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# 矩阵运算与秩

> 集中整理伴随矩阵的运算法则与秩、乘积矩阵的秩、乘以可逆矩阵后秩与行列式的变化，并附证明与易错点。

本页把第 2 章中分散的“矩阵运算—秩”结论集中到一起。它们都是可以独立记忆、独立证明的二级结论，放在正文里会打断“等价—相似—合同”与矩阵运算的主线。

> [!NOTE]
>
> 阅读顺序：伴随矩阵的公式与秩 → $A^TA$ 与 $AA^T$ 的秩 → 乘可逆矩阵后秩与行列式的变化。所有结论默认矩阵为实矩阵，且乘法有意义。

## 一、伴随矩阵的运算法则

> [accordion] 公式汇总
>
> 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵（$n\ge2$），$A^*$ 为伴随矩阵。
>
> $$
> A^*=\vert A\vert A^{-1}\qquad(A\text{ 可逆})
> $$
>
> $$
> \vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}
> $$
>
> $$
> (A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\vert A\vert}A\qquad(A\text{ 可逆})
> $$
>
> $$
> (A^*)^T=(A^T)^*
> $$
>
> $$
> (AB)^*=B^*A^*
> $$
>
> 补充两条低频但常考的公式：
>
> $$
> (kA)^*=k^{n-1}A^*,\qquad (A^*)^*=\vert A\vert^{n-2}A
> $$
>
> 其中第二式要求 $n\ge2$；$n=2$ 时约定 $\vert A\vert^0=1$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 记忆主线：$AA^*=\vert A\vert E$ 是源头；可逆时 $A^*=\vert A\vert A^{-1}$，于是其余公式都可以由 $A^{-1}$ 的运算法则迁移过来。

> [accordion] 条件与易错点
>
> * $A^*$ 对任意 $n$ 阶方阵都有定义，不要求 $A$ 可逆；但 $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\vert A\vert}A$ 要求 $A$ 可逆。
>
> * $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$ 对奇异矩阵也成立：此时两边都为 $0$。
>
> * $(AB)^*=B^*A^*$ 的顺序不能反，和 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 的顺序一致。
>
> * 一般地，$(A+B)^*\ne A^*+B^*$，伴随矩阵对加法没有分配律。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 最容易错的是把 $(AB)^*$ 写成 $A^*B^*$。伴随矩阵来自“代数余子式 + 转置”，乘积的伴随矩阵顺序要颠倒。
>
> > [!TIP]
> >
> > $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$ 的推导：由 $AA^*=\vert A\vert E$ 两边取行列式，得 $\vert A\vert\,\vert A^*\vert=\vert A\vert^n$。当 $A$ 可逆时两边约去 $\vert A\vert$；当 $A$ 奇异时 $\vert A^*\vert=0$，结论仍成立。

## 二、伴随矩阵的秩

> [accordion] 结论
>
> 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则
>
> $$
> r(A^*)=
> \begin{cases}
> n, & r(A)=n\\
> 1, & r(A)=n-1\\
> 0, & r(A)<n-1
> \end{cases}
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 三个区间的边界分别是 $r(A)=n$、$r(A)=n-1$ 和 $r(A)<n-1$，不要和 $r(A)\le n-2$ 混淆。

> [accordion] 证明：秩为 n-1 时伴随矩阵的秩为 1
>
> **第一步：证明 $r(A^*)\ge1$。**
>
> 因为 $r(A)=n-1$，所以 $A$ 中存在一个 $n-1$ 阶非零子式，即至少有一个代数余子式 $A_{ij}\ne0$。而 $A^*$ 的元素正是这些代数余子式，所以 $A^*\ne O$，故
>
> $$
> r(A^*)\ge1
> $$
>
> **第二步：证明 $r(A^*)\le1$。**
>
> 因为 $r(A)=n-1<n$，所以 $A$ 不可逆，$\vert A\vert=0$。由基本恒等式
>
> $$
> AA^*=\vert A\vert E=O
> $$
>
> 利用秩的不等式：若 $AB=O$，其中 $A$ 为 $m\times n$、$B$ 为 $n\times s$，则 $r(A)+r(B)\le n$。这里
>
> $$
> (n-1)+r(A^*)\le n
> $$
>
> 因此 $r(A^*)\le1$。
>
> **第三步：合并。**
>
> 由 $r(A^*)\ge1$ 且 $r(A^*)\le1$，得 $r(A^*)=1$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 证明可以压缩为“非零子式保证下界，$AA^*=O$ 提供上界”。另外两种情形：$r(A)=n$ 时 $A$ 可逆，$A^*$ 也可逆；$r(A)<n-1$ 时所有 $n-1$ 阶子式全为 $0$，$A^*=O$。

> [accordion] 直观理解
>
> * $r(A)=n$：$A$ 可逆，$A^*$ 也可逆，所以 $r(A^*)=n$。
>
> * $r(A)=n-1$：$A$ 不可逆，但至少有一个 $n-1$ 阶子式非零，所以 $A^*\ne O$，秩至少为 $1$；又因为 $AA^*=O$，秩被限制住，所以秩恰好为 $1$。
>
> * $r(A)<n-1$：所有 $n-1$ 阶子式全为 $0$，所以 $A^*=O$，秩为 $0$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 这条结论常与“[第 2 章](https://docs.0907world.cn/linear-algebra/knowledge-summary/chapter-2.md) 矩阵的秩”中的不等式 $AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$ 联合使用，证明题里出现 $AA^*=O$ 就要想到它。

