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# 第 5 章 极限、连续、可导、可微的关系

> 整理一元与多元函数中极限存在、连续、可导（偏导数存在）与可微之间的 20 个推出关系，逐条给出完整证明或反例，并附拉格朗日中值定理的证明与结论速查表。

本章整理一元与多元函数的极限、连续、可导、可微之间的关系，共 20 个箭头。

> [!NOTE]
>
> **全章主线**：
>
> * 一元：**可导 $\iff$ 可微 $\Rightarrow$ 连续 $\Rightarrow$ 极限存在**，箭头都不可逆；
> * 多元：**偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ 连续 $\Rightarrow$ 极限存在**，并且**可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在**；但“连续 + 偏导数存在”推不出可微。
>
> **两个必须记住的反例**：一元用 $\lvert x\rvert$ 说明“连续不可导”；多元用 $\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 说明“连续且偏导数存在仍不可微”。

## 一元函数

设一元函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，且 $f(x_0)$ 为有限实数。记

$$
\Delta x=x-x_0,\qquad \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)
$$

```mermaid theme={null}
flowchart LR
  A["可导"] <--> B["可微"]
  B --> C["连续"]
  C --> D["极限存在"]
```

图中只画出了成立的推出关系；**未画出的箭头（如连续推可微）都不成立**，下面逐条给出证明或反例。

> [accordion] 极限存在
>
> 若存在有限常数 $A$，使沿 $x\to x_0$ 的任意方式都有
>
> $$
> \lim_{x\to x_0}f(x)=A
> $$
>
> 则称 $f$ 在 $x_0$ 处的极限存在。
>
> 注意：本章所说的极限都是有限极限，$A=+\infty$ 不算极限存在。

> [accordion] 连续
>
> 若
>
> $$
> \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
> $$
>
> 则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。
>
> 连续 = 极限存在 + 极限值恰好等于函数值。两个条件缺一不可。

> [accordion] 可导
>
> 若差商的极限
>
> $$
> f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
> =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
> $$
>
> 存在且有限，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，该极限值就是导数 $f'(x_0)$。
>
> 差商中的 $\Delta x$ 可以正可以负，所以可导等价于**左右导数都存在且相等**。

> [accordion] 可微
>
> 若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使
>
> $$
> \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)
> $$
>
> 则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微。其中 $o(\Delta x)$ 表示比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，即
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0
> $$
>
> 线性主部 $A\Delta x$ 就是微分，记作 $dy=A\,dx$。常数 $A$ 必须与 $\Delta x$ 无关，这一点是“线性”的含义。
>
> > [!NOTE]
> >
> > 可微定义中的常数 $A$ 到底等于什么？下面的 ③④ 证明会给出答案：$A=f'(x_0)$。所以在使用可微定义时，可以一开始就把 $A$ 写成 $f'(x_0)$。

> [accordion] ① 可微 ⇒ 连续
>
> 由可微的定义，存在常数 $A$，使
>
> $$
> \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)
> $$
>
> 根据 $o(\Delta x)$ 的定义，$\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to0$。而 $\Delta x\to0$，所以
>
> $$
> o(\Delta x)=\Delta x\cdot\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to0
> $$
>
> 于是
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\Delta y
> =\lim_{\Delta x\to0}\left[A\Delta x+o(\Delta x)\right]=0
> $$
>
> 即
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\left[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\right]=0
> $$
>
> 由于 $f(x_0)$ 是有限常数，可以移项得
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)
> $$
>
> 令 $x=x_0+\Delta x$，当 $\Delta x\to0$ 时 $x\to x_0$，故
>
> $$
> \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
> $$
>
> 符合连续的定义。结论：
>
> **可微 $\Rightarrow$ 连续。**

> [accordion] ② 连续 ⇏ 可微
>
> 反例取
>
> $$
> f(x)=\lvert x\rvert,\qquad x_0=0
> $$
>
> 第一步，证明连续。因为
>
> $$
> \lim_{x\to0}\lvert x\rvert=0=f(0)
> $$
>
> 所以 $f$ 在原点连续。
>
> 第二步，证明不可微。函数增量为
>
> $$
> \Delta y=f(0+\Delta x)-f(0)=\lvert\Delta x\rvert
> $$
>
> 差商为
>
> $$
> \frac{\Delta y}{\Delta x}
> =\frac{\lvert\Delta x\rvert}{\Delta x}
> =\begin{cases}
> 1, & \Delta x>0\\[4pt]
> -1, & \Delta x<0
> \end{cases}
> $$
>
> 所以
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=1,\qquad
> \lim_{\Delta x\to0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-1
> $$
>
> 左右极限不相等，差商的极限不存在，故 $f$ 在原点不可导。
>
> 又因为一元函数可导与可微等价（见 ③④），所以 $f$ 在原点也不可微。结论：
>
> **连续 $\nRightarrow$ 可微。**
>
> > [!WARNING]
> >
> > ② 的反例与 ⑥ 是同一个函数，但说明的是不同箭头的失败：② 关心“连续推不出可微”，⑥ 关心“连续推不出可导”。由于一元中可导与可微等价，这两件事本质上是同一件事。

