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# 第 6 章 二次型

> 整理二次型的矩阵表示、正交变换与合同对角化、标准形与规范形、惯性定理与正定矩阵；单位化细节见二级结论。

本章先建立二次型与实对称矩阵的对应关系，再比较配方法与正交变换法两条化标准形的路线，最后用惯性定理把标准形、规范形与正定性串起来。

> [!NOTE]
>
> 复习主线：写出二次型的矩阵 $A$ → 选择配方法或正交变换法化标准形 → 区分 $C^{-1}AC$ 与 $C^{\mathrm{T}}AC$ → 用惯性指数看本质 → 用特征值或顺序主子式判断正定性。

## 二次型的定义与矩阵表示

> [accordion] 定义
>
> 含有 $n$ 个变量的二次齐次多项式称为二次型，其矩阵形式为
>
> $$
> f(x)=x^{\mathrm{T}}Ax
> $$
>
> 其中 $A$ 可取为实对称矩阵，称为二次型的矩阵。
>
> > [!TIP]
> >
> > 二次型与实对称矩阵一一对应，因此讨论二次型时，总可以假设其矩阵满足 $A^{\mathrm{T}}=A$。

> [accordion] 由二次型写矩阵
>
> 写矩阵时，平方项的系数放在主对角线上，交叉项的系数要**平分**后放在对称位置。
>
> 例如
>
> $$
> f=6x_1x_2
> $$
>
> 对应矩阵中 $a_{12}=a_{21}=3$。
>
> 再如
>
> $$
> f=x_1^{2}+2x_2^{2}+3x_3^{2}+4x_1x_2+6x_1x_3
> $$
>
> 对应矩阵为
>
> $$
> A=
> \begin{pmatrix}
> 1 & 2 & 3\\
> 2 & 2 & 0\\
> 3 & 0 & 3
> \end{pmatrix}
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 交叉项 $2a_{ij}x_ix_j$ 的系数是 $2a_{ij}$，所以写矩阵时要把系数除以 $2$。这是二次型写矩阵时最常见的错误。

> [accordion] 可逆线性变换
>
> 作可逆线性变换 $x=Cy$（其中 $C$ 可逆），则
>
> $$
> f=x^{\mathrm{T}}Ax=(Cy)^{\mathrm{T}}A(Cy)=y^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AC)y
> $$
>
> 变换后的矩阵为 $C^{\mathrm{T}}AC$，它与 $A$ 合同。
>
> > [!NOTE]
> >
> > 二次型化标准形，本质上就是寻找可逆矩阵 $C$，使 $C^{\mathrm{T}}AC$ 成为对角矩阵。

## 二次型化标准形的两种方法

> [accordion] 两种方法对比
>
> | 比较内容 | 配方法 | 正交变换法 |
> | - | - | - |
> | 变量变换 | $x=Cy$ | $x=Qy$ |
> | 变换矩阵 | $C$ 一定可逆 | $Q$ 一定正交且可逆 |
> | 是否保证正交 | 不保证 | 保证 |
> | 核心方法 | 配平方，消去交叉项 | 利用实对称矩阵的正交对角化 |
> | 变换后的矩阵 | $C^{\mathrm{T}}AC$ | $Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda$ |
>
> > [!TIP]
> >
> > 考试中若题目要求“用正交变换化标准形”，必须求出正交矩阵 $Q$；若只要求“化标准形”，用配方法更省时。

> [accordion] 配方法
>
> 通过配平方消去交叉项，找到适当的可逆线性变换，将二次型化为标准形。
>
> 配方法得到的变换矩阵 $C$ 一定可逆，但不一定正交。
>
> **例**：
>
> $$
> f=x_1^{2}+4x_1x_2+3x_2^{2}
> $$
>
> 配方得
>
> $$
> f=(x_1+2x_2)^{2}-x_2^{2}
> $$
>
> 令
>
> $$
> y_1=x_1+2x_2,\qquad y_2=x_2
> $$
>
> 则
>
> $$
> f=y_1^{2}-y_2^{2}
> $$
>
> 反解出 $x_1=y_1-2y_2$，$x_2=y_2$，故
>
> $$
> x=
> \begin{pmatrix}
> 1 & -2\\
> 0 & 1
> \end{pmatrix}
> y=Cy
> $$
>
> 其中 $C$ 的行列式为 $1$，所以 $C$ 可逆；但
>
> $$
> C^{\mathrm{T}}C=
> \begin{pmatrix}
> 1 & -2\\
> -2 & 5
> \end{pmatrix}
> \ne E
> $$
>
> 所以 $C$ 不是正交矩阵。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 注意变换方向。若把上面的令写成 $y=Cx$，其中
> >
> > $$
> > C=
> > \begin{pmatrix}
> > 1 & 2\\
> > 0 & 1
> > \end{pmatrix}
> > $$
> >
> > 那么化为 $x=Cy$ 时，变换矩阵应取
> >
> > $$
> > C^{-1}=
> > \begin{pmatrix}
> > 1 & -2\\
> > 0 & 1
> > \end{pmatrix}
> > $$
> >
> > 二次型标准形用的是后者。