## 三、两个乘积矩阵的秩

> [accordion] 结论与证明
>
> 设 $A$ 为 $m\times n$ 实矩阵，则不论是否满秩，都有
>
> $$
> r(A^TA)=r(AA^T)=r(A^T)=r(A)
> $$
>
> 其中 $A^TA$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$AA^T$ 为 $m$ 阶实对称矩阵。
>
> **证明 $r(A^TA)=r(A)$**：
>
> 若 $A^TAx=0$，两边左乘 $x^T$，得
>
> $$
> x^TA^TAx=\Vert Ax\Vert^2=0
> $$
>
> 因此 $Ax=0$。反之，若 $Ax=0$，显然 $A^TAx=0$。记 $N(A)=\{x\mid Ax=0\}$ 为 $A$ 的零空间，则
>
> $$
> N(A^TA)=N(A)
> $$
>
> 由秩—零度定理，
>
> $$
> r(A^TA)=n-\dim N(A^TA)=n-\dim N(A)=r(A)
> $$
>
> 同理，对 $A^T$ 使用上述结论，得 $r(AA^T)=r(A^T)=r(A)$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 证明的关键是 $x^TA^TAx=\Vert Ax\Vert^2$：它把 $A^TA$ 的零空间与 $A$ 的零空间完全等同起来。

> [accordion] 易错点
>
> * 该结论只对实矩阵成立。复矩阵应把转置换成共轭转置：$r(A^HA)=r(AA^H)=r(A)$。
>
> * 秩相等不代表 $A^TA$ 与 $AA^T$ 相等，它们甚至可能不同阶。
>
> * $A^TA$ 是 $n$ 阶、$AA^T$ 是 $m$ 阶；不要因为“秩都等于 $r(A)$”就忽略阶数。
>
> > [!WARNING]
> >
> > “$A^TA$ 与 $AA^T$ 的秩都等于 $r(A)$”与“它们正定”是两件事。正定还要求满秩，且阶数要与秩匹配，详见[特征值与二次型](https://docs.0907world.cn/linear-algebra/secondary-conclusions/eigen-quadratic.md)。

## 四、乘以可逆矩阵：秩与行列式

> [accordion] 秩不变，行列式会变
>
> 设 $P,Q$ 可逆且乘法有意义，则
>
> $$
> r(PA)=r(A),\qquad r(AQ)=r(A),\qquad r(PAQ)=r(A)
> $$
>
> 原因是左乘可逆矩阵相当于一系列可逆的行变换，右乘相当于可逆的列变换，而可逆行、列变换都不改变秩。
>
> 对同阶方阵，行列式满足乘法公式：
>
> $$
> \vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert
> $$
>
> 若 $A,P,Q$ 为同阶方阵且 $P,Q$ 可逆，则
>
> $$
> \vert PA\vert=\vert P\vert\vert A\vert,\qquad
> \vert AQ\vert=\vert A\vert\vert Q\vert
> $$
>
> 所以乘可逆矩阵后：
>
> * 秩不变；
> * 行列式的值一般会变；
> * 行列式是否为零不变。
>
> 即
>
> $$
> \vert PA\vert=0\Leftrightarrow\vert A\vert=0
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 一句话：可逆矩阵乘上去，秩“照抄”，行列式“乘一个非零倍数”。所以判断秩和判断可逆性时可以放心乘可逆矩阵，但求行列式的具体值时要补上 $\vert P\vert$、$\vert Q\vert$。

> [accordion] 相似变换的特殊情形
>
> 若 $B=P^{-1}AP$，则
>
> $$
> \vert B\vert=\vert P^{-1}\vert\vert A\vert\vert P\vert=\vert A\vert
> $$
>
> $$
> r(B)=r(A)
> $$
>
> 所以相似变换既保持秩，也保持行列式；这与“相似矩阵有相同的特征值、迹、行列式、秩”一致。
>
> > [!WARNING]
> >
> > $r(PA)=r(A)$ 只要求 $P$ 可逆；$P$ 不可逆时秩可能变小。$\vert PA\vert=\vert P\vert\vert A\vert$ 中的 $\vert P\vert$ 一般不为 $1$，所以行列式的数值不能直接照搬。

## 五、速记表

| 结论 | 公式 | 条件 |
| - | - | - |
| 伴随矩阵基本恒等式 | $AA^*=A^*A=\vert A\vert E$ | 任意 $n$ 阶方阵 |
| 伴随矩阵行列式 | $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$ | 任意 $n$ 阶方阵 |
| 伴随矩阵可逆 | $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\vert A\vert}A$ | $A$ 可逆 |
| 乘积的伴随 | $(AB)^*=B^*A^*$ | $A,B$ 同阶 |
| 伴随矩阵的秩 | $n$ / $1$ / $0$ | 对应 $r(A)=n$ / $n-1$ / 小于 $n-1$ |
| $A^TA$ 的秩 | $r(A^TA)=r(A)$ | $A$ 为实矩阵 |
| 乘可逆矩阵 | $r(PAQ)=r(A)$ | $P,Q$ 可逆 |
| 乘可逆矩阵的行列式 | $\vert PA\vert=\vert P\vert\vert A\vert$ | 同阶方阵 |

> [!NOTE]
>
> 本页结论的“母体”在第 2 章：伴随矩阵的定义与 $AA^*=\vert A\vert E$、矩阵的秩与秩不等式、分块矩阵。做题时先回到母体确认条件，再套用本页公式。


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