> [accordion] ③ 可微 ⇒ 可导
>
> 设 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则存在常数 $A$，使
>
> $$
> \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)
> $$
>
> 当 $\Delta x\ne0$ 时，两边除以 $\Delta x$：
>
> $$
> \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}
> $$
>
> 令 $\Delta x\to0$。由 $o(\Delta x)$ 的定义，
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0
> $$
>
> 因此
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A
> $$
>
> $A$ 是有限常数，所以导数存在，且
>
> $$
> f'(x_0)=A
> $$
>
> 结论：**可微 $\Rightarrow$ 可导**，并且可微定义中的系数就是导数。

> [accordion] ④ 可导 ⇒ 可微
>
> 这是证明一元函数“可导与可微等价”的关键一步。
>
> 由可导的定义，
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)
> $$
>
> 定义辅助函数
>
> $$
> \alpha(\Delta x)=
> \begin{cases}
> \dfrac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0), & \Delta x\ne0\\[8pt]
> 0, & \Delta x=0
> \end{cases}
> $$
>
> 由于 $f$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f'(x_0)$ 为有限常数，故
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\alpha(\Delta x)=0
> $$
>
> 当 $\Delta x\ne0$ 时，由 $\alpha$ 的定义，
>
> $$
> \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha(\Delta x)
> $$
>
> 两边乘以 $\Delta x$：
>
> $$
> \Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha(\Delta x)\Delta x
> $$
>
> 当 $\Delta x=0$ 时，两边都是 $0$，所以上式对一切 $\Delta x$ 成立。
>
> 接下来验证余项是高阶无穷小：
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\frac{\alpha(\Delta x)\Delta x}{\Delta x}
> =\lim_{\Delta x\to0}\alpha(\Delta x)=0
> $$
>
> 按定义，
>
> $$
> \alpha(\Delta x)\Delta x=o(\Delta x)
> $$
>
> 所以
>
> $$
> \Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)
> $$
>
> 这正是可微的定义，且线性主部的系数就是 $f'(x_0)$。结论：**可导 $\Rightarrow$ 可微。**
>
> **等价结论。** 综合 ③④，
>
> $$
> \text{一元函数在一点可导}\iff\text{在该点可微}
> $$
>
> 并且微分为
>
> $$
> dy=f'(x_0)\,dx
> $$
>
> > [!NOTE]
> >
> > 一元函数中“可导”与“可微”是同一件事的两种说法：可导说的是差商极限存在，可微说的是增量能拆成线性主部加高阶无穷小，而 ③④ 说明这两种描述互相等价。**这个等价关系只在多元函数的特殊情形下才部分保留，不能照搬到多元。**

> [accordion] ⑤ 可导 ⇒ 连续
>
> **方法一：极限乘积法则。**
>
> 若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则
>
> $$
> \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)
> $$
>
> 其中 $f'(x_0)$ 有限。当 $\Delta x\ne0$ 时，
>
> $$
> \Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x
> $$
>
> 两个因子的极限都存在且有限，由极限乘积法则，
>
> $$
> \begin{aligned}
> \lim_{\Delta x\to0}\Delta y
> &=\lim_{\Delta x\to0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\right)\\
> &=f'(x_0)\cdot0\\
> &=0
> \end{aligned}
> $$
>
> 所以 $\lim_{\Delta x\to0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$，即 $f$ 在 $x_0$ 处连续。
>
> **方法二：局部有界性与夹逼定理。**
>
> 因为 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x_0)$ 且极限有限，由极限的局部有界性，存在 $M>0$ 与 $\delta>0$，当 $0<\lvert\Delta x\rvert<\delta$ 时
>
> $$
> \left\lvert\frac{\Delta y}{\Delta x}\right\rvert\le M
> $$
>
> 于是
>
> $$
> \lvert\Delta y\rvert
> =\left\lvert\frac{\Delta y}{\Delta x}\right\rvert\lvert\Delta x\rvert
> \le M\lvert\Delta x\rvert
> $$
>
> 而 $M\lvert\Delta x\rvert\to0$，由夹逼定理得 $\lvert\Delta y\rvert\to0$，即 $\Delta y\to0$，故 $f$ 在 $x_0$ 处连续。
>
> 结论：**可导 $\Rightarrow$ 连续。**

> [accordion] ⑥ 连续 ⇏ 可导
>
> 反例仍取
>
> $$
> f(x)=\lvert x\rvert
> $$
>
> 第一步，在 $x=0$ 处
>
> $$
> \lim_{x\to0}\lvert x\rvert=0=f(0)
> $$
>
> 所以 $f$ 连续。
>
> 第二步，计算左右导数。左导数：
>
> $$
> \begin{aligned}
> f'_-(0)
> &=\lim_{x\to0^-}\frac{\lvert x\rvert-0}{x-0}\\
> &=\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x}\\
> &=-1
> \end{aligned}
> $$
>
> 右导数：
>
> $$
> \begin{aligned}
> f'_+(0)
> &=\lim_{x\to0^+}\frac{\lvert x\rvert-0}{x-0}\\
> &=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}\\
> &=1
> \end{aligned}
> $$
>
> 因此 $f'_-(0)\ne f'_+(0)$，$f$ 在原点不可导。结论：
>
> **连续 $\nRightarrow$ 可导。**

