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# 第 3 章 多元函数积分学的预备知识

> 整理向量代数、空间平面与直线、空间曲面与曲线、切线与法平面、方向导数与梯度、散度与旋度。

本章对应张宇《高等数学基础30讲》第 17 讲，是数学一的内容，为第 18 讲多元函数积分学做几何与场论上的准备。全章按“向量代数 → 平面与直线 → 曲面与曲线 → 曲线的切线与法平面 → 曲面的切平面与法线 → 方向导数与梯度 → 散度与旋度”展开。

复习时先建立“方向”意识：空间几何中的距离、夹角、切线、法线都由方向向量决定；场论中的方向导数、通量、环量则由梯度、散度、旋度刻画。本章公式是格林、高斯、斯托克斯公式的直接工具，不能只背结论。

> [!NOTE]
>
> **复习主线**：写出方向向量或法向量 → 用点积判断垂直、叉积判断平行 → 套距离与夹角公式 → 用梯度求切平面与方向导数 → 用散度、旋度描述向量场。
>
> **常见考法**：
>
> * 小题多考向量运算、平面与直线的位置关系、点到直线与点到平面的距离；
> * 大题多考曲线、曲面的切线与切平面，方向导数的最大值，以及散度、旋度的计算；
> * 本章结论会直接出现在多元积分学大题的第一步，例如补面时求法向量、定向时判断侧。

## 向量代数

> [accordion] 坐标运算与方向余弦
>
> 设
>
> $$
> \mathbf a=(a_1,a_2,a_3),\qquad \mathbf b=(b_1,b_2,b_3)
> $$
>
> 则
>
> $$
> \mathbf a\pm\mathbf b=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2,\ a_3\pm b_3),\qquad
> k\mathbf a=(ka_1,ka_2,ka_3)
> $$
>
> 模与单位向量：
>
> $$
> |\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},\qquad
> \mathbf a^\circ=\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}
> $$
>
> 设 $\mathbf a$ 与三条坐标轴正向的夹角分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，称为方向角，则方向余弦为
>
> $$
> \cos\alpha=\frac{a_1}{|\mathbf a|},\qquad
> \cos\beta=\frac{a_2}{|\mathbf a|},\qquad
> \cos\gamma=\frac{a_3}{|\mathbf a|}
> $$
>
> 且
>
> $$
> \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1
> $$
>
> 因此
>
> $$
> \mathbf a^\circ=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 方向余弦就是单位向量的三个分量。题目给出方向角或方向余弦时，方向向量可直接取 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，不必再单位化。

> [accordion] 数量积
>
> $$
> \mathbf a\cdot\mathbf b
> =|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
> =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
> $$
>
> 其中 $\theta$ 为两向量夹角，$\theta\in[0,\pi]$。由此得到夹角公式
>
> $$
> \cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}
> $$
>
> 以及
>
> $$
> |\mathbf a|^2=\mathbf a\cdot\mathbf a
> $$
>
> 运算律：交换律、分配律、与数乘结合。但**不满足消去律**：
>
> $$
> \mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf c
> \ \not\Rightarrow\ \mathbf b=\mathbf c
> $$
>
> 因为只能推出 $\mathbf a\cdot(\mathbf b-\mathbf c)=0$，即 $\mathbf a\perp(\mathbf b-\mathbf c)$。
>
> 投影：$\mathbf b$ 在 $\mathbf a$ 方向上的投影为
>
> $$
> \operatorname{Prj}_{\mathbf a}\mathbf b
> =\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|}
> =|\mathbf b|\cos\theta
> $$
>
> 这是一个带符号的数，夹角为钝角时投影为负。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 投影是数量，投影向量是向量：$\mathbf b$ 在 $\mathbf a$ 方向上的投影向量为 $\dfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf a\cdot\mathbf a}\mathbf a$。两者不要混写。

> [accordion] 向量积
>
> $$
> \mathbf a\times\mathbf b=
> \begin{vmatrix}
> \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\
> a_1 & a_2 & a_3\\
> b_1 & b_2 & b_3
> \end{vmatrix}
> =(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)
> $$
>
> 模：
>
> $$
> |\mathbf a\times\mathbf b|
> =|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
> $$
>
> 几何意义：$|\mathbf a\times\mathbf b|$ 等于以 $\mathbf a,\mathbf b$ 为邻边的平行四边形的面积，三角形面积为 $\dfrac12|\mathbf a\times\mathbf b|$。
>
> 方向：同时垂直于 $\mathbf a,\mathbf b$，且 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a\times\mathbf b$ 构成右手系。
>
> 运算性质：
>
> * 反交换律：$\mathbf a\times\mathbf b=-\mathbf b\times\mathbf a$；
>
> * 分配律：$\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c$；
>
> * $\mathbf a\times\mathbf a=\mathbf 0$；
>
> * **不满足结合律**，一般 $(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c\ne\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 求“同时垂直于两个已知向量”的向量，标准做法就是作叉积。求平面法向量、直线方向向量、曲面法向量，最终都归结为这一步。

