> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://docs.0907world.cn/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# 第 1 章 行列式

> 整理范德蒙德行列式、克拉默法则及其证明。

本章整理行列式中的两个高频考点：范德蒙德行列式与克拉默法则。复习时先掌握公式结构，再顺着归纳和逆矩阵两条证明主线理解结论。

<Info>
  范德蒙德行列式的核心是“第一行全为 1，后面每一行都是上一行的对应次幂”；克拉默法则的核心是“先判断系数行列式是否非零，再用替换列后的行列式求每个未知数”。
</Info>

## 范德蒙德行列式

<AccordionGroup>
  <Accordion title="形式与结论">
    标准形式为：

    $$
    V_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & \cdots & 1\\
    x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\
    x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\
    \vdots & \vdots & & \vdots\\
    x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
    \end{vmatrix}
    $$

    结论为：

    $$
    V_n=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)
    $$

    即所有“下标大的减下标小的”的乘积。

    <Tip>
      有时范德蒙德行列式会以转置形式出现，但结论不变。
    </Tip>
  </Accordion>

  <Accordion title="证明（数学归纳法）">
    **基础情形：$n=2$**

    $$
    V_2=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1\\
    x_1 & x_2
    \end{vmatrix}
    =x_2-x_1
    $$

    结论成立。

    **归纳步：假设 $n-1$ 阶范德蒙德行列式成立，证明 $n$ 阶也成立。**

    对 $V_n$ 从最后一行开始，依次用上一行的 $x_1$ 倍去减下一行：

    1. 第 $n$ 行减去第 $n-1$ 行的 $x_1$ 倍；
    2. 第 $n-1$ 行减去第 $n-2$ 行的 $x_1$ 倍；
    3. 依次进行，直到第 $2$ 行减去第 $1$ 行的 $x_1$ 倍。

    得到：

    $$
    V_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & \cdots & 1\\
    0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1\\
    0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1)\\
    \vdots & \vdots & & \vdots\\
    0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1)
    \end{vmatrix}
    $$

    按第一列展开：

    $$
    V_n=
    \begin{vmatrix}
    x_2-x_1 & x_3-x_1 & \cdots & x_n-x_1\\
    x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1)\\
    \vdots & \vdots & & \vdots\\
    x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1)
    \end{vmatrix}
    $$

    从第 $j$ 列提取公因子 $(x_{j+1}-x_1)$，得到：

    $$
    V_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & \cdots & 1\\
    x_2 & x_3 & \cdots & x_n\\
    \vdots & \vdots & & \vdots\\
    x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2}
    \end{vmatrix}
    $$

    右边行列式正好是 $n-1$ 阶范德蒙德行列式：

    $$
    V_{n-1}=\prod_{2\le i<j\le n}(x_j-x_i)
    $$

    因此：

    $$
    V_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{2\le i<j\le n}(x_j-x_i)
    $$

    即：

    $$
    V_n=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)
    $$

    证明完成。

    <Check>
      归纳法的关键是利用相邻两行作差，先制造第一列中的零，再按第一列展开并提取各列公因子。
    </Check>
  </Accordion>

  <Accordion title="考研注意">
    * 范德蒙德行列式的关键是**第一行全是 1，后面每行是前面一行的对应次幂**。
    * 有时会以转置形式出现，结论不变。
    * 如果每列有公因子，可以先提取公因子，再化成标准范德蒙德形式。
    * 常见变形：

    $$
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1\\
    a & b & c\\
    a^2 & b^2 & c^2
    \end{vmatrix}
    =(b-a)(c-a)(c-b)
    $$

    <Warning>
      使用结论前要先确认元素排列顺序。若行列式的行、列顺序与标准形式不同，应通过转置或换列化成标准形式，再确定每个因子的正负号。
    </Warning>
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## 克拉默法则

<AccordionGroup>
  <Accordion title="内容">
    设 $n$ 元线性方程组：

    $$
    \begin{cases}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\
    \cdots\\
    a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n
    \end{cases}
    $$

    写成矩阵形式：

    $$
    Ax=b
    $$

    其中：

    $$
    A=(a_{ij})_{n\times n},\quad
    x=(x_1,\cdots,x_n)^T,\quad
    b=(b_1,\cdots,b_n)^T
    $$

    若系数行列式 $|A|\ne 0$，则方程组有唯一解：

    $$
    x_j=\frac{|A_j|}{|A|},\quad j=1,2,\cdots,n
    $$

    其中，$A_j$ 是把 $A$ 的第 $j$ 列换成常数列 $b$ 后得到的矩阵。

    <Tip>
      记忆方式：求第 $j$ 个未知数时，就用常数列替换系数矩阵的第 $j$ 列，再除以原系数行列式。
    </Tip>

    <Warning>
      **余子式与代数余子式**：

      * 余子式 $M_{ij}$：删除第 $i$ 行、第 $j$ 列后剩下的 $n-1$ 阶行列式；
      * 代数余子式 $A_{ij}$：带符号的余子式，$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。

      两者一般不等，符号可能不同。克拉默法则和伴随矩阵展开中使用的是**代数余子式**，不是单独的余子式。
    </Warning>
  </Accordion>

  <Accordion title="证明">
    因为 $|A|\ne 0$，所以 $A$ 可逆。

    方程组 $Ax=b$ 两边左乘 $A^{-1}$：

    $$
    x=A^{-1}b
    $$

    又因为：

    $$
    A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
    $$

    所以：

    $$
    x=\frac{1}{|A|}A^*b
    $$

    其中 $A^*$ 是伴随矩阵。

    伴随矩阵的定义等价于：

    $$
    (A^*)_{jk}=A_{kj}
    $$

    也就是说，伴随矩阵第 $j$ 行第 $k$ 列的元素，是原矩阵元素 $a_{kj}$ 的代数余子式。这里使用的是**代数余子式**，不要漏掉符号因子 $(-1)^{k+j}$。

    写成分量形式：

    $$
    x_j=\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^n A_{kj}b_k
    $$

    其中 $A_{kj}$ 是元素 $a_{kj}$ 的代数余子式。

    而

    $$
    \sum_{k=1}^n b_k A_{kj}
    $$

    正好等于把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $b$ 后所得矩阵 $A_j$ 按第 $j$ 列展开的行列式：

    $$
    |A_j|=\sum_{k=1}^n b_k A_{kj}
    $$

    因此：

    $$
    x_j=\frac{|A_j|}{|A|}
    $$

    证明完成。

    <Check>
      证明主线：$|A|\ne 0\Rightarrow A$ 可逆 $\Rightarrow x=A^{-1}b$ $\Rightarrow$ 用伴随矩阵展开成分量形式 $\Rightarrow$ 对应替换列后的行列式。
    </Check>
  </Accordion>

  <Accordion title="考研注意">
    克拉默法则要求：

    1. 方程个数等于未知数个数；
    2. 系数行列式 $|A|\ne 0$。

    它主要用于：

    * 判断唯一解；
    * 理论证明；
    * 低阶方程组求解析解。

    当 $|A|=0$ 时，克拉默法则失效，需要用秩判断解的情况。

    <Warning>
      不要把 $|A|=0$ 直接等同于“无解”。此时方程组可能无解，也可能有无穷多解。
    </Warning>

    <Check>
      若 $|A|\ne 0$，则方程组有唯一解；若 $|A|=0$，则克拉默法则不能使用，应改用秩判断。
    </Check>
  </Accordion>
</AccordionGroup>


This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.