> [accordion] ⑦ 连续 ⇒ 极限存在
>
> 根据连续的定义，
>
> $$
> \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
> $$
>
> 由于 $f(x_0)$ 是确定的有限实数，所以极限存在，且极限值等于函数值。结论：
>
> **连续 $\Rightarrow$ 极限存在。**

> [accordion] ⑧ 极限存在 ⇏ 连续
>
> 反例取
>
> $$
> f(x)=
> \begin{cases}
> 0, & x\ne0\\
> 1, & x=0
> \end{cases}
> $$
>
> 在 $x=0$ 处，
>
> $$
> \lim_{x\to0^-}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=0
> $$
>
> 所以 $\lim_{x\to0}f(x)=0$，极限存在。但 $f(0)=1$，于是
>
> $$
> \lim_{x\to0}f(x)\ne f(0)
> $$
>
> 因此 $f$ 在原点不连续。结论：
>
> **极限存在 $\nRightarrow$ 连续。**
>
> > [!NOTE]
> >
> > ⑧ 说明“极限存在”只描述函数在 $x_0$ **附近**的性态，与 $x_0$ 这一点的函数值无关；而连续要求二者相等。因此只要改动一个点的函数值，就能让连续失效。

> [accordion] ⑨ 可导 ⇒ 极限存在
>
> 由 ⑤ 已证
>
> $$
> \text{可导}\Rightarrow\text{连续}
> $$
>
> 由 ⑦ 已证
>
> $$
> \text{连续}\Rightarrow\text{极限存在}
> $$
>
> 利用推出关系的传递性，
>
> $$
> \text{可导}\Rightarrow\text{连续}\Rightarrow\text{极限存在}
> $$
>
> 而且极限值满足
>
> $$
> \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
> $$
>
> 结论：**可导 $\Rightarrow$ 极限存在。**

> [accordion] ⑩ 极限存在 ⇏ 可导
>
> 反例仍取 $f(x)=\lvert x\rvert$。在 $x=0$ 处
>
> $$
> \lim_{x\to0}\lvert x\rvert=0
> $$
>
> 极限存在。但由 ⑥ 的计算，
>
> $$
> f'_-(0)=-1,\qquad f'_+(0)=1
> $$
>
> 左右导数不相等，所以 $f$ 在原点不可导。结论：
>
> **极限存在 $\nRightarrow$ 可导。**

> [accordion] 补充：拉格朗日中值定理
>
> **定理。** 若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续、在开区间 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使
>
> $$
> \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)
> $$
>
> 证明（由罗尔定理得到）。令
>
> $$
> F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
> $$
>
> 则 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且
>
> $$
> F(a)=0,\qquad F(b)=0
> $$
>
> 由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。而
>
> $$
> F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
> $$
>
> 故
>
> $$
> f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 下面的多元部分 ① 会用到它：证明“偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微”时，把二元增量拆成两段，对每一段分别对 $x$、$y$ 使用一次拉格朗日中值定理。

> [accordion] 一元函数小结
>
> $$
> \text{可导}\iff\text{可微}\Rightarrow\text{连续}\Rightarrow\text{极限存在}
> $$
>
> 在没有附加条件时，向右的箭头都不能反过来。判断一元函数的关系题，只需记住：可导与可微是同一件事，连续是它们的必要条件，极限存在又是连续的必要条件。

## 多元函数

以下以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例。设 $f$ 在点 $P_0=(x_0,y_0)$ 的某个开邻域内有定义，且 $f(x_0,y_0)$ 有限。记

$$
\Delta x=h,\qquad \Delta y=k,\qquad \rho=\sqrt{h^2+k^2}
$$

$$
\Delta z=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)
$$

```mermaid theme={null}
flowchart LR
  P["偏导数连续"] --> D["可微"]
  D --> C["连续"]
  D --> Q["偏导数存在"]
  C --> L["极限存在"]
```

实线可以推出。**其余方向（包括“连续 + 偏导数存在推可微”）都不成立**，下面逐条说明。

> [accordion] 二重极限存在
>
> 若存在有限常数 $A$，使当 $(x,y)$ 以**任意方式**趋近 $(x_0,y_0)$ 时都有
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A
> $$
>
> 则称 $f$ 在 $P_0$ 处的二重极限存在。
>
> “任意方式”是多元极限与一元极限最大的区别：一元只有左右两个方向，多元有无穷多条路径。

> [accordion] 连续
>
> 若
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)
> $$
>
> 则称 $f$ 在 $P_0$ 处连续。

> [accordion] 偏导数存在
>
> 若
>
> $$
> f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}
> $$
>
> $$
> f_y(x_0,y_0)=\lim_{k\to0}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}
> $$
>
> 都存在且有限，则称 $f$ 在 $P_0$ 处的一阶偏导数存在。
>
> 偏导数只让一个变量单独变化，另一个变量固定，因此它只描述沿两条坐标轴方向的变化率，**不包含其他方向的信息**。

