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# 第 3 章 向量组与基变换

> 整理向量组的线性相关性、基变换、坐标变换、过渡矩阵与施密特正交化。

本章先简要回顾向量组的线性相关性和极大无关组，再重点展开基变换、坐标变换与过渡矩阵，最后整理施密特正交化的步骤和性质。

<Info>
  本章有两条主线：

  * **基与坐标的关系**：新基由旧基线性表示，过渡矩阵记录新基在旧基下的坐标。
  * **标准正交基**：先用施密特正交化得到两两正交的向量组，再单位化得到标准正交基。
</Info>

## 向量组（简要）

<AccordionGroup>
  <Accordion title="线性相关与线性无关">
    对向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$：

    * **线性相关**：存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots,k_s$，使得

    $$
    \sum_{i=1}^s k_i\alpha_i=0
    $$

    等价于

    $$
    r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)<s
    $$

    * **线性无关**：只有当 $k_1=k_2=\cdots=k_s=0$ 时，才有

    $$
    \sum_{i=1}^s k_i\alpha_i=0
    $$

    等价于

    $$
    r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)=s
    $$

    <Tip>
      判断相关或无关时，可以把向量按列排成矩阵，再通过秩来判断。
    </Tip>
  </Accordion>

  <Accordion title="极大无关组">
    若向量组中的一个部分组满足：

    1. 该部分组线性无关；
    2. 向量组中其余向量都可由该部分组线性表示；

    则称该部分组为原向量组的一个**极大线性无关组**。

    极大无关组所含向量的个数等于向量组的秩。

    <Info>
      极大无关组通常不唯一，但同一个向量组的所有极大无关组所含向量个数都相同。
    </Info>
  </Accordion>

  <Accordion title="秩与极大无关组的求法">
    将向量组中的向量按列排成矩阵，对其进行初等行变换，化为行最简形。

    此时：

    * 非零行的行数等于向量组的秩；
    * 主元所在的列对应的原向量组向量构成一个极大无关组。

    <Warning>
      初等行变换过程中列向量会发生变化，因此要找“原向量组”的极大无关组时，应根据行最简形中的主元列回到原矩阵选取，不能直接取变换后矩阵的列向量。
    </Warning>
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## 基变换

<AccordionGroup>
  <Accordion title="旧基、新基与过渡矩阵">
    设旧基为

    $$
    \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n
    $$

    新基为

    $$
    \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n
    $$

    每个新基向量都可由旧基线性表示：

    $$
    \begin{cases}
    \beta_1=p_{11}\alpha_1+p_{21}\alpha_2+\cdots+p_{n1}\alpha_n\\
    \beta_2=p_{12}\alpha_1+p_{22}\alpha_2+\cdots+p_{n2}\alpha_n\\
    \cdots\\
    \beta_n=p_{1n}\alpha_1+p_{2n}\alpha_2+\cdots+p_{nn}\alpha_n
    \end{cases}
    $$

    写成矩阵形式：

    $$
    (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)
    =
    (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)P
    $$

    其中：

    $$
    P=
    \begin{pmatrix}
    p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\
    p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\
    \vdots&\vdots&&\vdots\\
    p_{n1}&p_{n2}&\cdots&p_{nn}
    \end{pmatrix}
    $$

    称 $P$ 为**从旧基到新基的过渡矩阵**。

    <Check>
      $P$ 的第 $j$ 列，就是新基向量 $\beta_j$ 在旧基 $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ 下的坐标。因为两组基都线性无关，所以过渡矩阵 $P$ 一定可逆。
    </Check>
  </Accordion>

  <Accordion title="坐标变换">
    设向量 $\xi$ 在旧基下的坐标为 $X$，在新基下的坐标为 $Y$，即：

    $$
    \xi=(\alpha)X=(\beta)Y
    $$

    又因为：

    $$
    (\beta)=(\alpha)P
    $$

    所以：

    $$
    (\alpha)X=(\alpha)PY
    $$

    由于 $(\alpha)$ 是基向量组，可以比较坐标，得到：

    $$
    X=PY
    $$

    或等价地：

    $$
    Y=P^{-1}X
    $$

    <Tip>
      记忆口诀：

      * 基变换：新基 $=$ 旧基 $\times P$；
      * 坐标变换：旧坐标 $=P\times$ 新坐标；
      * 也就是说，**基和坐标的变换方向相反**。
    </Tip>
  </Accordion>

  <Accordion title="过渡矩阵的求法">
    若旧基在标准基下的矩阵为

    $$
    A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)
    $$

    新基在标准基下的矩阵为

    $$
    B=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)
    $$

    由

    $$
    (\beta)=(\alpha)P
    $$

    可得：

    $$
    B=AP
    $$

    因此：

    $$
    \boxed{P=A^{-1}B}
    $$

    可用初等行变换求：

    $$
    (A\mid B)\longrightarrow (E\mid P)
    $$

    即增广矩阵右半部分就是过渡矩阵 $P$。

    <Warning>
      在上面的定义下，过渡矩阵应写成 $P=A^{-1}B$。不要把 $A$ 和 $B$ 的顺序写反。
    </Warning>
  </Accordion>

  <Accordion title="连续过渡">
    若从基 $A$ 到基 $B$ 的过渡矩阵为 $P$，从基 $B$ 到基 $C$ 的过渡矩阵为 $Q$，则从基 $A$ 到基 $C$ 的过渡矩阵为：

    $$
    PQ
    $$

    <Check>
      连续过渡按照“先经过的矩阵写在左边”的顺序相乘，即 $A\to B\to C$ 对应矩阵乘积 $PQ$。
    </Check>
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## 施密特正交化

<AccordionGroup>
  <Accordion title="正交化步骤">
    从一组线性无关的向量

    $$
    \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n
    $$

    出发，构造正交向量组 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$。

    先取：

    $$
    \beta_1=\alpha_1
    $$

    再构造：

    $$
    \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1
    $$

    $$
    \beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1
    -\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2
    $$

    一般地：

    $$
    \beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}
    \frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i
    $$

    这样得到的 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ 两两正交。

    <Warning>
      施密特正交化要求原向量组线性无关。若出现某个 $\beta_i=0$，说明分母 $(\beta_i,\beta_i)$ 不能用于继续计算，原向量组也不满足正交化前提。
    </Warning>
  </Accordion>

  <Accordion title="单位化与标准正交基">
    对每个正交向量进行单位化：

    $$
    e_i=\frac{\beta_i}{\lVert\beta_i\rVert},
    \qquad
    \lVert\beta_i\rVert=\sqrt{(\beta_i,\beta_i)}
    $$

    则

    $$
    e_1,e_2,\dots,e_n
    $$

    就是标准正交基。

    <Check>
      正交化得到的是两两正交的向量组；再单位化后，才得到标准正交基。
    </Check>
  </Accordion>

  <Accordion title="性质">
    * 若 $Q=(e_1,e_2,\dots,e_n)$ 的列向量构成标准正交基，则：

    $$
    Q^TQ=E
    $$

    即 $Q$ 是正交矩阵。

    * 在标准正交基下，向量 $\xi$ 的坐标为：

    $$
    \xi=\sum_{i=1}^n(\xi,e_i)e_i
    $$

    也就是说，第 $i$ 个坐标就是 $(\xi,e_i)$。

    * 若新基是标准正交基，则从旧基到新基的过渡矩阵是正交矩阵，满足：

    $$
    P^{-1}=P^T
    $$

    <Tip>
      标准正交基的优势是坐标可以直接用内积计算，不需要求解线性方程组。
    </Tip>
  </Accordion>
</AccordionGroup>


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