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# 第 6 章 函数定理、使用条件与证明方法

> 整理考研数学一中函数、极限、连续、一元微分、积分与多元微分的主要定理，按使用条件、定理结论、证明方法与考研应用四条线归纳，并附定理选择表与辅助函数构造表。

本章按 **使用条件 → 定理结论 → 证明方法 → 考研应用** 整理数学一的主要函数定理。

> [!NOTE]
>
> **重要程度**：★★★ 必须熟练；★★ 需要熟悉；★ 拓展了解。
>
> **复习顺序**：连续函数的性质 → 费马、罗尔 → 拉格朗日、柯西 → 泰勒 → 达布及其推论。后面的定理大多用前面的定理证明，条件也是逐层加强的。

## 函数极限与连续性定理

> [accordion] 1. 夹逼定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 在 $x=a$ 的某去心邻域内，
>
> $$
> g(x)\leq f(x)\leq h(x)
> $$
>
> 并且
>
> $$
> \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=A
> $$
>
> **定理结论**
>
> $$
> \lim_{x\to a}f(x)=A
> $$
>
> **证明方法：极限定义**
>
> 对任意 $\varepsilon>0$，当 $x$ 充分接近 $a$ 时，
>
> $$
> A-\varepsilon<g(x)\leq f(x)\leq h(x)<A+\varepsilon
> $$
>
> 于是
>
> $$
> \lvert f(x)-A\rvert<\varepsilon
> $$
>
> 所以 $f(x)\to A$。
>
> **考研应用**
>
> 含三角函数振荡因子的极限、数列极限、函数的上下界估计。

> [accordion] 2. 单调有界收敛定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 数列 $\{a_n\}$ 单调且有界。
>
> **定理结论**
>
> $\{a_n\}$ 必收敛。
>
> **证明方法：实数的确界性质**
>
> 以单调递增且有上界为例，令
>
> $$
> A=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}
> $$
>
> 根据上确界定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得
>
> $$
> A-\varepsilon<a_N\leq A
> $$
>
> 由单调性，当 $n\geq N$ 时，
>
> $$
> A-\varepsilon<a_n\leq A
> $$
>
> 因此 $a_n\to A$。
>
> **考研应用**
>
> 递推数列收敛性证明：先证单调，再证有界，最后求极限。

> [accordion] 3. 海涅定理（归结原则）★★
>
> **使用条件**
>
> $a$ 是函数定义域的聚点。
>
> **定理结论**
>
> $\lim_{x\to a}f(x)=A$ 当且仅当：对定义域内任意满足 $x_n\neq a$、$x_n\to a$ 的数列，都有
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}f(x_n)=A
> $$
>
> **证明方法：极限定义与反证法**
>
> 必要性由函数极限的 $\varepsilon$-$\delta$ 定义直接得到。
>
> 充分性用反证法：若函数极限不是 $A$，可以构造一列 $x_n\to a$，使
>
> $$
> \lvert f(x_n)-A\rvert\geq\varepsilon_0>0
> $$
>
> 与数列极限条件矛盾。
>
> **考研应用**
>
> 证明函数极限不存在，特别是选择两条趋近路径得到不同的极限。

> [accordion] 4. 极限保号性定理 ★★
>
> **使用条件**
>
> $$
> \lim_{x\to a}f(x)=A>0
> $$
>
> **定理结论**
>
> 在 $a$ 的某个去心邻域内，
>
> $$
> f(x)>0
> $$
>
> 负数情形同理。
>
> **证明方法：极限定义**
>
> 取 $\varepsilon=A/2$，则当 $x$ 充分接近 $a$ 时，
>
> $$
> \lvert f(x)-A\rvert<\frac A2
> $$
>
> 从而
>
> $$
> f(x)>\frac A2>0
> $$
>
> **考研应用**
>
> 判断局部符号、证明极限中的不等式。

> [accordion] 5. 连续函数有界性定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \exists\,M>0,\quad \lvert f(x)\rvert\leq M,\qquad \forall x\in[a,b]
> $$
>
> **证明方法：反证法 + 收敛子列**
>
> 若函数无界，则存在 $x_n\in[a,b]$，满足
>
> $$
> \lvert f(x_n)\rvert>n
> $$
>
> 由于 $\{x_n\}$ 有界，可以取出收敛子列
>
> $$
> x_{n_k}\to x_0\in[a,b]
> $$
>
> 由连续性，
>
> $$
> f(x_{n_k})\to f(x_0)
> $$
>
> 这与 $\lvert f(x_{n_k})\rvert>n_k\to\infty$ 矛盾。
>
> **考研应用**
>
> 证明函数有界、估计定积分、辅助证明最值存在。

> [accordion] 6. 连续函数最值定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。
>
> **定理结论**
>
> 存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使
>
> $$
> f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)
> $$
>
> 对所有 $x\in[a,b]$ 成立。
>
> **证明方法：有界性 + 确界性质 + 连续性**
>
> 先由有界性定理得到 $f$ 的值域有界。令
>
> $$
> M=\sup_{x\in[a,b]}f(x)
> $$
>
> 根据上确界定义，存在点列 $\{x_n\}$，使
>
> $$
> f(x_n)\to M
> $$
>
> 提取收敛子列 $x_{n_k}\to x_0\in[a,b]$，利用连续性：
>
> $$
> f(x_0)=M
> $$
>
> 最小值的存在性同理。
>
> **考研应用**
>
> 证明极值点存在，再使用费马定理或罗尔定理。

> [accordion] 7. 介值定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。
>
> **定理结论**
>
> 对任意介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的数 $\mu$，存在 $\xi\in[a,b]$，使
>
> $$
> f(\xi)=\mu
> $$
>
> 若 $\mu$ 严格介于两端函数值之间，可取 $\xi\in(a,b)$。
>
> **证明方法：转化为零点定理**
>
> 构造
>
> $$
> F(x)=f(x)-\mu
> $$
>
> 如果
>
> $$
> f(a)<\mu<f(b)
> $$
>
> 那么
>
> $$
> F(a)<0,\qquad F(b)>0
> $$
>
> 由零点定理（第 8 条），存在 $\xi\in(a,b)$，使
>
> $$
> F(\xi)=0
> $$
>
> 因此 $f(\xi)=\mu$。
>
> **考研应用**
>
> 证明函数可以取得某个指定值。