> [accordion] 可微
>
> 若存在与 $h,k$ 无关的常数 $A,B$，使
>
> $$
> \Delta z=Ah+Bk+o(\rho),\qquad
> \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{o(\rho)}{\rho}=0
> $$
>
> 则称 $f$ 在 $P_0$ 处可微。
>
> 若 $f$ 可微，则必有 $A=f_x(x_0,y_0)$，$B=f_y(x_0,y_0)$（见 ⑤）。因此判断可微不必猜 $A,B$：先算两个偏导数，再验证
>
> $$
> \lim_{(h,k)\to(0,0)}
> \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k}
> {\sqrt{h^2+k^2}}=0
> $$
>
> 这就是多元函数可微的充要判别式。

> [accordion] ① 偏导数连续 ⇒ 可微
>
> 这是多元函数可微最重要的充分条件。
>
> 条件：设 $f_x,f_y$ 在 $P_0$ 的某个邻域内存在，并且在 $P_0$ 处连续。
>
> 第一步，拆分增量。
>
> $$
> \begin{aligned}
> \Delta z={}&f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)\\
> &+f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)
> \end{aligned}
> $$
>
> 第二步，对两项分别用拉格朗日中值定理。
>
> 固定 $y=y_0+k$，定义一元函数
>
> $$
> g(x)=f(x,y_0+k)
> $$
>
> 由于 $f_x$ 在 $P_0$ 附近存在，$g$ 在相应区间内可导，从而连续，满足拉格朗日中值定理的条件。当 $h\ne0$ 时，存在 $0<\theta_1<1$，使
>
> $$
> f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)
> =f_x(x_0+\theta_1h,\ y_0+k)\,h
> $$
>
> 同理，固定 $x=x_0$，定义 $q(y)=f(x_0,y)$。由于 $f_y$ 在附近存在，当 $k\ne0$ 时存在 $0<\theta_2<1$，使
>
> $$
> f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)
> =f_y(x_0,\ y_0+\theta_2k)\,k
> $$
>
> 当 $h=0$ 或 $k=0$ 时，对应的增量项本身就是 $0$，下面的等式仍然成立（此时相应的 $\theta_i$ 可在 $(0,1)$ 内任取）。于是
>
> $$
> \Delta z=f_x(x_0+\theta_1h,y_0+k)\,h
> +f_y(x_0,y_0+\theta_2k)\,k
> $$
>
> 第三步，利用偏导数的连续性。记
>
> $$
> \varepsilon_1(h,k)=f_x(x_0+\theta_1h,y_0+k)-f_x(x_0,y_0)
> $$
>
> $$
> \varepsilon_2(h,k)=f_y(x_0,y_0+\theta_2k)-f_y(x_0,y_0)
> $$
>
> 因为 $0<\theta_1,\theta_2<1$，当 $(h,k)\to(0,0)$ 时
>
> $$
> (x_0+\theta_1h,\ y_0+k)\to(x_0,y_0),\qquad
> (x_0,\ y_0+\theta_2k)\to(x_0,y_0)
> $$
>
> 由 $f_x,f_y$ 在 $P_0$ 处连续，
>
> $$
> \varepsilon_1\to0,\qquad \varepsilon_2\to0
> $$
>
> 代入增量公式：
>
> $$
> \Delta z=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+\varepsilon_1h+\varepsilon_2k
> $$
>
> 第四步，验证余项是高阶无穷小。记 $R(h,k)=\varepsilon_1h+\varepsilon_2k$，则
>
> $$
> \begin{aligned}
> \left\lvert\frac{R(h,k)}{\rho}\right\rvert
> &=\left\lvert\frac{\varepsilon_1h+\varepsilon_2k}{\rho}\right\rvert\\
> &\le\lvert\varepsilon_1\rvert\frac{\lvert h\rvert}{\rho}
> +\lvert\varepsilon_2\rvert\frac{\lvert k\rvert}{\rho}
> \end{aligned}
> $$
>
> 因为 $\rho=\sqrt{h^2+k^2}\ge\lvert h\rvert$，$\rho\ge\lvert k\rvert$，所以
>
> $$
> \frac{\lvert h\rvert}{\rho}\le1,\qquad \frac{\lvert k\rvert}{\rho}\le1
> $$
>
> 因此
>
> $$
> \left\lvert\frac{R(h,k)}{\rho}\right\rvert
> \le\lvert\varepsilon_1\rvert+\lvert\varepsilon_2\rvert\to0
> $$
>
> 由夹逼定理，
>
> $$
> \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\rho}=0
> $$
>
> 即 $R(h,k)=o(\rho)$。最终得到
>
> $$
> \Delta z=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+o(\rho)
> $$
>
> 符合可微的定义。结论：**偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微。**
>
> > [!NOTE]
> >
> > 条件的精确表述是：偏导数在 $P_0$ 的**某邻域内存在**，并在 $P_0$ 处连续。不要求偏导数在整个邻域内处处连续。实际做题时，若 $f$ 是初等函数且偏导数在 $P_0$ 附近有表达式，通常可直接判定可微。

