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# 第 5 章 特征值与特征向量

> 整理特征值与特征向量、相似对角化与实对称矩阵的正交对角化。

本章从特征值与特征向量的定义出发，先理解不同特征值对应特征向量的线性无关性，再落到相似对角化与实对称矩阵的正交对角化；常用特征值公式集中放在二级结论。

> [!NOTE]
>
> 复习主线：会算（特征值、特征向量）→ 会判（能否相似对角化）→ 会用（实对称矩阵正交对角化）；“会推”的公式见二级结论。

## 特征值与特征向量的定义

> [accordion] 定义与求法
>
> 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\alpha$，使得
>
> $$
> A\alpha=\lambda\alpha,\qquad \alpha\ne0
> $$
>
> 则称 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\alpha$ 是 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。
>
> **求特征值**：解特征方程
>
> $$
> |\lambda E-A|=0
> $$
>
> **求特征向量**：对每个特征值 $\lambda$，解齐次方程组
>
> $$
> (A-\lambda E)\alpha=0,\qquad \alpha\ne0
> $$
>
> 其基础解系就是对应于 $\lambda$ 的一组线性无关特征向量。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 特征向量必须是非零向量，因此 $(A-\lambda E)\alpha=0$ 的基础解系不能包含零向量。同一个特征值对应的特征向量有无穷多个，它们构成一个解空间（去掉零向量）。
>
> > [!TIP]
> >
> > 常用矩阵（$kA$、$A^{m}$、$f(A)$、$A^{-1}$、$A^{*}$、$A^{\mathrm{T}}$、$P^{-1}AP$）的特征值，以及特征值的和与积，见[特征值与二次型](https://docs.0907world.cn/linear-algebra/secondary-conclusions/eigen-quadratic.md)。

## 不同特征值对应的特征向量线性无关

> [accordion] 定理
>
> 设 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 是矩阵 $A$ 的 $m$ 个互不相同的特征值，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 分别是对应的特征向量，则
>
> $$
> \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m
> $$
>
> 线性无关。
>
> > [!TIP]
> >
> > 这是“不同特征值对应的特征向量线性无关”的标准结论，也是判断矩阵能否相似对角化的重要工具。

> [accordion] 证明（数学归纳法）
>
> 对特征值的个数 $m$ 作归纳。
>
> **$m=1$ 时**：$\alpha_1\ne0$，单个非零向量线性无关，结论成立。
>
> **归纳假设**：$m-1$ 个互不相同特征值对应的特征向量线性无关。下面证明 $m$ 个的情形。
>
> 设
>
> $$
> k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0
> $$
>
> 两边左乘 $A-\lambda_m E$，并利用 $A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i$，得
>
> $$
> \sum_{i=1}^{m-1}k_i(\lambda_i-\lambda_m)\alpha_i=0
> $$
>
> 由归纳假设，$\alpha_1,\cdots,\alpha_{m-1}$ 线性无关，因此
>
> $$
> k_i(\lambda_i-\lambda_m)=0,\qquad i=1,\cdots,m-1
> $$
>
> 又 $\lambda_i\ne\lambda_m$，所以
>
> $$
> k_1=k_2=\cdots=k_{m-1}=0
> $$
>
> 代回原式得 $k_m\alpha_m=0$；由 $\alpha_m\ne0$ 得 $k_m=0$。故
>
> $$
> k_1=k_2=\cdots=k_m=0
> $$
>
> 即 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性无关。
>
> > [!TIP]
> >
> > 证明的关键动作是“左乘 $A-\lambda_m E$”：它把 $\alpha_m$ 消掉，只留下前 $m-1$ 项，从而可以套用归纳假设。

> [accordion] 推论
>
> 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 一定可以相似对角化。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 反过来不成立：有重特征值也可能相似对角化，只要每个特征值对应的线性无关特征向量个数足够。

## 相似矩阵与相似对角化

> [accordion] 相似矩阵的定义与不变量
>
> 若存在可逆矩阵 $P$，使得
>
> $$
> B=P^{-1}AP
> $$
>
> 则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$。
>
> 相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹和秩。
>
> > [!NOTE]
> >
> > 相似矩阵的特征多项式相同，因此特征值（含重数）相同；但特征向量一般不保持相同，而是按 $P^{-1}\alpha$ 对应。

> [accordion] 相似对角化的定义
>
> 若存在可逆矩阵 $P$，使得
>
> $$
> P^{-1}AP=\Lambda
> $$
>
> 其中 $\Lambda$ 为对角矩阵，则称 $A$ 可相似对角化。
>
> 此时 $\Lambda$ 的对角元素就是 $A$ 的特征值，$P$ 的列向量就是对应的线性无关特征向量。
>
> > [!TIP]
> >
> > 相似对角化的本质：找到一组由特征向量组成的基，使 $A$ 在这组基下成为对角矩阵。