> [accordion] 8. 零点定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $$
> f\in C[a,b],\qquad f(a)f(b)<0
> $$
>
> **定理结论**
>
> $$
> \exists\,\xi\in(a,b),\quad f(\xi)=0
> $$
>
> **证明方法：确界法**
>
> 不妨设
>
> $$
> f(a)<0,\qquad f(b)>0
> $$
>
> 定义
>
> $$
> S=\{x\in[a,b]:f(x)\leq0\}
> $$
>
> 则 $S$ 非空（$a\in S$）且有上界（$b$ 是上界）。令
>
> $$
> \xi=\sup S
> $$
>
> 根据连续性可证 $f(\xi)=0$。
>
> 否则，若 $f(\xi)<0$，则 $\xi$ 右侧附近仍存在 $f(x)<0$ 的点，与上确界矛盾。
>
> 若 $f(\xi)>0$，则 $\xi$ 左侧附近函数值为正，与上确界定义矛盾。
>
> 因此结论成立。
>
> **考研应用**
>
> 要证明 $F(x)=G(x)$ 存在解，可构造
>
> $$
> H(x)=F(x)-G(x)
> $$
>
> 再寻找两点，使
>
> $$
> H(a)H(b)<0
> $$

> [accordion] 9. 一致连续性定理 ★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。
>
> **定理结论**
>
> 函数在 $[a,b]$ 上一致连续：
>
> $$
> \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad
> \lvert x-y\rvert<\delta\Rightarrow\lvert f(x)-f(y)\rvert<\varepsilon
> $$
>
> 这里的 $\delta$ 不依赖于 $x,y$ 的具体位置。
>
> **证明方法：反证法 + 收敛子列**
>
> 若不一致连续，则存在 $\varepsilon_0>0$ 和两列点 $x_n,y_n\in[a,b]$，满足
>
> $$
> \lvert x_n-y_n\rvert\to0
> $$
>
> 但
>
> $$
> \lvert f(x_n)-f(y_n)\rvert\geq\varepsilon_0
> $$
>
> 从 $\{x_n\}$ 提取收敛子列，其对应的 $\{y_n\}$ 子列也收敛到同一个点。利用函数连续性，得到函数值之差趋于零，产生矛盾。
>
> **考研应用**
>
> 一致连续性判断，属于相对拓展的证明内容。

## 微分中值定理

> [accordion] 1. 费马定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> * $x_0$ 是定义域的内点；
> * $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得局部极值；
> * $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f'(x_0)=0
> $$
>
> **证明方法：导数定义**
>
> 以局部极大值为例。当 $h>0$ 且充分小时，
>
> $$
> \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq0
> $$
>
> 当 $h<0$ 且充分小时，
>
> $$
> \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq0
> $$
>
> 由于导数存在，左右极限相等，只能得到
>
> $$
> f'(x_0)=0
> $$
>
> **考研应用**
>
> 通过证明函数存在内部极值点，进而证明导数零点存在。

> [accordion] 2. 罗尔定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $$
> \begin{cases}
> f\in C[a,b]\\
> f\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导}\\
> f(a)=f(b)
> \end{cases}
> $$
>
> **定理结论**
>
> $$
> \exists\,\xi\in(a,b),\quad f'(\xi)=0
> $$
>
> **证明方法：最值定理 + 费马定理**
>
> 由连续性，函数在 $[a,b]$ 上存在最大值 $M$ 和最小值 $m$。
>
> 若 $M=m$，则函数为常函数，导数恒为零。
>
> 若 $M>m$，由于 $f(a)=f(b)$，最大值和最小值不可能都只在端点取得，故必有一个内部极值点 $\xi$。由费马定理，
>
> $$
> f'(\xi)=0
> $$
>
> **考研应用**
>
> 常用于证明 $f'(\xi)=0$、$f'(\xi)=g'(\xi)$，以及高阶导数零点存在性。

> [accordion] 3. 拉格朗日中值定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $$
> f\in C[a,b]
> $$
>
> 且 $f$ 在 $(a,b)$ 内可导。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
> $$
>
> 其中 $\xi\in(a,b)$。
>
> **证明方法：构造辅助函数 + 罗尔定理**
>
> 构造
>
> $$
> F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
> $$
>
> 计算得
>
> $$
> F(a)=F(b)=f(a)
> $$
>
> 由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使 $F'(\xi)=0$，即
>
> $$
> f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
> $$
>
> **推论一：导数为零则函数为常数**
>
> 若在区间内 $f'(x)=0$，则
>
> $$
> f(x)=C
> $$
>
> **推论二：导数有界则函数差值有界**
>
> 若 $\lvert f'(x)\rvert\leq M$，则对区间内任意 $x_1,x_2$，
>
> $$
> \lvert f(x_2)-f(x_1)\rvert\leq M\lvert x_2-x_1\rvert
> $$
>
> **推论三：导数符号决定单调性**
>
> $$
> f'(x)\geq0\Rightarrow f\text{ 单调不减},\qquad
> f'(x)\leq0\Rightarrow f\text{ 单调不增}
> $$
>
> 如果导数在整个区间严格为正或严格为负，则函数严格单调。
>
> **考研应用**
>
> 单调性、不等式、函数差值估计、根的唯一性证明。

> [accordion] 4. 柯西中值定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 函数 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。
>
> **定理结论**
>
> 存在 $\xi\in(a,b)$，使
>
> $$
> [f(b)-f(a)]g'(\xi)=[g(b)-g(a)]f'(\xi)
> $$
>
> 若 $g'(x)\neq0$ 在 $(a,b)$ 内恒成立，则可以写成商式：
>
> $$
> \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
> $$
>
> **证明方法：构造辅助函数 + 罗尔定理**
>
> 构造
>
> $$
> \begin{aligned}
> F(x)={}&[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]\\
> &-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]
> \end{aligned}
> $$
>
> 易得
>
> $$
> F(a)=F(b)=0
> $$
>
> 由罗尔定理 $F'(\xi)=0$，即
>
> $$
> [f(b)-f(a)]g'(\xi)-[g(b)-g(a)]f'(\xi)=0
> $$
>
> 整理得到结论。
>
> **考研应用**
>
> 双函数差值、导数比值、洛必达法则。

> [accordion] 5.1 泰勒定理：佩亚诺余项 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有直到 $n$ 阶的导数。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o\bigl((x-x_0)^n\bigr)
> $$
>
> **证明方法：反复洛必达法则 + 导数定义**
>
> 设
>
> $$
> R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
> $$
>
> 需要证明
>
> $$
> \lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0
> $$
>
> 关键在于 $R_n$ 的各阶导数在 $x_0$ 处都为零。逐项求导，对 $0\leq k\leq n$ 有
>
> $$
> R_n^{(k)}(x)=f^{(k)}(x)-\sum_{j=k}^{n}\frac{f^{(j)}(x_0)}{(j-k)!}(x-x_0)^{j-k}
> $$
>
> 令 $x=x_0$，右端只剩 $j=k$ 一项，等于 $f^{(k)}(x_0)$，故
>
> $$
> R_n^{(k)}(x_0)=0,\qquad k=0,1,\dots,n
> $$
>
> 于是可以连续使用 $n-1$ 次洛必达法则：
>
> $$
> \lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}
> =\lim_{x\to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!\,(x-x_0)}
> $$
>
> 而
>
> $$
> R_n^{(n-1)}(x)=f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x_0)(x-x_0)
> $$
>
> 所以
>
> $$
> \frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!\,(x-x_0)}
> =\frac1{n!}\left[
> \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)
> \right]\to0
> $$
>
> 方括号内是 $f^{(n-1)}$ 在 $x_0$ 处的差商减去 $f^{(n)}(x_0)$，由导数的定义它趋于零。故
>
> $$
> R_n(x)=o\bigl((x-x_0)^n\bigr)
> $$
>
> **考研应用**
>
> 求高阶极限、比较无穷小、判断极值。