> [accordion] ② 可微 ⇏ 偏导数连续
>
> 反例取
>
> $$
> f(x,y)=
> \begin{cases}
> x^2\sin\dfrac1x, & x\ne0\\[6pt]
> 0, & x=0
> \end{cases}
> $$
>
> 研究原点 $(0,0)$。
>
> 第一步，计算原点处的偏导数。
>
> $$
> \begin{aligned}
> f_x(0,0)
> &=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\
> &=\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin(1/h)}{h}\\
> &=\lim_{h\to0}h\sin\frac1h=0
> \end{aligned}
> $$
>
> 因为 $\left\lvert h\sin\dfrac1h\right\rvert\le\lvert h\rvert\to0$。同理
>
> $$
> f_y(0,0)
> =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}
> =\lim_{k\to0}\frac0k=0
> $$
>
> 第二步，验证可微。因为 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，只需考察
>
> $$
> \frac{f(h,k)-f(0,0)-0\cdot h-0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}}
> =\frac{f(h,k)}{\rho}
> $$
>
> 又因为 $\lvert f(h,k)\rvert\le h^2$，所以
>
> $$
> 0\le\frac{\lvert f(h,k)\rvert}{\rho}
> \le\frac{h^2}{\rho}\le\rho\to0
> $$
>
> 由夹逼定理，该比值趋于 $0$，故 $f$ 在原点可微。
>
> 第三步，证明偏导数不连续。当 $x\ne0$ 时，
>
> $$
> f_x(x,y)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x
> $$
>
> 取 $x_n=\dfrac1{2n\pi}$，则 $\cos\dfrac1{x_n}=1$，$\sin\dfrac1{x_n}=0$，故
>
> $$
> f_x(x_n,0)=-1
> $$
>
> 再取 $t_n=\dfrac1{(2n+1)\pi}$，则 $\cos\dfrac1{t_n}=-1$，$\sin\dfrac1{t_n}=0$，故
>
> $$
> f_x(t_n,0)=1
> $$
>
> 虽然 $x_n\to0$、$t_n\to0$，但 $f_x$ 沿这两个数列趋于不同的值，所以 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y)$ 不存在，$f_x$ 在原点不连续。结论：
>
> **可微 $\nRightarrow$ 偏导数连续。**
>
> 因此“偏导数连续”是可微的**充分非必要**条件。

> [accordion] ③ 可微 ⇒ 连续
>
> 若 $f$ 在 $P_0$ 处可微，则
>
> $$
> \Delta z=Ah+Bk+o(\rho)
> $$
>
> 当 $(h,k)\to(0,0)$ 时，$h\to0$，$k\to0$，$\rho\to0$，所以
>
> $$
> Ah\to0,\qquad Bk\to0
> $$
>
> 又由 $o(\rho)$ 的定义，$\dfrac{o(\rho)}{\rho}\to0$，故
>
> $$
> o(\rho)=\rho\cdot\frac{o(\rho)}{\rho}\to0
> $$
>
> 于是
>
> $$
> \lim_{(h,k)\to(0,0)}\Delta z=0
> $$
>
> 即
>
> $$
> \lim_{(h,k)\to(0,0)}
> \left[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)\right]=0
> $$
>
> 所以
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)
> $$
>
> $f$ 在 $P_0$ 处连续。结论：**可微 $\Rightarrow$ 连续。**

> [accordion] ④ 连续 ⇏ 可微
>
> 反例取
>
> $$
> f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}
> $$
>
> 第一步，证明连续。因为
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x^2+y^2}=0=f(0,0)
> $$
>
> 所以 $f$ 在原点连续。
>
> 第二步，证明不可微。由偏导数的定义，
>
> $$
> \begin{aligned}
> f_x(0,0)
> &=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\
> &=\lim_{h\to0}\frac{\lvert h\rvert}{h}
> \end{aligned}
> $$
>
> 而
>
> $$
> \lim_{h\to0^-}\frac{\lvert h\rvert}{h}=-1,\qquad
> \lim_{h\to0^+}\frac{\lvert h\rvert}{h}=1
> $$
>
> 左右极限不相等，所以 $f_x(0,0)$ 不存在。
>
> 若 $f$ 在原点可微，则令 $k=0$、两边除以 $h$ 并取极限，就能推出 $f_x(0,0)$ 存在（这正是 ⑤ 的论证）。现在 $f_x(0,0)$ 不存在，故 $f$ 在原点不可微。结论：
>
> **连续 $\nRightarrow$ 可微。**

> [accordion] ⑤ 可微 ⇒ 偏导数存在
>
> 设 $f$ 在 $P_0$ 处可微，则存在常数 $A,B$，使
>
> $$
> \Delta z=Ah+Bk+R(h,k),\qquad
> R(h,k)=o(\rho)
> $$
>
> 即
>
> $$
> \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\rho}=0
> $$
>
> 第一步，证明 $f_x$ 存在。令 $k=0$，则 $\rho=\lvert h\rvert$，故
>
> $$
> f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)=Ah+R(h,0)
> $$
>
> 当 $h\ne0$ 时两边除以 $h$：
>
> $$
> \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}
> =A+\frac{R(h,0)}{h}
> $$
>
> 由 $\dfrac{R(h,0)}{\lvert h\rvert}\to0$ 得
>
> $$
> \left\lvert\frac{R(h,0)}{h}\right\rvert
> =\frac{\lvert R(h,0)\rvert}{\lvert h\rvert}\to0
> $$
>
> 因此
>
> $$
> \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}=A
> $$
>
> 即 $f_x(x_0,y_0)=A$。
>
> 第二步，证明 $f_y$ 存在。令 $h=0$，则 $\rho=\lvert k\rvert$，同理可得
>
> $$
> f_y(x_0,y_0)=B
> $$
>
> 两个偏导数都存在。结论：**可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在。**
>
> 并且一旦可微，全微分必定可以写成
>
> $$
> dz=f_x\,dx+f_y\,dy
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > ⑤ 是**逆否命题最常用**的一条：只要有一个偏导数不存在，函数就必不可微。例如 ④ 中的 $\sqrt{x^2+y^2}$，无需计算可微判别式，由 $f_x(0,0)$ 不存在即可判定不可微。

