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# 第 2 章 随机变量及其分布

> 整理分布函数、离散型与连续型随机变量、常见分布、正态分布标准化、概率积分变换及随机变量函数的分布。

本章把随机试验的结果数量化。核心是按随机变量类型选择概率分布或概率密度，并能通过分布函数统一处理概率与函数的分布。

> [!NOTE]
>
> 主复习路线：**分布函数 → 离散型或连续型 → 常见分布 → 正态标准化 → 概率积分变换 → 随机变量函数的分布**。

## 随机变量与分布函数

> [accordion] 随机变量与分布函数
>
> 随机变量 $X$ 是定义在样本空间 $\Omega$ 上、取值于实数的函数。对任意实数 $x$，定义分布函数：
>
> $$
> F_X(x)=P(X\le x)
> $$
>
> 分布函数具有以下性质：
>
> 1. 单调不减：若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1)\le F(x_2)$。
> 2. 有界性：$0\le F(x)\le1$。
> 3. 右连续：$F(x+0)=F(x)$。
> 4. 极限性质：
>
> $$
> F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\qquad
> F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1
> $$
>
> 由分布函数计算概率：
>
> $$
> P(a<X\le b)=F(b)-F(a)
> $$
>
> $$
> P(X=a)=F(a)-F(a-0)
> $$
>
> $$
> P(X<a)=F(a-0),\qquad P(X\ge a)=1-F(a-0)
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 分布函数在跳跃点处对应离散概率。连续型随机变量在任意单点的概率为零，因此开区间与闭区间的概率通常相同：
> >
> > $$
> > P(a<X<b)=P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)
> > $$

## 离散型随机变量

> [accordion] 离散型随机变量
>
> 若 $X$ 至多取可数个值 $x_1,x_2,\ldots$，则称 $X$ 为离散型随机变量。其概率分布列为：
>
> $$
> p_i=P(X=x_i),\qquad i=1,2,\ldots
> $$
>
> 必须满足：
>
> $$
> p_i\ge0,\qquad \sum_i p_i=1
> $$
>
> 分布函数为：
>
> $$
> F(x)=P(X\le x)=\sum_{x_i\le x}p_i
> $$

## 连续型随机变量

> [accordion] 连续型随机变量
>
> 若存在非负可积函数 $f_X(x)$，使对任意实数 $x$ 都有：
>
> $$
> F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt
> $$
>
> 则称 $X$ 为连续型随机变量，$f_X(x)$ 为其概率密度。
>
> 概率密度的性质：
>
> $$
> f_X(x)\ge0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,dx=1
> $$
>
> 在 $F_X$ 可导的点处：
>
> $$
> F_X'(x)=f_X(x)
> $$
>
> 计算区间概率：
>
> $$
> P(a<X\le b)=\int_a^b f_X(x)\,dx
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > $f_X(x)$ 不是概率。只有密度在小区间上的积分 $f_X(x)\,dx$ 才近似表示概率，且 $f_X(x)>1$ 是允许的。

## 常见离散分布

> [accordion] 常见离散分布
>
> | 分布 | 记号 | 概率分布列 | 取值与参数 |
> | - | - | - | - |
> | 0-1 分布 | $X\sim B(1,p)$ | $P(X=1)=p,\ P(X=0)=1-p$ | $0<p<1$ |
> | 二项分布 | $X\sim B(n,p)$ | $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ | $k=0,\ldots,n$ |
> | 泊松分布 | $X\sim P(\lambda)$ | $P(X=k)=\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ | $k=0,1,2,\ldots,\ \lambda>0$ |
> | 几何分布 | $X\sim G(p)$ | $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ | $k=1,2,\ldots,\ 0<p<1$ |
> | 超几何分布 | $X\sim H(N,M,n)$ | $P(X=k)=\dfrac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}$ | $k$ 的范围由实际组合数决定 |
>
> 几何分布具有无记忆性的一种离散形式：
>
> $$
> P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)
> $$
>
> 当 $n\to\infty$ 时，若 $np_n\to\lambda$，则二项分布可由泊松分布近似：
>
> $$
> \binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}
> \longrightarrow \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
> $$

## 常见连续分布

> [accordion] 核心概念与公式
>
> | 分布 | 记号 | 密度函数 | 支持集 |
> | - | - | - | - |
> | 均匀分布 | $X\sim U(a,b)$ | $f(x)=\dfrac1{b-a}$ | $a<x<b$ |
> | 指数分布 | $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ | $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ | $x>0,\ \lambda>0$ |
> | 正态分布 | $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ | $f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | $x\in\mathbb R,\ \sigma>0$ |

> [accordion] 均匀分布
>
> 若 $X\sim U(a,b)$，则分布函数为：
>
> $$
> F(x)=
> \begin{cases}
> 0, & x<a,\\[2mm]
> \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x<b,\\[2mm]
> 1, & x\ge b
> \end{cases}
> $$
>
> 对任意区间 $[c,d]\subset(a,b)$：
>
> $$
> P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}
> $$

> [accordion] 指数分布
>
> 指数分布的分布函数为：
>
> $$
> F(x)=
> \begin{cases}
> 1-e^{-\lambda x}, & x\ge0,\\
> 0, & x<0
> \end{cases}
> $$
>
> 生存函数与无记忆性：
>
> $$
> P(X>x)=e^{-\lambda x},\qquad x\ge0
> $$
>
> $$
> P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t),\qquad s,t\ge0
> $$