> [accordion] 5.2 泰勒定理：拉格朗日余项 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 在连接 $x_0$ 与 $x$ 的闭区间上，函数及直到 $n$ 阶的导数连续，且在相应开区间内存在 $n+1$ 阶导数。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
> +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
> $$
>
> 其中 $\xi$ 位于 $x_0$ 和 $x$ 之间。
>
> **证明方法：构造辅助函数 + 罗尔定理**
>
> 令
>
> $$
> R=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
> $$
>
> 再令 $K=\dfrac{R}{(x-x_0)^{n+1}}$，构造
>
> $$
> H(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k-K(x-t)^{n+1}
> $$
>
> 则 $H(x_0)=H(x)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi$ 使 $H'(\xi)=0$。求导后中间项相互抵消：
>
> $$
> H'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n+K(n+1)(x-t)^n
> $$
>
> 令 $H'(\xi)=0$ 得
>
> $$
> K=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}
> $$
>
> 代回即得泰勒公式。
>
> **考研应用**
>
> 高阶极限、无穷小比较、证明不等式、极值判定。

> [accordion] 6. 洛必达法则 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 适用于满足相应条件的
>
> $$
> \frac00,\qquad \frac{\infty}{\infty}
> $$
>
> 型未定式。对于 $0/0$ 型，常用条件为：
>
> * 分子分母都趋于零；
> * 两函数在极限点的去心邻域内可导；
> * 分母导数不为零；
> * 导数之比的极限存在（允许无穷极限）。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
> =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
> $$
>
> **证明方法：柯西中值定理**
>
> 以 $0/0$ 型、右侧极限为例，补充定义 $f(a)=g(a)=0$。对 $[a,x]$ 使用柯西中值定理：
>
> $$
> \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
> $$
>
> 因此
>
> $$
> \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
> $$
>
> 当 $x\to a^+$ 时，$\xi\to a^+$，由导数之比的极限得到结论。
>
> **考研应用**
>
> 未定式极限，尤其是复杂函数求极限。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 洛必达法则没有逆命题：原分式的极限存在，不代表导数之比的极限存在。例如导数之比振荡时，原分式仍可能收敛。

> [accordion] 6.1 弱化版：只要求分母趋于无穷 ★★
>
> **使用条件**
>
> $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型常被写成“分子、分母都趋于无穷”，但定理真正用到的只有分母这一个条件。弱化版的条件是：
>
> * $f(x),g(x)$ 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x)\ne0$；
> * $g(x)\to\infty$（或 $-\infty$）；
> * 导数之比 $\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 的极限存在（有限或 $\pm\infty$）。
>
> 对分子 $f(x)$ **没有任何要求**：它可以趋于无穷，也可以有界，甚至可以没有极限。条件 $g'\ne0$ 同时保证 $g$ 在 $a$ 的两侧各自单调，从而 $g(x)-g(x_0)\ne0$，柯西中值定理可以使用。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
> =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
> $$
>
> 只要右端存在，左端就存在，且与右端相等。$x\to\infty$ 与单侧极限的情形完全类似，只需把“$a$ 的去心邻域”换成相应的范围（例如 $|x|>X$）。
>
> **证明思路：柯西中值定理 + 分母趋于无穷**
>
> 设右端极限为有限数 $L$。固定 $x_0\ne a$，在 $x_0$ 与 $x$ 之间用柯西中值定理：
>
> $$
> \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}
> =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
> $$
>
> 其中 $\xi$ 介于 $x_0,x$ 之间。整理得
>
> $$
> \frac{f(x)}{g(x)}
> =\frac{f(x_0)}{g(x)}
> +\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
> \left(1-\frac{g(x_0)}{g(x)}\right)
> $$
>
> 当 $x\to a$ 时，$\xi\to a$，故 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\to L$；又 $g(x)\to\infty$，所以
>
> $$
> \frac{f(x_0)}{g(x)}\to0,\qquad
> 1-\frac{g(x_0)}{g(x)}\to1
> $$
>
> 因此 $\dfrac{f(x)}{g(x)}\to L$。
>
> 若 $L=+\infty$，对任意 $M>0$，当 $x$ 充分接近 $a$ 时 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}>M$，由上式同样得到 $\dfrac{f(x)}{g(x)}\to+\infty$；$L=-\infty$ 同理。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 式中 $\dfrac{g(x_0)}{g(x)}\to0$ 正是“分母趋于无穷”起作用的地方，也是分子不必趋于无穷的原因。若分母不趋于无穷，这一步失效，结论不再成立。
>
> **“弱化”弱在哪里**
>
> 由
>
> $$
> f(x)-f(x_0)
> =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\bigl(g(x)-g(x_0)\bigr)
> $$
>
> 可以看出：当右端极限 $L\ne0$（含 $\pm\infty$）时，$|f(x)|\to\infty$ 可以直接由结论反推出来。也就是说，只要导数之比的极限存在且非零，分子一定也趋于无穷，事先不必单独验证。
>
> 弱化版最直接的收益，是省掉“先证分子趋于无穷”这一步；当 $L=0$ 时，分子甚至可能根本不到无穷，结论依然成立。例如
>
> $$
> \lim_{x\to+\infty}\frac{\arctan x}{x}
> $$
>
> 分子有界、分母趋于无穷，并不是真正的 $\infty/\infty$ 型，但按弱化版计算
>
> $$
> \lim_{x\to+\infty}\frac{(\arctan x)'}{(x)'}
> =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+x^2}=0
> $$
>
> 结论仍是 $0$，与直接观察一致。若分子确实趋于无穷，例如 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt x}{x}$，同样由 $\dfrac{1/(2\sqrt x)}{1}\to0$ 得到极限 $0$，此时它是真正的 $\infty/\infty$ 型。
>
> **常见误区**
>
> * 弱化掉的是“分子趋于无穷”，不是“分母趋于无穷”。分母不趋于无穷时不能这样用。
> * 右端极限不存在时，不能反推左端极限不存在。例如 $f(x)=x+\sin x$，$g(x)=x$，有
>
> $$
> \frac{f(x)}{g(x)}=1+\frac{\sin x}{x}\to1
> $$
>
> 但
>
> $$
> \frac{f'(x)}{g'(x)}=1+\cos x
> $$
>
> 振荡无极限，洛必达法则失效。这与 6. 中“洛必达没有逆命题”是同一件事。
>
> **考研应用**
>
> 判断 $\infty/\infty$ 型能否直接用洛必达；分子是积分、隐函数或难以判断增减性时，先算导数之比，只要极限存在就不必再证分子趋于无穷。
>
> > [!TIP]
> >
> > 实用顺序：先确认分母趋于无穷，再对导数之比求极限。只要导数之比的极限算得出来，就可以直接写等号，无需回头证明分子也趋于无穷。

