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# 第 2 章 矩阵

> 对比矩阵等价、相似与合同，整理伴随矩阵、矩阵的秩与分块矩阵。

本章整理矩阵中容易混淆的等价、相似与合同关系，并归纳伴随矩阵、矩阵的秩和分块矩阵三个核心考点。复习时先建立概念对照，再分别记忆公式、判定条件和常见证明。

<Info>
  复习主线：先分清“等价、相似、合同”各自的变换形式和判定条件，再掌握伴随矩阵的秩、矩阵秩的常用不等式，以及分块矩阵的行列式与逆。
</Info>

## 矩阵等价、相似与合同

<AccordionGroup>
  <Accordion title="三者对比">
    | 概念 | 定义 | 判定条件 | 不变量 | 关系 |
    | - | - | - | - | - |
    | **等价** | 存在可逆矩阵 $P,Q$，使得 $PAQ=B$ | $r(A)=r(B)$ | 秩 | 等价只要求秩相同 |
    | **相似** | 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$ | 特征值相同、行列式相同、迹相同、秩相同等 | 特征值、迹、行列式、秩 | 相似一定等价，但等价不一定相似 |
    | **合同** | 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^TAP=B$ | 正负惯性指数相同 | 正负惯性指数、秩 | 合同一定等价，但等价不一定合同 |

    <Warning>
      相似与合同的常见必要条件可以用于排除选项，但通常不能直接作为充分条件。实对称矩阵是许多结论成立的常见前提。
    </Warning>
  </Accordion>

  <Accordion title="矩阵等价">
    **定义**

    若存在可逆矩阵 $P,Q$，使得

    $$
    PAQ=B
    $$

    则称 $A$ 与 $B$ 等价。

    **判定**

    $$
    A\cong B\Leftrightarrow r(A)=r(B)
    $$

    **等价标准形**

    任何矩阵 $A$ 都等价于：

    $$
    \begin{pmatrix}
    E_r & O\\
    O & O
    \end{pmatrix}
    $$

    其中 $r=r(A)$。

    **考研注意**

    * 等价是最弱的等价关系。
    * 同型矩阵等价的充要条件是秩相等。
    * 等价不保持特征值，也不保持正定性。
  </Accordion>

  <Accordion title="矩阵相似">
    **定义**

    若存在可逆矩阵 $P$，使得

    $$
    P^{-1}AP=B
    $$

    则称 $A$ 与 $B$ 相似。

    **判定**

    相似的必要条件包括：

    * 秩相同；
    * 行列式相同；
    * 迹相同；
    * 特征多项式相同；
    * 特征值相同。

    但以上条件通常只是必要条件，不是充分条件。

    **可对角化条件**

    $A$ 可对角化 $\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

    常用充分条件：

    * $n$ 阶矩阵有 $n$ 个互不相同的特征值；
    * 实对称矩阵一定可对角化。

    **考研注意**

    * 相似一定等价，但等价不一定相似。
    * 相似保持特征值、迹、行列式、秩。
    * 相似不保持正定性。
  </Accordion>

  <Accordion title="矩阵合同">
    **定义**

    若存在可逆矩阵 $P$，使得

    $$
    P^TAP=B
    $$

    则称 $A$ 与 $B$ 合同。

    **判定**

    实对称矩阵合同的充要条件是正、负惯性指数分别相同。

    $$
    \text{正惯性指数相同，负惯性指数相同}
    $$

    等价地：

    $$
    \text{正特征值个数相同，负特征值个数相同}
    $$

    **考研注意**

    * 合同一定等价，但等价不一定合同。
    * 合同保持秩、正负惯性指数。
    * 合同不保持特征值。
    * 实对称矩阵一定可正交对角化，因此一定合同于对角矩阵。
  </Accordion>

  <Accordion title="三者关系">
    $$
    \text{相似}\Rightarrow\text{等价}
    $$

    $$
    \text{合同}\Rightarrow\text{等价}
    $$

    但反过来一般不成立：

    $$
    \text{等价}\nRightarrow\text{相似}
    $$

    $$
    \text{等价}\nRightarrow\text{合同}
    $$

    $$
    \text{相似}\nRightarrow\text{合同}
    $$

    $$
    \text{合同}\nRightarrow\text{相似}
    $$

    **特殊情形**

    * 实对称矩阵：相似与合同有密切联系。
    * 若 $A$ 与 $B$ 相似且都是实对称矩阵，则它们也合同。
    * 若 $A$ 与 $B$ 合同且都是实对称矩阵，则它们不一定相似，但正负惯性指数相同。

    <Check>
      先判断是否为实对称矩阵，再判断使用相似还是合同；等价只比较秩，条件最弱。
    </Check>
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## 矩阵核心考点

<AccordionGroup>
  <Accordion title="伴随矩阵">
    **定义**

    $$
    A^*=(A_{ji})_{n\times n}
    $$

    其中 $A_{ji}$ 是元素 $a_{ji}$ 的代数余子式。

    **核心公式**

    $$
    AA^*=A^*A=|A|E
    $$

    $$
    |A^*|=|A|^{n-1}
    $$

    $$
    (A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A
    $$

    $$
    (A^*)^T=(A^T)^*
    $$

    $$
    (AB)^*=B^*A^*
    $$

    **伴随矩阵的秩**

    $$
    r(A^*)=
    \begin{cases}
    n, & r(A)=n\\
    1, & r(A)=n-1\\
    0, & r(A)<n-1
    \end{cases}
    $$