> [accordion] ⑥ 偏导数存在 ⇏ 可微
>
> 反例取
>
> $$
> f(x,y)=
> \begin{cases}
> \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y)\ne(0,0)\\[8pt]
> 0, & (x,y)=(0,0)
> \end{cases}
> $$
>
> 第一步，证明偏导数存在。
>
> $$
> f_x(0,0)
> =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
> =\lim_{h\to0}\frac0h=0
> $$
>
> $$
> f_y(0,0)
> =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}
> =\lim_{k\to0}\frac0k=0
> $$
>
> 两个偏导数都存在。
>
> 第二步，验证可微性。由于 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，若可微则必须有
>
> $$
> \lim_{(h,k)\to(0,0)}
> \frac{f(h,k)-0-0\cdot h-0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0
> $$
>
> 但是
>
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}
> &=\frac{\dfrac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2+k^2}}\\
> &=\frac{hk}{h^2+k^2}
> \end{aligned}
> $$
>
> 沿路径 $k=h$（$h\ne0$）：
>
> $$
> \frac{hk}{h^2+k^2}=\frac{h^2}{2h^2}=\frac12
> $$
>
> 极限不为 $0$，所以不满足可微定义，$f$ 在原点不可微。
>
> 第三步，进一步证明 $f$ 在原点连续。由基本不等式 $2\lvert xy\rvert\le x^2+y^2$，
>
> $$
> \begin{aligned}
> \lvert f(x,y)\rvert
> &=\frac{\lvert xy\rvert}{\sqrt{x^2+y^2}}\\
> &\le\frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}}\\
> &=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}2
> \end{aligned}
> $$
>
> 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时右侧趋于 $0$，由夹逼定理
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)
> $$
>
> 所以 $f$ 在原点连续。
>
> 综合两步，这个函数在原点**连续且两个偏导数都存在，却不可微**。结论：
>
> **连续 + 偏导数存在 $\nRightarrow$ 可微。**
>
> 这是考研数学一中判断多元可微性的经典反例，务必记住函数形式和沿 $y=x$ 得到 $\dfrac12$ 的关键计算。

> [accordion] ⑦ 连续 ⇒ 极限存在
>
> 根据连续的定义，
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)
> $$
>
> 而 $f(x_0,y_0)$ 是有限常数，所以极限存在。结论：
>
> **连续 $\Rightarrow$ 极限存在。**

> [accordion] ⑧ 极限存在 ⇏ 连续
>
> 反例取
>
> $$
> f(x,y)=
> \begin{cases}
> 0, & (x,y)\ne(0,0)\\
> 1, & (x,y)=(0,0)
> \end{cases}
> $$
>
> 对任意趋近原点的路径，只要 $(x,y)\ne(0,0)$ 就有 $f(x,y)=0$，所以
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0
> $$
>
> 但 $f(0,0)=1$，于是
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\ne f(0,0)
> $$
>
> 所以 $f$ 在原点不连续。结论：
>
> **极限存在 $\nRightarrow$ 连续。**

> [accordion] ⑨ 偏导数存在 ⇏ 极限存在
>
> 反例取
>
> $$
> f(x,y)=
> \begin{cases}
> \dfrac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0)\\[8pt]
> 0, & (x,y)=(0,0)
> \end{cases}
> $$
>
> 第一步，验证偏导数存在。
>
> $$
> f_x(0,0)
> =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
> =\lim_{h\to0}\frac0h=0
> $$
>
> $$
> f_y(0,0)
> =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}
> =\lim_{k\to0}\frac0k=0
> $$
>
> 两个偏导数都存在。
>
> 第二步，判断二重极限。沿直线 $y=x$ 趋近原点：
>
> $$
> f(x,x)=\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac12
> $$
>
> 所以
>
> $$
> \lim_{x\to0}f(x,x)=\frac12
> $$
>
> 沿直线 $y=0$ 趋近原点：
>
> $$
> f(x,0)=0
> $$
>
> 所以
>
> $$
> \lim_{x\to0}f(x,0)=0
> $$
>
> 不同路径得到不同的极限值，因此
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\ \text{不存在}
> $$
>
> 结论：**偏导数存在 $\nRightarrow$ 极限存在**，当然也推不出连续。这说明：沿两条坐标轴的偏导数都存在，完全不能控制其他方向的性态。