> [accordion] 7.1 达布定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在包含 $[a,b]$ 的开区间内可导。
>
> **定理结论**
>
> 若
>
> $$
> f'(a)<\lambda<f'(b)
> $$
>
> 则存在 $\xi\in(a,b)$，使
>
> $$
> f'(\xi)=\lambda
> $$
>
> 若两端大小关系相反，结论同样成立。
>
> **证明方法：构造辅助函数 + 费马定理**
>
> 构造
>
> $$
> F(x)=f(x)-\lambda x
> $$
>
> 于是
>
> $$
> F'(a)<0,\qquad F'(b)>0
> $$
>
> 由导数符号可知，$F(a)$ 和 $F(b)$ 都不可能是闭区间上的最小值：$F'(a)<0$ 说明 $a$ 右侧的函数值更小，$F'(b)>0$ 说明 $b$ 左侧的函数值更小。
>
> 根据最值定理，存在内部最小值点 $\xi$。由费马定理 $F'(\xi)=0$，所以
>
> $$
> f'(\xi)=\lambda
> $$
>
> 这一步是达布定理的全部内容：**导函数即使不连续，也不能跳过中间值**。

> [accordion] 7.2 推论一：导函数没有第一类间断点
>
> **使用条件**
>
> $f$ 在某开区间内可导。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \text{导函数若在某内部点间断，则只能是第二类间断点}
> $$
>
> 导函数不可能出现可去间断点或跳跃间断点。
>
> **证明方法：导数极限定理（单侧形式）**
>
> 若左右导数极限均有限存在：
>
> $$
> \lim_{x\to x_0^-}f'(x)=A,\qquad
> \lim_{x\to x_0^+}f'(x)=B
> $$
>
> 由单侧拉格朗日中值定理和 $f$ 在 $x_0$ 处可导可知
>
> $$
> A=f'(x_0)=B
> $$
>
> 因此导函数在该点连续，不可能是第一类间断点。
>
> **考研应用**
>
> 判断给定函数能否成为另一个函数的导函数。

> [accordion] 7.3 推论二：导函数变号必有零点
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在包含 $[a,b]$ 的开区间内可导，且
>
> $$
> f'(a)f'(b)<0
> $$
>
> **定理结论**
>
> $$
> \exists\,\xi\in(a,b),\quad f'(\xi)=0
> $$
>
> **证明方法：达布定理取 $\lambda=0$**
>
> 在达布定理中令 $\lambda=0$，即得结论。
>
> **考研应用**
>
> 不知道导函数是否连续时，仍然可以证明其零点存在。

> [accordion] 7.4 推论三：导函数处处非零则符号不变
>
> **使用条件**
>
> $f$ 在区间 $I$ 内可导，且
>
> $$
> f'(x)\neq0,\qquad \forall x\in I
> $$
>
> **定理结论**
>
> $$
> f'(x)>0\text{ 在 }I\text{ 内恒成立}
> \quad\text{或}\quad
> f'(x)<0\text{ 在 }I\text{ 内恒成立}
> $$
>
> 进一步得到 $f$ 严格单调。
>
> **证明方法：反证法 + 达布定理**
>
> 若导函数同时存在正值和负值，那么根据达布定理，中间必然存在导数为零的点，与条件矛盾。符号确定后，由拉格朗日中值定理的推论三得到严格单调。
>
> **考研应用**
>
> 判断严格单调性、证明方程最多只有一个根。

> [accordion] 7.5 推论四：单侧导数极限等于该点导数
>
> **使用条件**
>
> * $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导；
> * 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导；
> * $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f'(x)=A$ 存在且有限。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f'(x_0)=A
> $$
>
> 左侧同理。
>
> **证明方法：拉格朗日中值定理**
>
> 对于 $x>x_0$，存在 $\xi\in(x_0,x)$，使
>
> $$
> \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi)
> $$
>
> 令 $x\to x_0^+$，利用 $f$ 在 $x_0$ 处可导，得
>
> $$
> f'(x_0)=A
> $$
>
> > [!NOTE]
> >
> > 这是导数极限定理的单侧形式，也是推论一的证明依据。

> [accordion] 7.6 推论五：导函数只取有限多值则为线性函数
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在区间 $I$ 内可导，且 $f'(x)$ 只能取有限多个不同的值。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f'(x)\equiv C
> $$
>
> 从而
>
> $$
> f(x)=Cx+D
> $$
>
> **证明方法：反证法 + 达布定理**
>
> 假设导函数取到两个不同值 $A<B$。根据达布定理，导函数必然取得 $A$ 与 $B$ 之间所有实数值，因此会取得无限多个值，与条件矛盾。

> [accordion] 7.7 推论六：导函数的值域是区间
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在某个区间 $I$ 内可导。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f'(I)\text{ 是一个区间}
> $$
>
> 这里区间可以是开区间、闭区间、半开区间、无界区间或退化成单点。
>
> **证明方法：达布定理**
>
> 任取 $f'$ 值域中的两个不同值 $A,B$。根据达布定理，介于 $A,B$ 之间的每一个数都必属于 $f'$ 的值域。因此导函数的值域具有区间性。
>
> **说明**
>
> 推论二、三、五都可以从导函数的区间值域性质得到；推论四及第一类间断点的结论则需要结合导数极限定理。

> [accordion] 7.8 例：导函数不连续但具有介值性
>
> **函数**
>
> $$
> f(x)=
> \begin{cases}
> x^2\sin\dfrac1x, & x\neq0\\[6pt]
> 0, & x=0
> \end{cases}
> $$
>
> **计算**
>
> $$
> f'(0)=0
> $$
>
> 对于 $x\neq0$，
>
> $$
> f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x
> $$
>
> 由于 $\cos(1/x)$ 振荡，
>
> $$
> \lim_{x\to0}f'(x)
> $$
>
> 不存在。因此 $f'$ 在零点不连续，但 $f'$ 仍满足达布定理。
>
> **核心结论**
>
> $$
> \text{函数可导}\Rightarrow\text{导函数具有介值性}
> $$
>
> 但
>
> $$
> \text{函数可导}\nRightarrow\text{导函数连续}
> $$