> [accordion] 可相似对角化的判定
>
> * $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 一定可相似对角化（充分条件）。
> * $A$ 可相似对角化，当且仅当 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量（充要条件）。
> * 等价地，对每个特征值，其几何重数等于代数重数。
>
> 其中几何重数为 $n-r(A-\lambda_i E)$，即对应线性无关特征向量的个数；代数重数是 $\lambda_i$ 在特征方程中的重数。
>
> > [!WARNING]
> >
> > “有 $n$ 个特征值”不等于“有 $n$ 个互不相同的特征值”。重特征值对应的线性无关特征向量可能不够 $n$ 个，此时不能相似对角化。

> [accordion] 一般步骤
>
> 1. 解 $|\lambda E-A|=0$，求出全部特征值。
> 2. 对每个特征值 $\lambda_i$，解 $(A-\lambda_i E)x=0$，求基础解系。
> 3. 若共有 $n$ 个线性无关的特征向量，令 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，则
>
> $$
> P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 写 $P$ 时，列向量的顺序必须与 $\Lambda$ 中特征值的顺序一一对应。

## 实对称矩阵

> [accordion] 四条特殊性质
>
> 若 $A$ 为实对称矩阵，即
>
> $$
> A^{\mathrm{T}}=A
> $$
>
> 则：
>
> 1. $A$ 的全部特征值都是实数。
> 2. 不同特征值对应的特征向量必定正交。
> 3. 同一特征值对应的特征子空间可以选取正交基。
> 4. $A$ 一定可以正交对角化。
>
> 正交对角化公式为
>
> $$
> Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda,\qquad Q^{\mathrm{T}}Q=E
> $$
>
> 其中 $Q$ 为正交矩阵，满足 $Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}$。
>
> > [!NOTE]
> >
> > 实对称矩阵把“不同特征值对应的特征向量线性无关”加强为“正交”，这是二次型能用正交变换化为标准形的根本原因。

> [accordion] 证明：不同特征值对应的特征向量正交
>
> 设 $A^{\mathrm{T}}=A$，$\alpha,\beta$ 分别对应不同特征值 $\lambda,\mu$，即
>
> $$
> A\alpha=\lambda\alpha,\qquad A\beta=\mu\beta,\qquad \lambda\ne\mu
> $$
>
> 因为 $A^{\mathrm{T}}=A$，所以
>
> $$
> (A\alpha)^{\mathrm{T}}\beta=\alpha^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}\beta=\alpha^{\mathrm{T}}A\beta
> $$
>
> 一方面
>
> $$
> (A\alpha)^{\mathrm{T}}\beta=(\lambda\alpha)^{\mathrm{T}}\beta=\lambda\alpha^{\mathrm{T}}\beta
> $$
>
> 另一方面
>
> $$
> \alpha^{\mathrm{T}}A\beta=\alpha^{\mathrm{T}}(\mu\beta)=\mu\alpha^{\mathrm{T}}\beta
> $$
>
> 因此
>
> $$
> \lambda\alpha^{\mathrm{T}}\beta=\mu\alpha^{\mathrm{T}}\beta
> $$
>
> 即
>
> $$
> (\lambda-\mu)\alpha^{\mathrm{T}}\beta=0
> $$
>
> 由 $\lambda\ne\mu$，得
>
> $$
> \alpha^{\mathrm{T}}\beta=0
> $$
>
> 即 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交。
>
> > [!TIP]
> >
> > 证明只用了“实对称”这一条件把 $\alpha^{\mathrm{T}}A\beta$ 的两种算法接起来，是“同一式子两种算法”的典型用法。

> [accordion] 与一般实矩阵的对比
>
> | 性质 | 一般实矩阵 | 实对称矩阵 |
> | - | - | - |
> | 特征值 | 可能为复数 | 全为实数 |
> | 不同特征值对应的特征向量 | 线性无关，不一定正交 | 必定正交 |
> | 是否一定可相似对角化 | 否 | 是 |
> | 是否一定可正交相似对角化 | 否 | 是 |
>
> > [!TIP]
> >
> > 实矩阵 $A$ 可正交相似对角化为实对角矩阵，当且仅当 $A$ 为实对称矩阵。这是因为若 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda$ 且 $Q$ 正交，则 $A=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}$，从而 $A^{\mathrm{T}}=A$。

> [accordion] 正交对角化的步骤
>
> 1. 解 $|\lambda E-A|=0$，求出全部特征值。
> 2. 对每个特征值求基础解系。
> 3. 对同一特征值对应的特征向量作施密特正交化；不同特征值对应的特征向量已经正交。
> 4. 将所有特征向量单位化，得到标准正交特征向量组。
> 5. 以它们为列构成正交矩阵 $Q$，则
>
> $$
> Q^{-1}AQ=Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 只把特征向量正交化而不单位化，得到的矩阵只是一般的可逆矩阵，不是正交矩阵。题目要求“正交矩阵”时，必须完成第 4 步。

> [!NOTE]
>
> 本章的公式速记与跨章结论见[特征值与二次型](https://docs.0907world.cn/linear-algebra/secondary-conclusions/eigen-quadratic.md)。


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