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# 方程组的几何应用

> 用系数矩阵与增广矩阵的秩，判断三个平面的位置关系、平面内三条直线的位置关系，并整理平行与重合的判定。

本页把第 4 章中“方程组与几何图形”的对应关系单独整理。它本质上是秩判定定理的应用，放在方程组正文里会让“解的结构”主线被几何分类打断。

> [!NOTE]
>
> 统一思路：把几何对象写成线性方程组，比较系数矩阵与增广矩阵的秩。秩决定“有没有公共点、公共点是点还是线”，行列式只负责判断“有没有唯一公共点”。

## 一、三个平面的位置关系

> [accordion] 按秩分类
>
> 三个平面
>
> $$
> \begin{cases}
> a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\
> a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\
> a_3x+b_3y+c_3z=d_3
> \end{cases}
> $$
>
> 对应系数矩阵 $A=(a_{ij})_{3\times3}$ 与增广矩阵 $\bar A=(A\mid d)$。方程组有解当且仅当
>
> $$
> r(A)=r(\bar A)
> $$
>
> 按秩分类，位置关系如下：
>
> | 条件 | 几何结论 |
> | - | - |
> | $r(A)=r(\bar A)=3$ | 三个平面交于唯一一点 |
> | $r(A)=r(\bar A)=2$ | 三个平面交于一条直线 |
> | $r(A)=r(\bar A)=1$ | 三个平面重合 |
> | $r(A)\ne r(\bar A)$ | 没有公共点 |
>
> 若只看系数行列式：
>
> * 当 $\vert A\vert\ne0$ 时，三个平面有唯一公共点；
>
> * 当 $\vert A\vert=0$ 时，不存在唯一公共点，可能有无穷多个公共点，也可能没有公共点。
>
> > [!WARNING]
> >
> > $\vert A\vert=0$ 只说明三个平面的法向量线性相关，不能直接推出三个平面平行。具体是交于一条直线、重合还是无公共点，仍要看 $r(A)$ 与 $r(\bar A)$。
>
> > [!NOTE]
> >
> > 以上结论按三个平面方程都具有非零法向量的通常情形讨论。

> [accordion] 常见易错点
>
> * **把“行列式为零”等同于“无解”**：$\vert A\vert=0$ 只说明没有唯一解，仍可能有无穷多解。
>
> * **把“法向量线性相关”等同于“平面平行”**：三个平面可能交于一条直线，也可能重合。
>
> * **只看 $r(A)$ 不看 $r(\bar A)$**：$r(A)=2$ 时，若 $r(\bar A)=3$，三个平面没有公共点；只有 $r(\bar A)=2$ 才交于一条直线。
>
> > [!TIP]
> >
> > 判断顺序：先算 $r(A)$ 与 $r(\bar A)$，再看是否相等；相等时秩是几，公共点就是几维的。

## 二、平面内三条直线的位置关系

> [accordion] 按秩分类
>
> 平面内三条直线
>
> $$
> a_ix+b_iy+c_i=0,\qquad i=1,2,3
> $$
>
> 可写成 $a_ix+b_iy=-c_i$。构造系数矩阵与增广矩阵：
>
> $$
> M=
> \begin{pmatrix}
> a_1&b_1\\
> a_2&b_2\\
> a_3&b_3
> \end{pmatrix},
> \qquad
> \bar M=
> \begin{pmatrix}
> a_1&b_1&-c_1\\
> a_2&b_2&-c_2\\
> a_3&b_3&-c_3
> \end{pmatrix}
> $$
>
> 三条直线有公共点当且仅当
>
> $$
> r(M)=r(\bar M)
> $$
>
> 其中 $r(M)$ 只能是 $1$ 或 $2$：
>
> * 若 $r(M)=r(\bar M)=2$，三条直线交于唯一一点；
> * 若 $r(M)=r(\bar M)=1$，三条直线重合。
>
> 当 $r(M)=2$ 时，也可以用三阶行列式判定：
>
> $$
> \vert\bar M\vert=0
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > $\vert\bar M\vert=0$ 不能直接推出三条直线共点。三条平行但不重合的直线就满足 $\vert\bar M\vert=0$，此时 $r(M)=1$、$r(\bar M)=2$，三条直线没有公共点。

> [accordion] 两条直线平行或重合
>
> 两条直线
>
> $$
> a_1x+b_1y+c_1=0
> \quad\text{与}\quad
> a_2x+b_2y+c_2=0
> $$
>
> 平行或重合，当且仅当两个法向量线性相关：
>
> $$
> a_1b_2-a_2b_1=0
> $$
>
> 进一步区分（用“成比例”表述，避免分母为零）：
>
> * 若 $(a_1,b_1,c_1)$ 与 $(a_2,b_2,c_2)$ 成比例，则两直线重合；
>
> * 若 $(a_1,b_1)$ 与 $(a_2,b_2)$ 成比例，但 $(a_1,b_1,c_1)$ 与 $(a_2,b_2,c_2)$ 不成比例，则两直线平行但不重合。
>
> > [!TIP]
> >
> > 法向量线性相关只给出“平行或重合”；要区分两者，还要看常数项是否成同一比例。

## 三、速记表

| 对象 | 判定 | 结论 |
| - | - | - |
| 三个平面 | $r(A)=r(\bar A)=3$ | 交于唯一一点 |
| 三个平面 | $r(A)=r(\bar A)=2$ | 交于一条直线 |
| 三个平面 | $r(A)=r(\bar A)=1$ | 三个平面重合 |
| 三个平面 | $r(A)\ne r(\bar A)$ | 无公共点 |
| 三条直线 | $r(M)=r(\bar M)=2$ | 交于唯一一点 |
| 三条直线 | $r(M)=r(\bar M)=1$ | 三条直线重合 |
| 三条直线 | $r(M)\ne r(\bar M)$ | 无公共点 |

> [!NOTE]
>
> 本页只讨论“位置关系”的判定。方程组解的结构、基础解系与同解判定，仍以[第 4 章](https://docs.0907world.cn/linear-algebra/knowledge-summary/chapter-4.md)为主线。


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