> [accordion] 8. 导数极限定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $$
> \begin{cases}
> f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处连续}\\
> f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 的去心邻域内可导}\\
> \displaystyle\lim_{x\to x_0}f'(x)=A\in\mathbb R
> \end{cases}
> $$
>
> **定理结论**
>
> $$
> f'(x_0)=A
> $$
>
> 并且 $f'$ 在 $x_0$ 处连续。
>
> **证明方法：拉格朗日中值定理**
>
> 由导数定义，
>
> $$
> f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
> $$
>
> 根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 位于 $x$ 和 $x_0$ 之间，使
>
> $$
> \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi)
> $$
>
> 当 $x\to x_0$ 时，$\xi\to x_0$，故
>
> $$
> f'(x_0)=A
> $$
>
> **考研应用**
>
> 分段函数在分界点处的可导性与导数连续性判断。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 条件“$f$ 在 $x_0$ 处连续”不能省。$f$ 在 $x_0$ 不连续时，即使 $\lim f'$ 存在，$f'(x_0)$ 也可能不存在。

> [accordion] 9. 高阶罗尔定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在区间内具有 $n+1$ 个互异的零点，且满足逐次使用罗尔定理所需要的连续性与直到 $n$ 阶的可导性条件。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \exists\,\xi,\quad f^{(n)}(\xi)=0
> $$
>
> 其中 $\xi$ 位于最小与最大的两个零点之间。
>
> **证明方法：反复应用罗尔定理**
>
> 若 $f$ 有 $n+1$ 个不同零点，则 $f'$ 至少有 $n$ 个不同零点；继续应用罗尔定理，$f''$ 至少有 $n-1$ 个零点。如此反复，得到 $f^{(n)}$ 至少有一个零点。
>
> **重要推论**
>
> 若
>
> $$
> f^{(n)}(x)\neq0
> $$
>
> 在整个区间内恒成立，则 $f(x)=0$ 至多有 $n$ 个不同实根。
>
> **考研应用**
>
> 高阶导数零点、方程实根个数。

## 积分相关定理

> [accordion] 1.1 积分第一中值定理：基本形式 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $a<b$。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \exists\,\xi\in(a,b),\quad \int_a^b f(x)\,dx=(b-a)f(\xi)
> $$
>
> **证明方法：最值定理 + 介值定理**
>
> 由连续性，存在最小值 $m$ 与最大值 $M$，使
>
> $$
> m\leq f(x)\leq M
> $$
>
> 两边积分：
>
> $$
> m(b-a)\leq\int_a^b f(x)\,dx\leq M(b-a)
> $$
>
> 于是
>
> $$
> m\leq\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\leq M
> $$
>
> 根据介值定理，存在 $\xi\in[a,b]$，使
>
> $$
> f(\xi)=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx
> $$
>
> 再利用连续性可以说明，$\xi$ 可取在 $(a,b)$ 内。
>
> **考研应用**
>
> 把积分等式转换为某一点的函数值。

> [accordion] 1.2 积分第一中值定理：加权形式 ★★★
>
> **使用条件**
>
> * $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续；
> * $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积；
> * $g(x)$ 在区间内不变号。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \exists\,\xi\in[a,b],\quad
> \int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx
> $$
>
> **证明方法：积分估计 + 介值定理**
>
> 不妨设 $g(x)\geq0$，并令
>
> $$
> m=\min f(x),\qquad M=\max f(x)
> $$
>
> 那么
>
> $$
> mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)
> $$
>
> 两边积分：
>
> $$
> m\int_a^b g(x)\,dx
> \leq\int_a^b f(x)g(x)\,dx
> \leq M\int_a^b g(x)\,dx
> $$
>
> 若 $\displaystyle\int_a^b g(x)\,dx>0$，除以它之后利用介值定理即可。
>
> 若该积分为零，由于 $g\geq0$，也有 $\displaystyle\int_a^b fg=0$，结论同样成立。
>
> **考研应用**
>
> 证明乘积型定积分中存在满足特定关系的中值点。

> [accordion] 2. 积分第二中值定理 ★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，$f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
>
> **定理结论**
>
> 存在 $\xi\in[a,b]$，使得
>
> $$
> \int_a^b f(x)g(x)\,dx
> =f(a)\int_a^\xi g(x)\,dx+f(b)\int_\xi^b g(x)\,dx
> $$
>
> **证明方法：分部积分 + 积分第一中值定理**
>
> 先考虑 $f$ 连续可导的情况，令
>
> $$
> G(t)=\int_t^b g(x)\,dx
> $$
>
> 通过分部积分：
>
> $$
> \int_a^b fg=f(a)\int_a^b g(x)\,dx+\int_a^b f'(t)G(t)\,dt
> $$
>
> 由于 $f$ 单调，所以 $f'$ 不变号。由积分第一中值定理，
>
> $$
> \int_a^b f'(t)G(t)\,dt=[f(b)-f(a)]G(\xi)
> $$
>
> 代入并整理：
>
> $$
> \int_a^b fg=f(a)\int_a^\xi g+f(b)\int_\xi^b g
> $$
>
> 一般单调可积函数不必连续可导，可进一步通过 Abel 变换与极限过程证明。
>
> **考研应用**
>
> 单调函数与振荡函数的乘积积分、积分估计。

> [accordion] 3. 微积分基本定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在相应区间内连续，令
>
> $$
> F(x)=\int_a^x f(t)\,dt
> $$
>
> **定理结论**
>
> $$
> F'(x)=f(x)
> $$
>
> **证明方法：导数定义 + 积分中值定理**
>
> $$
> F'(x)=\lim_{h\to0}\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt
> $$
>
> 由积分中值定理，存在位于 $x$ 与 $x+h$ 之间的 $\xi_h$，使
>
> $$
> \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt=f(\xi_h)
> $$
>
> 当 $h\to0$ 时，$\xi_h\to x$。利用连续性，
>
> $$
> F'(x)=f(x)
> $$
>
> **重要推论：变上限积分求导**
>
> 若 $\alpha(x),\beta(x)$ 可导，则
>
> $$
> \frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)\,dt
> =f(\beta(x))\beta'(x)-f(\alpha(x))\alpha'(x)
> $$
>
> 其中 $f$ 在有关区间连续。