> [accordion] 正态分布与标准化
>
> 若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则标准化变量为：
>
> $$
> Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)
> $$
>
> 正态分布概率的计算公式：
>
> $$
> P(a<X\le b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)
> $$
>
> 标准正态分布函数满足：
>
> $$
> \Phi(-x)=1-\Phi(x)
> $$
>
> 因此常用的对称关系为：
>
> $$
> P(|X-\mu|<\varepsilon)
> =2\Phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)-1
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 正态分布题先标准化，再查表或利用 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。遇到 $P(X>a)$ 时写成 $1-\Phi((a-\mu)/\sigma)$。

## 随机变量函数的分布

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 设 $Y=g(X)$，求 $Y$ 的分布统一使用分布函数法：
>
> $$
> F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)
> $$
>
> 当 $g$ 单调且可导时，可以设 $x=h(y)$ 为反函数，则：
>
> $$
> f_Y(y)=f_X(h(y))\left|h'(y)\right|
> $$
>
> 当 $g$ 不是一一映射时，应先求 $F_Y(y)$，再对 $y$ 求导。例如 $Y=X^2$ 时，通常分成 $X\le -\sqrt y$ 与 $X\ge\sqrt y$ 两段计算。

> [accordion] 概率积分变换：F(X) 的分布
>
> 先区分两个容易混淆的记号：
>
> | 表达式 | 含义 |
> | - | - |
> | $F(x)$ | 自变量为实数 $x$，函数值是一个概率 |
> | $F(X)$ | 把随机变量 $X$ 代入分布函数，得到一个新的随机变量 |
>
> **定理**：若 $X$ 为连续型随机变量，分布函数为 $F(x)$，则
>
> $$
> U=F(X)\sim U(0,1)
> $$
>
> 即 $F(X)$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布。
>
> **证明**（先设 $F$ 严格单调，便于反解）：当 $0<u<1$ 时，
>
> $$
> P(U\le u)=P(F(X)\le u)
> =P\bigl(X\le F^{-1}(u)\bigr)
> =F\bigl(F^{-1}(u)\bigr)=u
> $$
>
> 而 $P(U\le0)=0$，$P(U\le1)=1$，所以 $U$ 的分布函数为
>
> $$
> F_U(u)=
> \begin{cases}
> 0, & u<0,\\
> u, & 0\le u<1,\\
> 1, & u\ge1
> \end{cases}
> $$
>
> 这正是 $U(0,1)$ 的分布函数。
>
> > [!TIP]
> >
> > $F$ 有平坦段时不能直接反解，但由 $F$ 的连续性，$P(F(X)\le u)=u$ 仍然成立。考试中按严格单调情形证明即可。反过来，若 $U\sim U(0,1)$，$F$ 为连续严格增分布函数，则 $X=F^{-1}(U)$ 的分布函数为 $F$，这是逆变换抽样法的原理。
>
> **例**：$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$，其分布函数为
>
> $$
> F(x)=
> \begin{cases}
> 1-e^{-\lambda x}, & x\ge0,\\
> 0, & x<0
> \end{cases}
> $$
>
> 于是
>
> $$
> F(X)=1-e^{-\lambda X}\sim U(0,1)
> $$
>
> 验证：当 $0<u<1$ 时，
>
> $$
> P(1-e^{-\lambda X}\le u)
> =P\left(X\le-\frac{\ln(1-u)}{\lambda}\right)
> =1-e^{\ln(1-u)}=u
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 结论要求 $X$ 为连续型随机变量。若 $X$ 为离散型，$F(X)$ 一般不服从均匀分布。例如 $X\sim B(1,\frac12)$，则 $F(X)$ 以 $\frac12$ 的概率取 $\frac12$、以 $\frac12$ 的概率取 $1$，不是 $U(0,1)$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 必背：$X$ 连续 $\Rightarrow F(X)\sim U(0,1)$。看到 $F(X)$、$1-e^{-\lambda X}$ 这类表达式，先想到均匀分布。

> [accordion] 最大值与最小值
>
> 若 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立，分布函数分别为 $F_i(x)$，令：
>
> $$
> M=\max(X_1,\ldots,X_n),\qquad m=\min(X_1,\ldots,X_n)
> $$
>
> 则：
>
> $$
> F_M(x)=P(M\le x)=\prod_{i=1}^{n}F_i(x)
> $$
>
> $$
> F_m(x)=P(m\le x)=1-\prod_{i=1}^{n}[1-F_i(x)]
> $$
>
> 若 $X_i$ 独立同分布且分布函数为 $F(x)$，则：
>
> $$
> F_M(x)=[F(x)]^n,\qquad F_m(x)=1-[1-F(x)]^n
> $$

## 高频题型与易错点

> [accordion] 由密度求参数
>
> 先用归一化条件：
>
> $$
> \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1
> $$
>
> 再求未知参数。若密度在多个区间有不同表达式，要把所有有效区间的积分相加。

> [accordion] 由分布函数求概率
>
> 优先使用分布函数差值。只有连续型随机变量且 $F$ 可导时，才用密度求导或积分。

> [accordion] 随机变量函数的分布
>
> 永远先判断 $g(X)\le y$ 对应的 $X$ 范围。非单调变换不能直接套单调公式，必须分段累加。

> [accordion] 正态分布的参数
>
> 正态分布的两个参数分别是均值和方差：
>
> $$
> X\sim N(\mu,\sigma^2)
> $$
>
> 第二个参数是 $\sigma^2$，不是标准差 $\sigma$。

> [accordion] F(X) 与 F(x) 不能混
>
> $F(x)$ 是概率，$F(X)$ 是随机变量。$X$ 连续时 $F(X)\sim U(0,1)$；$X$ 离散时一般不成立。


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