    <Warning>
      伴随矩阵的秩由原矩阵的秩直接决定，注意三个区间的边界分别为 $r(A)=n$、$r(A)=n-1$ 和 $r(A)<n-1$。
    </Warning>

    **证明：当 $r(A)=n-1$ 时，$r(A^*)=1$**

    第一步，证明 $r(A^*)\ge 1$。

    因为 $r(A)=n-1$，所以 $A$ 中存在一个 $n-1$ 阶非零子式。也就是说，至少有一个代数余子式 $A_{ij}\ne 0$。

    而伴随矩阵 $A^*$ 的元素就是这些代数余子式 $A_{ji}$，所以 $A^*\ne O$。因此：

    $$
    r(A^*)\ge 1
    $$

    第二步，证明 $r(A^*)\le 1$。

    因为 $r(A)=n-1<n$，所以 $A$ 不可逆，故：

    $$
    |A|=0
    $$

    由伴随矩阵基本公式：

    $$
    AA^*=|A|E=O
    $$

    即：

    $$
    AA^*=O
    $$

    利用秩的不等式：若 $AB=O$，其中 $A,B$ 均为 $n$ 阶矩阵，则

    $$
    r(A)+r(B)\le n
    $$

    这里 $A$ 的秩为 $n-1$，所以：

    $$
    r(A)+r(A^*)\le n
    $$

    即：

    $$
    (n-1)+r(A^*)\le n
    $$

    因此：

    $$
    r(A^*)\le 1
    $$

    第三步，综合结论。

    由 $r(A^*)\ge 1$ 且 $r(A^*)\le 1$，可得：

    $$
    r(A^*)=1
    $$

    证明完成。

    **直观理解**

    * $r(A)=n$ 时，$A$ 可逆，$A^*$ 也可逆，所以 $r(A^*)=n$。
    * $r(A)=n-1$ 时，$A$ 不可逆，但至少有一个 $n-1$ 阶子式非零，所以 $A^*\ne O$，秩至少为 1；又因为 $AA^*=O$，秩被限制住，所以秩恰好为 1。
    * $r(A)<n-1$ 时，所有 $n-1$ 阶子式全为 0，所以 $A^*=O$，秩为 0。

    <Check>
      伴随矩阵秩的证明可以压缩为“非零子式保证下界，$AA^*=O$ 提供上界”。
    </Check>
  </Accordion>

  <Accordion title="矩阵的秩">
    **定义**

    矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数，记作 $r(A)$。

    **求法**

    用初等行变换化为行阶梯形，非零行的行数即为秩。

    **重要性质**

    * $0\le r(A)\le \min(m,n)$
    * $r(A^T)=r(A)$
    * $r(kA)=r(A)$，其中 $k\ne 0$
    * $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
    * $r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\}$
    * 若 $AB=O$，则 $r(A)+r(B)\le n$，其中 $A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times s$
    * $r(A)=n\Leftrightarrow A$ 可逆，其中 $A$ 为 $n$ 阶方阵
    * 若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B)$，$r(BA)=r(B)$

    **等价标准形**

    任何矩阵 $A$ 都等价于：

    $$
    \begin{pmatrix}
    E_r & O\\
    O & O
    \end{pmatrix}
    $$

    其中 $r$ 为 $A$ 的秩。

    <Tip>
      秩的不等式是证明题高频考点，其中 $AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$ 极为常用；可逆矩阵乘矩阵不改变秩。
    </Tip>
  </Accordion>

  <Accordion title="分块矩阵">
    **分块运算**

    将矩阵分成若干小块，再按矩阵运算规则进行运算。

    **重要分块技巧**

    * 分块对角矩阵的行列式：

    $$
    |\operatorname{diag}(A_1,A_2,\cdots,A_s)|=|A_1||A_2|\cdots|A_s|
    $$

    * 分块对角矩阵的逆：

    $$
    \operatorname{diag}(A_1,\cdots,A_s)^{-1}
    =
    \operatorname{diag}(A_1^{-1},\cdots,A_s^{-1})
    $$

    * 分块矩阵的转置：

    $$
    \begin{pmatrix}
    A & B\\
    C & D
    \end{pmatrix}^T
    =
    \begin{pmatrix}
    A^T & C^T\\
    B^T & D^T
    \end{pmatrix}
    $$

    **常见分块矩阵行列式**

    $$
    \begin{vmatrix}
    A & O\\
    C & B
    \end{vmatrix}
    =|A||B|
    $$

    $$
    \begin{vmatrix}
    O & A\\
    B & O
    \end{vmatrix}
    =(-1)^{mn}|A||B|
    $$

    其中 $A$ 为 $m$ 阶，$B$ 为 $n$ 阶。

    <Warning>
      副对角线分块行列式带有符号 $(-1)^{mn}$。这是分块矩阵行列式最常见的失分点。
    </Warning>

    <Check>
      分块矩阵常用于简化高阶矩阵的行列式、逆矩阵和秩的计算。分块对角矩阵的逆与行列式是高频考点。
    </Check>
  </Accordion>
</AccordionGroup>


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