> [accordion] 4. 牛顿—莱布尼茨公式 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F'(x)=f(x)$。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)
> $$
>
> **证明方法：微积分基本定理**
>
> 令
>
> $$
> G(x)=\int_a^x f(t)\,dt
> $$
>
> 则
>
> $$
> G'(x)=f(x)=F'(x)
> $$
>
> 因此
>
> $$
> [G(x)-F(x)]'=0
> $$
>
> 所以 $G(x)-F(x)$ 为常数。利用 $G(a)=0$，可得
>
> $$
> G(b)=F(b)-F(a)
> $$
>
> **考研应用**
>
> 定积分求值、积分等式证明。

## 一元函数极值判定

> [accordion] 1. 极值第一充分条件 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f$ 在 $x_0$ 附近连续，在 $x_0$ 两侧的去心邻域内可导。
>
> **定理结论**
>
> | 左侧导数 | 右侧导数 | 判断结果 |
> | - | - | - |
> | $f'>0$ | $f'<0$ | 严格局部极大值 |
> | $f'<0$ | $f'>0$ | 严格局部极小值 |
> | $f'>0$ | $f'>0$ | 不是极值点 |
> | $f'<0$ | $f'<0$ | 不是极值点 |
>
> 导数在两侧同号时，函数单调穿过 $x_0$，因此不是极值点。
>
> **证明方法：拉格朗日中值定理**
>
> 以左正右负为例。在 $x_0$ 左侧，函数严格递增，所以
>
> $$
> f(x)<f(x_0)
> $$
>
> 在 $x_0$ 右侧，函数严格递减，所以
>
> $$
> f(x)<f(x_0)
> $$
>
> 因此 $x_0$ 是严格局部极大值点。
>
> **考研应用**
>
> 判断极值、证明局部不等式。

> [accordion] 2. 极值第二充分条件 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $$
> f'(x_0)=0
> $$
>
> 且 $f''(x_0)$ 存在。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \begin{cases}
> f''(x_0)>0 &\Rightarrow\text{严格局部极小值}\\
> f''(x_0)<0 &\Rightarrow\text{严格局部极大值}
> \end{cases}
> $$
>
> 若 $f''(x_0)=0$，不能直接判断。
>
> **证明方法：二阶泰勒公式**
>
> $$
> f(x_0+h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)h^2+o(h^2)
> $$
>
> 由于 $h^2>0$，当 $h$ 充分小时，函数增量的符号由 $f''(x_0)$ 决定。

> [accordion] 3. 高阶导数极值判定 ★★
>
> **使用条件**
>
> 设
>
> $$
> f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0
> $$
>
> 并且
>
> $$
> f^{(n)}(x_0)\neq0,\qquad n\geq2
> $$
>
> **定理结论**
>
> 若 $n$ 为偶数：
>
> $$
> \begin{cases}
> f^{(n)}(x_0)>0 &\Rightarrow\text{严格局部极小值}\\
> f^{(n)}(x_0)<0 &\Rightarrow\text{严格局部极大值}
> \end{cases}
> $$
>
> 若 $n$ 为奇数，则该点不是局部极值点。
>
> **证明方法：泰勒公式**
>
> $$
> f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}h^n+o(h^n)
> $$
>
> 根据 $n$ 的奇偶性及首个非零高阶导数的符号判断。

## 多元函数相关定理

> [accordion] 1. 可微的必要条件 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。
>
> **定理结论**
>
> $$
> \text{可微}\Rightarrow\text{连续且偏导数存在}
> $$
>
> 且
>
> $$
> df=f_x\,dx+f_y\,dy
> $$
>
> **证明方法：可微定义**
>
> 由
>
> $$
> \Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)
> $$
>
> 其中
>
> $$
> \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
> $$
>
> 令 $\Delta y=0$，得到 $A=f_x$。令 $\Delta x=0$，得到 $B=f_y$。
>
> 又因为 $\Delta f\to0$，所以函数连续。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 偏导数存在、函数连续，均不能单独保证可微。反例见[第 5 章](https://docs.0907world.cn/higher-mathematics/knowledge-summary/chapter-5.md)的“经典反例一览”：$\sqrt{x^2+y^2}$ 连续但偏导数不存在，$\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 连续且偏导数存在却不可微。

> [accordion] 2. 偏导数连续的可微性定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 一阶偏导数 $f_x,f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在，并且在该点连续。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f\text{ 在 }(x_0,y_0)\text{ 处可微}
> $$
>
> **证明方法：增量分解 + 拉格朗日中值定理**
>
> 把函数增量拆分为
>
> $$
> \begin{aligned}
> \Delta f={}&f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\\
> &-f(x_0,y_0+\Delta y)\\
> &+f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)
> \end{aligned}
> $$
>
> 固定 $y=y_0+\Delta y$，对第一项用一元拉格朗日中值定理：存在 $\theta_1\in(0,1)$，使
>
> $$
> f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)
> =f_x(x_0+\theta_1\Delta x,\ y_0+\Delta y)\Delta x
> $$
>
> 固定 $x=x_0$，同理存在 $\theta_2\in(0,1)$，使
>
> $$
> f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)
> =f_y(x_0,\ y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y
> $$
>
> 记
>
> $$
> \varepsilon_1=f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)-f_x(x_0,y_0)
> $$
>
> $$
> \varepsilon_2=f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)-f_y(x_0,y_0)
> $$
>
> 由 $f_x,f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，当 $(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$ 时 $\varepsilon_1\to0$，$\varepsilon_2\to0$。代入增量公式：
>
> $$
> \Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y
> $$
>
> 最后估计余项。因为 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\geq\lvert\Delta x\rvert$，且 $\rho\geq\lvert\Delta y\rvert$，
>
> $$
> \left\lvert\frac{\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y}{\rho}\right\rvert
> \leq\lvert\varepsilon_1\rvert\frac{\lvert\Delta x\rvert}{\rho}
> +\lvert\varepsilon_2\rvert\frac{\lvert\Delta y\rvert}{\rho}
> \leq\lvert\varepsilon_1\rvert+\lvert\varepsilon_2\rvert\to0
> $$
>
> 所以余项是 $o(\rho)$，即函数可微。

> [accordion] 3. 混合偏导数相等定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 二阶混合偏导数在某点附近存在，并在所讨论的点连续。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)
> $$
>
> **证明方法：二元矩形增量 + 两次中值定理**
>
> 构造
>
> $$
> \begin{aligned}
> \Delta={}&f(x+h,y+k)-f(x+h,y)\\
> &-f(x,y+k)+f(x,y)
> \end{aligned}
> $$
>
> 令 $\varphi(x)=f(x,y+k)-f(x,y)$，则
>
> $$
> \Delta=\varphi(x+h)-\varphi(x)=\varphi'(\xi)h
> $$
>
> 即 $\Delta=f_{xy}(\xi,\eta)hk$。
>
> 交换顺序，令 $\psi(y)=f(x+h,y)-f(x,y)$，同理得
>
> $$
> \Delta=f_{yx}(\xi',\eta')hk
> $$
>
> 于是 $f_{xy}(\xi,\eta)=f_{yx}(\xi',\eta')$。令 $h,k\to0$，由连续性得到两者相等。