> [accordion] ⑩ 极限存在 ⇏ 偏导数存在
>
> 反例取
>
> $$
> f(x,y)=\lvert x\rvert
> $$
>
> 第一步，判断极限。因为
>
> $$
> 0\le\lvert x\rvert\le\sqrt{x^2+y^2}
> $$
>
> 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $\sqrt{x^2+y^2}\to0$，由夹逼定理
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(0,0)}\lvert x\rvert=0
> $$
>
> 二重极限存在。
>
> 第二步，判断偏导数。
>
> $$
> \begin{aligned}
> f_x(0,0)
> &=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\
> &=\lim_{h\to0}\frac{\lvert h\rvert}{h}
> \end{aligned}
> $$
>
> 其中
>
> $$
> \lim_{h\to0^-}\frac{\lvert h\rvert}{h}=-1,\qquad
> \lim_{h\to0^+}\frac{\lvert h\rvert}{h}=1
> $$
>
> 左右极限不相等，所以 $f_x(0,0)$ 不存在。虽然
>
> $$
> f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}
> =\lim_{k\to0}\frac0k=0
> $$
>
> 但由于 $f_x(0,0)$ 不存在，不能说该点的一阶偏导数存在。结论：
>
> **极限存在 $\nRightarrow$ 偏导数存在。**

> [accordion] 补充：连续与偏导数存在互不推出
>
> 原图没有单独画出这组箭头，但它是选择题的常见陷阱，必须掌握。
>
> **连续 $\nRightarrow$ 偏导数存在。** 仍取 $f(x,y)=\lvert x\rvert$。它在原点连续：
>
> $$
> \lim_{(x,y)\to(0,0)}\lvert x\rvert=0=f(0,0)
> $$
>
> 但
>
> $$
> f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{\lvert h\rvert}{h}
> $$
>
> 不存在，故偏导数不存在。
>
> **偏导数存在 $\nRightarrow$ 连续。** 仍取 $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$（原点补 $0$）。原点处
>
> $$
> f_x(0,0)=f_y(0,0)=0
> $$
>
> 但沿 $y=x$ 的极限为 $\dfrac12$，沿 $y=0$ 的极限为 $0$，二重极限不存在，函数不连续。
>
> 两个方向都不成立，因此
>
> **连续与偏导数存在互不推出。**
>
> > [!WARNING]
> >
> > 一元函数里“可导 $\Rightarrow$ 连续”成立，多元函数里“偏导数存在 $\Rightarrow$ 连续”**不成立**。根本原因：偏导数只约束两条坐标轴方向，而连续要求所有方向同时满足。这是从一元推广到多元时最容易出错的地方。

> [accordion] 可微性的判定流程
>
> 判断 $f$ 在 $P_0=(x_0,y_0)$ 是否可微，按以下顺序进行：
>
> 1. **先算两个偏导数。** 用定义计算 $f_x(P_0),f_y(P_0)$，分段函数在原点尤其不能偷懒。
> 2. **有一个不存在，直接判定不可微。** 依据 ⑤ 的逆否命题，不必再算判别式。
> 3. **两个都存在，计算判别式的极限。**
>
>    $$
>    L=\lim_{(h,k)\to(0,0)}
>    \frac{\Delta z-f_x(P_0)h-f_y(P_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}
>    $$
>
>    $L=0$ 当且仅当 $f$ 在 $P_0$ 可微。
> 4. **证明 $L=0$。** 常用夹逼：利用 $\lvert h\rvert\le\rho$、$\lvert k\rvert\le\rho$、$h^2+k^2=\rho^2$ 把分子配成 $\rho$ 的高阶项。也可以先用“偏导数连续”这一充分条件。
> 5. **证明 $L\ne0$。** 构造路径，如 $y=x$、$y=kx$、$x=y^2$，使比值趋于非零常数，或使不同路径的极限不同。

> [accordion] 多元函数小结
>
> $$
> \text{偏导数连续}\Rightarrow\text{可微}
> \Rightarrow
> \begin{cases}
> \text{连续}\\
> \text{偏导数存在}
> \end{cases}
> $$
>
> $$
> \text{连续}\Rightarrow\text{极限存在}
> $$
>
> 但
>
> $$
> \text{连续}+\text{偏导数存在}\nRightarrow\text{可微}
> $$
>
> 可微的判定式统一写成
>
> $$
> \Delta z=f_x(P_0)h+f_y(P_0)k+o(\rho)
> \iff
> \lim_{(h,k)\to(0,0)}
> \frac{\Delta z-f_x(P_0)h-f_y(P_0)k}{\rho}=0
> $$

## 结论速查

先查关系是否成立，再回到对应条目看证明或反例。

> [accordion] 一元函数：10 个箭头
>
> | 关系 | 结论 | 证明或反例关键点 |
> | - | - | - |
> | 可微 $\Rightarrow$ 连续 | 成立 | $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\to0$ |
> | 连续 $\Rightarrow$ 可微 | 不成立 | $\lvert x\rvert$，原点左右导数不等 |
> | 可微 $\Rightarrow$ 可导 | 成立 | 差商等于 $A+\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to A$ |
> | 可导 $\Rightarrow$ 可微 | 成立 | 构造 $\alpha(\Delta x)\to0$，余项 $\alpha\Delta x=o(\Delta x)$ |
> | 可导 $\Rightarrow$ 连续 | 成立 | 乘积法则 $\Delta y=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x$ |
> | 连续 $\Rightarrow$ 可导 | 不成立 | $\lvert x\rvert$，左右导数为 $-1,1$ |
> | 连续 $\Rightarrow$ 极限存在 | 成立 | 连续的定义 |
> | 极限存在 $\Rightarrow$ 连续 | 不成立 | 极限值不等于函数值 |
> | 可导 $\Rightarrow$ 极限存在 | 成立 | 可导 $\Rightarrow$ 连续 $\Rightarrow$ 极限存在 |
> | 极限存在 $\Rightarrow$ 可导 | 不成立 | $\lvert x\rvert$，极限存在而不可导 |

