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# 第 3 章 多维随机变量及其分布

> 整理联合分布、边缘分布、条件分布、随机变量独立性，以及和、最大值、最小值等函数的分布。

本章的核心是把二维随机变量投影到坐标轴、在给定条件下切片，并通过变量替换求函数分布。画清积分区域通常比机械套公式更重要。

> [!NOTE]
>
> 主复习路线：**联合分布 → 边缘分布 → 条件分布 → 独立性 → 随机变量函数的分布**。

## 二维随机变量与联合分布

> [accordion] 二维随机变量与联合分布
>
> 二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数定义为：
>
> $$
> F_{XY}(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y)
> $$
>
> 联合分布函数的性质：
>
> 1. 对每个变量单调不减；
> 2. 对每个变量右连续；
>
> $$
> F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=0,\qquad F(+\infty,+\infty)=1
> $$
>
> 矩形概率公式：
>
> $$
> \begin{aligned}
> &P(a_1<X\le b_1,\ a_2<Y\le b_2)\\
> ={}&F(b_1,b_2)-F(a_1,b_2)-F(b_1,a_2)+F(a_1,a_2)
> \end{aligned}
> $$

## 联合分布列与联合密度

> [accordion] 离散型
>
> 若 $(X,Y)$ 只取可数个点 $(x_i,y_j)$，则联合概率分布列为：
>
> $$
> p_{ij}=P(X=x_i,\ Y=y_j)
> $$
>
> 满足：
>
> $$
> p_{ij}\ge0,\qquad \sum_i\sum_j p_{ij}=1
> $$

> [accordion] 连续型
>
> 若存在非负可积函数 $f_{XY}(x,y)$，使：
>
> $$
> F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f_{XY}(u,v)\,dv\,du
> $$
>
> 则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$f_{XY}$ 为联合密度。联合密度满足：
>
> $$
> f_{XY}(x,y)\ge0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy\,dx=1
> $$
>
> 在密度连续的点处：
>
> $$
> f_{XY}(x,y)=\frac{\partial^2F_{XY}(x,y)}{\partial x\partial y}
> $$
>
> 若区域 $D\subset\mathbb R^2$，则：
>
> $$
> P((X,Y)\in D)=\iint_D f_{XY}(x,y)\,dx\,dy
> $$

## 边缘分布

> [accordion] 离散型边缘分布
>
> $$
> p_X(x_i)=P(X=x_i)=\sum_j p_{ij}
> $$
>
> $$
> p_Y(y_j)=P(Y=y_j)=\sum_i p_{ij}
> $$
>
> 联合分布列向行或列求和，就得到边缘分布。

> [accordion] 连续型边缘密度
>
> $$
> f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy
> $$
>
> $$
> f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dx
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 边缘密度是联合密度在另一变量方向上的积分。必须先根据联合密度的支持集确定积分上下限，不能默认都是 $-\infty$ 到 $+\infty$。

## 条件分布

> [accordion] 离散型条件分布
>
> 当 $P(Y=y_j)>0$ 时：
>
> $$
> P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_Y(y_j)}
> $$
>
> 当 $P(X=x_i)>0$ 时：
>
> $$
> P(Y=y_j\mid X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_X(x_i)}
> $$

> [accordion] 连续型条件密度
>
> 当 $f_Y(y)>0$ 时：
>
> $$
> f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}
> $$
>
> 当 $f_X(x)>0$ 时：
>
> $$
> f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x)}
> $$
>
> 条件密度满足：
>
> $$
> f_{X\mid Y}(x\mid y)\ge0,\qquad
> \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx=1
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 连续型随机变量在单点的概率为零，因此不能直接定义 $P(X=x\mid Y=y)$。求条件密度时不用除 $P(Y=y)$，而应使用密度函数 $f_Y(y)$。

## 随机变量的独立性

> [accordion] 离散型
>
> 若对一切 $i,j$ 都有：
>
> $$
> P(X=x_i,\ Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)
> $$
>
> 则 $X,Y$ 相互独立。

> [accordion] 连续型
>
> 若对几乎所有 $x,y$ 都有：
>
> $$
> f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
> $$
>
> 则 $X,Y$ 相互独立。