> [accordion] 4. 隐函数存在定理 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 设
>
> $$
> F(x_0,y_0)=0
> $$
>
> $F$ 在该点附近具有连续的一阶偏导数，并且
>
> $$
> F_y(x_0,y_0)\neq0
> $$
>
> **定理结论**
>
> 局部存在唯一可微函数 $y=y(x)$，使 $F(x,y(x))=0$，并且
>
> $$
> y'=-\frac{F_x}{F_y}
> $$
>
> **证明方法：局部单调性 + 零点定理 + 复合函数求导**
>
> **存在性与唯一性。** 因为 $F_y(x_0,y_0)\neq0$，不妨设 $F_y(x_0,y_0)>0$。由 $F_y$ 连续，存在 $x_0$、$y_0$ 的邻域，使其中每一点都有 $F_y>0$。
>
> 固定 $x=x_0$，$F(x_0,y)$ 关于 $y$ 严格递增，且 $F(x_0,y_0)=0$，所以取足够小的 $\varepsilon>0$ 有
>
> $$
> F(x_0,y_0-\varepsilon)<0<F(x_0,y_0+\varepsilon)
> $$
>
> 由 $F$ 的连续性，当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时仍有
>
> $$
> F(x,y_0-\varepsilon)<0,\qquad F(x,y_0+\varepsilon)>0
> $$
>
> 对固定的 $x$，$F(x,y)$ 关于 $y$ 严格递增且连续，由零点定理，在 $(y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon)$ 内存在唯一的 $y=y(x)$，使 $F(x,y(x))=0$。唯一性来自严格单调，这就证明了隐函数的存在与唯一。
>
> **可微性。** 对 $F(x,y(x))=0$ 两边用链式法则，
>
> $$
> F_x+F_y\,y'=0
> $$
>
> 因为 $F_y\neq0$，解得
>
> $$
> y'=-\frac{F_x}{F_y}
> $$
>
> **考研应用**
>
> 求隐函数的导数、判断隐函数能否局部确定。

> [accordion] 5. 多元函数极值必要条件 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $f(x,y)$ 在内部点 $(x_0,y_0)$ 处可微且取得局部极值。
>
> **定理结论**
>
> $$
> f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0
> $$
>
> **证明方法：一元费马定理**
>
> 分别固定一个变量，把多元函数转化为一元函数，再利用费马定理。

> [accordion] 6. 多元函数极值充分条件 ★★★
>
> **使用条件**
>
> $(x_0,y_0)$ 是驻点，二阶偏导数在该点附近连续。令
>
> $$
> A=f_{xx}(x_0,y_0),\quad B=f_{xy}(x_0,y_0),\quad C=f_{yy}(x_0,y_0)
> $$
>
> 定义
>
> $$
> D=AC-B^2
> $$
>
> **定理结论**
>
> | 条件 | 结论 |
> | - | - |
> | $D>0,\ A>0$ | 严格局部极小值 |
> | $D>0,\ A<0$ | 严格局部极大值 |
> | $D<0$ | 鞍点，不是局部极值 |
> | $D=0$ | 无法判断 |
>
> **证明方法：二元泰勒公式 + 二次型判别**
>
> $$
> \Delta f=\frac12(Ah^2+2Bhk+Ck^2)+o(h^2+k^2)
> $$
>
> 记 $Q(h,k)=Ah^2+2Bhk+Ck^2$，把它看成 $h$ 的二次式，判别式为
>
> $$
> \Delta_Q=(2Bk)^2-4A\cdot Ck^2=-4(AC-B^2)k^2=-4Dk^2
> $$
>
> 于是可以按二次型的类型讨论：
>
> * $D>0$ 且 $A>0$：$Q$ 正定，当 $(h,k)\neq(0,0)$ 时 $Q>0$。余项 $o(h^2+k^2)$ 比 $Q$ 高阶，故 $\Delta f>0$，为严格局部极小值。
> * $D>0$ 且 $A<0$：$Q$ 负定，同理 $\Delta f<0$，为严格局部极大值。
> * $D<0$：$Q$ 不定，沿某些方向 $Q>0$、沿另一些方向 $Q<0$，$\Delta f$ 随之变号，为鞍点。
> * $D=0$：$Q$ 退化，$\Delta f$ 的符号由更高阶项决定，无法判断。
>
> 当 $D>0$ 时 $A$ 与 $C$ 同号，所以把判别条件中的 $A>0$、$A<0$ 换成 $C>0$、$C<0$ 结论不变。

> [accordion] 7. 拉格朗日乘数法 ★★★
>
> **使用条件**
>
> 在约束
>
> $$
> g(x,y)=0
> $$
>
> 下求 $f(x,y)$ 的条件极值。要求目标函数与约束函数连续可微，并在所研究的约束极值点满足
>
> $$
> \nabla g\neq0
> $$
>
> **定理结论**
>
> 存在 $\lambda$，使
>
> $$
> \nabla f=\lambda\nabla g
> $$
>
> 即
>
> $$
> \begin{cases}
> f_x=\lambda g_x\\
> f_y=\lambda g_y\\
> g(x,y)=0
> \end{cases}
> $$
>
> **证明方法：费马定理 + 约束曲线切向量**
>
> 把约束曲线 $g(x,y)=0$ 在极值点 $P_0$ 附近参数化为 $\boldsymbol r(t)=(x(t),y(t))$，且 $\boldsymbol r(0)=P_0$。
>
> 由 $g(\boldsymbol r(t))=0$ 对 $t$ 求导，
>
> $$
> \nabla g(P_0)\cdot\boldsymbol r'(0)=0
> $$
>
> 另一方面，$t\mapsto f(\boldsymbol r(t))$ 在 $t=0$ 取局部极值，由费马定理，
>
> $$
> \nabla f(P_0)\cdot\boldsymbol r'(0)=0
> $$
>
> 也就是说，$\nabla f(P_0)$ 与 $\nabla g(P_0)$ 都垂直于同一条非零切向量 $\boldsymbol r'(0)$。平面上与同一非零向量垂直的向量彼此平行，故存在 $\lambda$，使
>
> $$
> \nabla f(P_0)=\lambda\nabla g(P_0)
> $$
>
> 条件 $\nabla g\neq0$ 保证约束曲线在 $P_0$ 处确有非零切向量，上述论证才成立；它同时保证可以局部把约束写成函数图像，直接用隐函数求导也能得到同一组方程。