> [accordion] 多元函数：10 个箭头
>
> | 关系 | 结论 | 证明或反例关键点 |
> | - | - | - |
> | 偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微 | 成立 | 两次中值定理 + 余项估计 |
> | 可微 $\Rightarrow$ 偏导数连续 | 不成立 | $x^2\sin\dfrac1x$，偏导数振荡 |
> | 可微 $\Rightarrow$ 连续 | 成立 | $Ah+Bk+o(\rho)\to0$ |
> | 连续 $\Rightarrow$ 可微 | 不成立 | $\sqrt{x^2+y^2}$，偏导数不存在 |
> | 可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在 | 成立 | 分别令 $k=0$、$h=0$ |
> | 偏导数存在 $\Rightarrow$ 可微 | 不成立 | $\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$，沿 $y=x$ 余项比值为 $\dfrac12$ |
> | 连续 $\Rightarrow$ 极限存在 | 成立 | 连续的定义 |
> | 极限存在 $\Rightarrow$ 连续 | 不成立 | 极限值不等于函数值 |
> | 偏导数存在 $\Rightarrow$ 极限存在 | 不成立 | $\dfrac{xy}{x^2+y^2}$，路径极限不同 |
> | 极限存在 $\Rightarrow$ 偏导数存在 | 不成立 | $\lvert x\rvert$，$f_x(0,0)$ 不存在 |
>
> 表中的分式反例都按前文方式在原点补充函数值 $0$。

> [accordion] 经典反例一览
>
> | 函数 | 在原点处的表现 | 用途 |
> | - | - | - |
> | $f(x)=\lvert x\rvert$ | 连续，左右导数不等 | 一元：连续 $\nRightarrow$ 可导 |
> | $f(x,y)=\lvert x\rvert$ | 极限存在，$f_x(0,0)$ 不存在 | 极限存在 $\nRightarrow$ 偏导数存在 |
> | $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ | 连续，偏导数不存在 | 连续 $\nRightarrow$ 可微 |
> | $f(x,y)=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ | 连续，两个偏导数均为 $0$，不可微 | 连续 + 偏导数存在 $\nRightarrow$ 可微 |
> | $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ | 两个偏导数均为 $0$，极限不存在 | 偏导数存在 $\nRightarrow$ 连续，也推不出极限存在 |
> | $f(x,y)=x^2\sin\dfrac1x$ | 可微，$f_x$ 在原点不连续 | 可微 $\nRightarrow$ 偏导数连续 |
> | $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$ | 沿任何直线趋于 $0$，沿 $x=y^2$ 趋于 $\dfrac12$ | 二重极限不存在的路径判断 |

## 易错提醒

> [accordion] 沿直线判断二重极限不可靠
>
> > [!WARNING]
> >
> > 沿所有直线趋近结果相同，不能说明二重极限存在。取 $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$（原点补 $0$），沿任何直线 $y=kx$ 有 $f\to0$，沿 $x=0$ 也有 $f\to0$，但沿抛物线 $x=y^2$ 有
> >
> > $$
> > f(y^2,y)=\frac{y^4}{y^4+y^4}=\frac12
> > $$
> >
> > 所以二重极限不存在。判断极限不存在要主动构造**曲线**路径；判断存在必须用夹逼或极坐标统一估计。

> [accordion] 原点处的偏导数必须用定义
>
> > [!WARNING]
> >
> > 求分段函数在原点的偏导数必须用定义。若先求出 $x\ne0$ 时的 $f_x$ 表达式再令 $x\to0$，等于默认 $f_x$ 连续，而 ② 的反例恰好说明这个假设不成立：$f_x$ 在原点根本没有极限。

> [accordion] 可微定义中的 A、B 必须与 h、k 无关
>
> > [!WARNING]
> >
> > 可微定义中的 $A,B$ 必须与 $h,k$ 无关，且只能是一次项。写成 $\Delta z=Ah+Bk+\varepsilon$ 时，$\varepsilon$ 必须是 $o(\rho)$；若 $\varepsilon$ 只满足 $\varepsilon\to0$，那是连续而不是可微。

> [accordion] 偏导连续、可微、偏导存在的强弱
>
> > [!WARNING]
> >
> > “偏导数存在”不等于“偏导数连续”，也不等于“可微”。三者由强到弱的顺序是
> >
> > $$
> > \text{偏导数连续}\Rightarrow\text{可微}\Rightarrow\text{偏导数存在}
> > $$
> >
> > 反向一律不成立。

> [accordion] 判断顺序：先必要条件，再定义式
>
> > [!TIP]
> >
> > 判断一元函数在分界点是否可导时，先看左右导数是否都存在且相等；判断多元函数是否可微时，先看偏导数是否存在。两步都是“先检查必要条件，再检查定义式”。


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