> [accordion] 分布函数判定
>
> $$
> F_{XY}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\qquad(\forall x,y)
> $$
>
> 是独立性的充要条件。
>
> > [!TIP]
> >
> > 判断连续型随机变量是否独立时，同时检查两点：
> >
> > 1. 联合密度能否分解为只含 $x$ 的函数与只含 $y$ 的函数之积；
> > 2. 支持集能否写成两个区间（或集合）的笛卡尔积。
> >
> > 若支持集不是矩形区域，通常不独立。

## 二维随机变量函数的分布

> [accordion] 和的分布
>
> 设 $Z=X+Y$。连续型情形的分布函数法为：
>
> $$
> F_Z(z)=P(X+Y\le z)=\iint_{x+y\le z}f_{XY}(x,y)\,dx\,dy
> $$
>
> 若 $X,Y$ 相互独立，则卷积公式为：
>
> $$
> f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx
> $$
>
> 离散型独立情形为：
>
> $$
> P(Z=z)=\sum_xP(X=x)P(Y=z-x)
> $$

> [accordion] 最大值与最小值
>
> 设 $X,Y$ 相互独立，则：
>
> $$
> F_{\max(X,Y)}(z)=F_X(z)F_Y(z)
> $$
>
> $$
> F_{\min(X,Y)}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]
> $$
>
> 推广到独立随机变量 $X_1,\ldots,X_n$：
>
> $$
> F_{\max}(z)=\prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(z)
> $$
>
> $$
> F_{\min}(z)=1-\prod_{i=1}^{n}[1-F_{X_i}(z)]
> $$

> [accordion] 一般二维变换
>
> 设：
>
> $$
> U=g_1(X,Y),\qquad V=g_2(X,Y)
> $$
>
> 若该变换存在唯一反函数：
>
> $$
> x=x(u,v),\qquad y=y(u,v)
> $$
>
> 则联合密度为：
>
> $$
> f_{UV}(u,v)=f_{XY}(x(u,v),y(u,v))
> \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|
> $$
>
> 其中雅可比行列式为：
>
> $$
> \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
> =
> \begin{vmatrix}
> \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[2mm]
> \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}
> \end{vmatrix}
> $$

> [accordion] 商与积
>
> 对独立连续型随机变量：
>
> $$
> f_{X/Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f_X(x)f_Y(zx)\,dx
> $$
>
> $$
> f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y\left(\frac{z}{x}\right)\,dx
> $$
>
> 考试中更适合先确定积分区域，再用分布函数法，不必死记公式。

## 二维均匀分布与二维正态分布

> [accordion] 二维均匀分布
>
> 若 $(X,Y)$ 在面积有限的区域 $D$ 上服从二维均匀分布，则：
>
> $$
> f_{XY}(x,y)=
> \begin{cases}
> \dfrac{1}{S_D}, & (x,y)\in D,\\[2mm]
> 0, & (x,y)\notin D
> \end{cases}
> $$
>
> 对区域 $A\subset D$：
>
> $$
> P((X,Y)\in A)=\frac{S_A}{S_D}
> $$

> [accordion] 二维正态分布
>
> 设:
>
> $$
> (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)
> $$
>
> 其边缘分布仍为正态分布：
>
> $$
> X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\qquad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)
> $$
>
> 在二维正态分布中，$X,Y$ 相互独立当且仅当：
>
> $$
> \rho=0
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 一般随机变量“不相关”不一定独立；但若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，“不相关”与“独立”等价。

## 高频题型与易错点

> [accordion] 先画区域再积分
>
> 联合密度题先画出函数不为零的区域 $D$。求边缘密度时固定一个变量，在另一变量方向确定上下限。

> [accordion] 求函数分布优先用分布函数法
>
> 对 $Z=g(X,Y)$，先写：
>
> $$
> F_Z(z)=P(g(X,Y)\le z)
> $$
>
> 再根据事件在平面上的区域作二重积分。对于 $Z=X+Y$，才优先考虑卷积。

> [accordion] 独立性检查支持集
>
> 若支持集为 $0<x<y<1$，它不是矩形，通常说明 $X,Y$ 不独立。即使密度表达式看起来能分离，也要验证支持集能否分离。

> [accordion] 边缘分布不一定保留相依结构
>
> 已知两个边缘分布通常不能唯一确定联合分布。只有独立性加上边缘分布，才能恢复联合分布。


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