $$
>
> 连续型形式：
>
> $$
> E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}E(X\mid Y=y)f_Y(y)\,dy
> $$
>
> 条件期望具有线性性质：
>
> $$
> E(aX+bZ\mid Y)=aE(X\mid Y)+bE(Z\mid Y)
> $$
>
> 全方差公式：
>
> $$
> D(X)=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)]
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > $E(X\mid Y=y)$ 表示在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的平均值；$E(X\mid Y)$ 则是关于 $Y$ 的随机变量。书写时要区分。

## 高频题型与易错点

> [accordion] 先判断是否需要求分布
>
> 求 $E[g(X)]$ 或 $E[g(X,Y)]$ 时，通常直接按定义求和或积分，不必先求 $g(X)$ 的分布。

> [accordion] 方差计算优先用二阶矩
>
> 当题目已经给出 $E(X)$ 和 $E(X^2)$ 时，直接使用：
>
> $$
> D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
> $$

> [accordion] 相关判断先看协方差
>
> 求 $D(X+Y)$ 时先展开：
>
> $$
> D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)
> $$
>
> 不要默认 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。

> [accordion] 协方差计算的优先顺序
>
> 按以下顺序尝试：
>
> 1. 优先用 $\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。
>
> 2. 出现线性组合时，先按线性运算拆开，再逐项求协方差。
>
> 3. 已知方差时，用 $D(X\pm Y)$ 与协方差的互化公式反求。
>
> 4. 判断相关性时，先看协方差是否为零，再决定是否使用独立性。
>
> > [!TIP]
> >
> > 比较相关程度时不要直接比较协方差，改用无量纲的相关系数 $\rho_{XY}$。

> [accordion] 独立与不相关不能混用
>
> 独立可以推出不相关，但不相关不能推出独立；只有在二维正态分布等特殊结构下，两者才等价。


This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.