## 证明题：根据结论选择定理

拿到证明题，先看要证的结论长什么样，再查这张表定位定理，最后回到对应条目核对条件。

> [accordion] 按结论查定理（19 条）
>
> | 要证明的目标 | 首选定理或方法 | 使用条件 |
> | - | - | - |
> | $f(\xi)=0$ | 零点定理 | 连续、端点异号 |
> | $f(\xi)=k$ | 介值定理 | 连续、$k$ 介于端点函数值之间 |
> | $f'(\xi)=0$ | 罗尔定理 | 连续、可导、端点等值 |
> | $f'(\xi)=k$ | 拉格朗日中值定理 | 连续、可导、平均变化率为 $k$ |
> | $f'(\xi)=g'(\xi)$ | 构造辅助函数 + 罗尔 | 辅助函数满足罗尔条件 |
> | $f'(a)f'(b)<0\Rightarrow f'(\xi)=0$ | 达布定理 | 原函数在包含两端点的开区间内可导 |
> | 导函数非零则符号不变 | 达布定理 | 在同一个区间内可导 |
> | 两个函数差值之比 | 柯西中值定理 | 两函数连续、可导及必要的非零条件 |
> | $f''(\xi)=0$ | 两次罗尔定理 | 相应可导性与零点条件 |
> | $f^{(n)}(\xi)=0$ | 高阶罗尔定理 | 足够多零点及高阶可导性 |
> | 证明函数单调 | 拉格朗日中值定理 | 导数符号已知 |
> | 证明函数不等式 | 导数法、中值定理、泰勒公式 | 导数估计或高阶导数符号 |
> | 证明函数极值 | 极值充分条件 | 一阶或二阶导数条件 |
> | 证明数列收敛 | 单调有界收敛定理 | 单调、有界 |
> | 证明函数极限不存在 | 海涅定理 | 找到两列趋近序列 |
> | 证明导数连续性 | 导数极限定理 | 原函数连续、去心邻域可导、导数极限有限 |
> | 积分等于某点函数值乘区间长度 | 积分中值定理 | 闭区间连续 |
> | 含两个函数的乘积积分 | 积分第一中值定理 | 连续、可积、不变号 |
> | 求条件极值 | 拉格朗日乘数法 | 可微、约束梯度非零 |

## 罗尔定理辅助函数构造表

证明题经常不直接给出 $F'(\xi)=0$，而是给出更复杂的关系式。这时先把它整理成“某个辅助函数求导为零”的形式，再用罗尔定理。下表建议单独背诵。

> [accordion] 需要证明的形式与辅助函数对照表
>
> | 需要证明的形式 | 辅助函数 $F(x)$ |
> | - | - |
> | $f'(\xi)=0$ | $f(x)$ |
> | $f'(\xi)=g'(\xi)$ | $f(x)-g(x)$ |
> | $f'(\xi)=k$ | $f(x)-kx$ |
> | $f'(\xi)=f(\xi)$ | $e^{-x}f(x)$ |
> | $f'(\xi)+f(\xi)=0$ | $e^{x}f(x)$ |
> | $f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0$ | $e^{x^2}f(x)$ |
> | $f'(\xi)+p(\xi)f(\xi)=0$ | $e^{P(x)}f(x)$，其中 $P'=p$ |
> | $f'(\xi)g(\xi)-f(\xi)g'(\xi)=0$ | $\dfrac{f(x)}{g(x)}$，要求 $g\neq0$ |
> | $f'(\xi)g(\xi)+f(\xi)g'(\xi)=0$ | $f(x)g(x)$ |

> [accordion] 构造原理：积分因子
>
> 这些公式本质上来自求导的逆向构造。
>
> 例如要证明
>
> $$
> f'(\xi)+p(\xi)f(\xi)=0
> $$
>
> 可以构造积分因子
>
> $$
> \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}
> $$
>
> 使
>
> $$
> [\mu(x)f(x)]'=\mu(x)\bigl[f'(x)+p(x)f(x)\bigr]
> $$
>
> 于是把目标转化为 $F'(\xi)=0$，再尝试使用罗尔定理。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 辅助函数的形式只是构造思路，并不自动保证定理适用。仍须验证它在闭区间连续、开区间可导，且两端函数值相等。

## 核心方法与复习优先级

> [accordion] 证明体系的逻辑关系
>
> ```mermaid theme={null}
> flowchart TD
>   A["连续函数的性质"] --> B["最值、介值、零点定理"]
>   B --> C["费马、罗尔定理"]
>   C --> D["拉格朗日中值定理"]
>   D --> E["导数估计、单调性"]
>   C --> F["柯西中值定理"]
>   F --> G["双函数变化率"]
>   C --> H["泰勒定理、洛必达法则"]
>   H --> I["高阶展开、极限与不等式"]
> ```
>
> 达布定理另由最值定理与费马定理建立，保证导函数的介值性；积分中值定理则主要依赖连续函数的最值与介值性质。

> [accordion] 复习优先级
>
> | 复习等级 | 重点定理 | 主要证明方法 |
> | - | - | - |
> | ★★★ 必须熟练 | 零点、介值、罗尔、拉格朗日、柯西 | 连续性、辅助函数、中值定理 |
> | ★★★ 必须熟练 | 泰勒、费马、洛必达、积分中值 | 泰勒展开、导数定义、柯西中值 |
> | ★★★ 必须熟练 | 导数极限定理、极值判定、可微性 | 拉格朗日中值、泰勒、增量分析 |
> | ★★ 重点理解 | 达布定理及推论、高阶罗尔 | 反证法、费马定理、反复罗尔 |
> | ★★ 熟悉 | 海涅、单调有界、混合偏导定理 | 极限定义、确界、两次中值定理 |
> | ★ 适当拓展 | 一致连续性、积分第二中值定理 | 反证法、紧致性、Abel 变换 |

> [accordion] 最终要掌握的七种证明思路
>
> 1. 存在性证明：连续性 + 零点定理 / 介值定理。
> 2. 导数零点证明：罗尔定理 + 辅助函数构造。
> 3. 导数取值证明：拉格朗日、柯西或达布定理。
> 4. 根的唯一性证明：单调性，或反证法 + 罗尔定理。
> 5. 不等式证明：构造函数求导、拉格朗日中值定理或泰勒公式。
> 6. 高阶导数证明：反复罗尔或泰勒定理。
> 7. 积分存在性证明：积分中值定理、介值定理与连续性。

这份笔记把达布定理与它的推论放在微分中值定理体系内，同时保留使用条件和证明方法。复习时应尤其注意区分五个方向：

> [!TIP]
>
> * **函数值存在性** → 介值定理
> * **导数零点存在性** → 罗尔定理
> * **导数中间值存在性** → 达布定理
> * **函数差值估计** → 拉格朗日中值定理
> * **高阶局部变化** → 泰勒定理
>
> 这五个方向是考研数学一函数证明题最值得优先熟练掌握的内容。


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