> [accordion] 正交变换法
>
> 当二次型的矩阵 $A$ 为实对称矩阵时，可利用正交矩阵 $Q$ 对角化：
>
> $$
> Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda,\qquad Q^{\mathrm{T}}Q=E
> $$
>
> 令 $x=Qy$，则
>
> $$
> f(x)=y^{\mathrm{T}}\Lambda y=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i y_i^{2}
> $$
>
> 其中 $Q$ 由标准正交特征向量组成，$\Lambda$ 的对角元素为对应特征值。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 正交变换法的变换矩阵 $Q$ 一定可逆，因为 $Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}$。但求 $Q$ 时必须先把特征向量单位化，否则得到的只是一般的可逆变换。
>
> > [!TIP]
> >
> > 单位化与不单位化的区别、$C^{-1}AC$ 与 $C^{\mathrm{T}}AC$ 的对比，见[特征值与二次型](https://docs.0907world.cn/linear-algebra/secondary-conclusions/eigen-quadratic.md)。

## 相似、合同与正交变换

> [accordion] 三种变换的区别
>
> | 类型 | 变换公式 | 主要用途 |
> | - | - | - |
> | 相似变换 | $P^{-1}AP$ | 特征值、相似对角化 |
> | 合同变换 | $C^{\mathrm{T}}AC$ | 二次型标准形、规范形、惯性指数 |
> | 正交变换 | $Q^{\mathrm{T}}AQ$ | 实对称矩阵的正交对角化 |
>
> 记忆口诀：
>
> > [!TIP]
> >
> > 相似看 $P^{-1}AP$，合同看 $C^{\mathrm{T}}AC$，正交看 $Q^{\mathrm{T}}AQ$，且 $Q^{\mathrm{T}}Q=E$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 配方法中的 $C$ 可以保证可逆，但不保证正交；正交变换法中的 $Q$ 必须正交，因此一定可逆。

> [accordion] 正交变换的特殊性
>
> 对正交矩阵 $Q$，有 $Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}$，所以
>
> $$
> Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ
> $$
>
> 这说明正交变换既是合同变换，也是相似变换。
>
> > [!NOTE]
> >
> > 正因为如此，正交变换既能保持二次型的惯性指数（合同），又能保持矩阵的特征值（相似），所以变换后的系数恰好就是 $A$ 的特征值。

## 标准形、规范形与惯性定理

> [accordion] 标准形
>
> 通过可逆线性变换，将二次型化为只含变量平方项的形式：
>
> $$
> f=d_1y_1^{2}+d_2y_2^{2}+\cdots+d_ny_n^{2}
> $$
>
> 其中 $d_i$ 不一定为 $1,-1,0$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 用正交变换法得到的标准形中，$d_i$ 就是 $A$ 的特征值；用配方法得到的标准形中，$d_i$ 不一定是特征值，但正负个数不变。

> [accordion] 规范形
>
> 通过可逆线性变换，将二次型化为系数仅为 $1,-1,0$ 的形式：
>
> $$
> f=y_1^{2}+\cdots+y_p^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots-y_{p+q}^{2}
> $$
>
> 其余 $n-p-q$ 项系数为零。
>
> > [!TIP]
> >
> > 规范形是标准形的进一步化简：把正系数都变成 $1$，负系数都变成 $-1$，零系数保持为零。

> [accordion] 惯性定理
>
> 二次型经过可逆线性变换后，正、负、零惯性指数保持不变。
>
> 对于实对称矩阵 $A$：
>
> * 正惯性指数 $p$：正特征值的个数。
> * 负惯性指数 $q$：负特征值的个数。
> * 零惯性指数 $n_0$：零特征值的个数。
>
> 以上均按重数计算。
>
> > [!NOTE]
> >
> > 由此可得：两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正、负惯性指数分别相同（等价地，秩相同且符号差 $p-q$ 相同）。

## 正定矩阵

> [accordion] 定义
>
> 若 $A$ 为实对称矩阵，且对任意非零向量 $x$，均有
>
> $$
> x^{\mathrm{T}}Ax>0
> $$
>
> 则称 $A$ 为正定矩阵，对应的二次型称为正定二次型。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 正定矩阵的前提是实对称矩阵。判断正定之前，先确认矩阵是否实对称。

> [accordion] 判别方法
>
> 对于实对称矩阵 $A$，以下条件等价：
>
> **方法一：特征值判别**
>
> $$
> \lambda_i>0,\qquad i=1,2,\cdots,n
> $$
>
> 即全部特征值均大于零。
>
> **方法二：顺序主子式判别**
>
> $$
> \Delta_1>0,\quad \Delta_2>0,\quad\cdots,\quad \Delta_n>0
> $$
>
> 其中 $\Delta_k$ 是左上角 $k$ 阶主子矩阵的行列式。
>
> **方法三：二次型判别**
>
> $$
> x^{\mathrm{T}}Ax>0,\qquad \forall x\ne0
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 还有一条常用等价说法：$A$ 正定 $\Leftrightarrow$ $A$ 与单位矩阵 $E$ 合同 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $C$，使 $A=C^{\mathrm{T}}C$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 正定矩阵的性质清单，以及 $A^{\mathrm{T}}A$、$AA^{\mathrm{T}}$ 的正定条件与惯性指数，见[特征值与二次型](https://docs.0907world.cn/linear-algebra/secondary-conclusions/eigen-quadratic.md)。

> [accordion] 易错点
>
> * 主对角线元素均大于零，不一定正定。
>
> * 仅有 $|A|>0$，不能判定矩阵正定。
>
> * 顺序主子式法要求**全部**顺序主子式均大于零，缺一不可。
>
> * 以上正定判别均针对实对称矩阵。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 判断正定时，优先用“特征值全正”或“全部顺序主子式为正”；只有行列式大于零或只有主对角线元素大于零，都不足以推出正定。

> [!NOTE]
>
> 本章的公式速记与补充结论见[特征值与二次型](https://docs.0907world.cn/linear-algebra/secondary-conclusions/eigen-quadratic.md)。


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