> [accordion] 混合积
>
> $$
> [\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]
> =(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c
> =
> \begin{vmatrix}
> a_1 & a_2 & a_3\\
> b_1 & b_2 & b_3\\
> c_1 & c_2 & c_3
> \end{vmatrix}
> $$
>
> 几何意义：绝对值等于以 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ 为棱的平行六面体的体积；以它们为棱的四面体体积为 $\dfrac16\bigl|[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]\bigr|$。
>
> 性质：
>
> * 轮换不变：$[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=[\mathbf b,\mathbf c,\mathbf a]=[\mathbf c,\mathbf a,\mathbf b]$；
> * 任意交换两个向量，混合积变号；
> * 含零向量或有两个向量平行时，混合积为 $0$。
>
> 三向量共面的判据：
>
> $$
> [\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=0
> $$
>
> 即混合积为零时，$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ 共面。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 混合积是数，不是向量。“$[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=0$”表示三向量共面，不要与 $\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0$（表示两向量平行）混淆。

> [accordion] 位置关系与夹角
>
> 垂直与平行：
>
> $$
> \mathbf a\perp\mathbf b\iff\mathbf a\cdot\mathbf b=0
> $$
>
> $$
> \mathbf a\parallel\mathbf b\iff\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0
> \iff\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}
> $$
>
> 分式写法要求分母不为 $0$；某个分母为 $0$ 时，按“存在 $k$ 使 $\mathbf a=k\mathbf b$”理解，即对应分子也必须为 $0$。
>
> 两向量夹角
>
> $$
> \cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|},
> \qquad \theta\in[0,\pi]
> $$
>
> 若只关心两条直线或两个平面的夹角，则取锐角或直角：
>
> $$
> \cos\theta=\frac{|\mathbf a\cdot\mathbf b|}{|\mathbf a||\mathbf b|},
> \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 向量夹角可以是钝角，线线角、面面角只取锐角。判断垂直用点积是否为 $0$，与绝对值无关；求角度时是否加绝对值，要看对象是“向量”还是“直线、平面”。

> [accordion] 易错点
>
> 1. 向量积坐标公式的第二个分量是 $a_3b_1-a_1b_3$，符号最容易写反，建议每次用行列式展开。
> 2. 混合积交换两个向量要变号，只有轮换才不变号。
> 3. 用分式表示平行时，必须单独检查分母为 $0$ 的分量。
> 4. 投影是数量，投影向量是向量。
> 5. 由 $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$ 判断垂直时，要确认 $\mathbf a,\mathbf b$ 都不是零向量。
> 6. 两向量平行 $\iff$ 对应分量成比例，不要写成点积为 $0$。

## 平面与直线

> [accordion] 平面方程
>
> 设平面过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量为 $\mathbf n=(A,B,C)$。
>
> **点法式**
>
> $$
> A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0
> $$
>
> **一般式**
>
> $$
> Ax+By+Cz+D=0
> $$
>
> 其中 $\mathbf n=(A,B,C)$ 就是法向量，$A,B,C$ 不全为 $0$。
>
> **截距式**（三个截距都不为 $0$）
>
> $$
> \frac xa+\frac yb+\frac zc=1
> $$
>
> **三点式**：过不共线三点 $M_1,M_2,M_3$ 的平面为
>
> $$
> (\overrightarrow{M_1M_2}\times\overrightarrow{M_1M_3})\cdot\overrightarrow{M_1M}=0
> $$
>
> 特殊位置：
>
> * $D=0$：平面过原点；
>
> * $A=0$：平面平行于 $x$ 轴（$B,C$ 不全为 $0$）；
>
> * $A=B=0$：平面平行于 $xOy$ 平面，即 $Cz+D=0$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 求平面方程的关键是找法向量。常用三条路：两个已知向量作叉积；与已知平面平行则取同一法向量；与已知直线垂直则取该直线的方向向量。

> [accordion] 平面束
>
> 设两平面
>
> $$
> \Pi_1:\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0
> $$
>
> $$
> \Pi_2:\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0
> $$
>
> 相交于直线 $L$。则过 $L$ 的平面可设为
>
> $$
> A_1x+B_1y+C_1z+D_1
> +\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0
> $$
>
> 这一形式表示除 $\Pi_2$ 以外所有过 $L$ 的平面。若要包含 $\Pi_2$，用对称形式
>
> $$
> \lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)
> +\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0
> $$
>
> 其中 $\lambda,\mu$ 不同时为 $0$。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 用平面束求平面时，先确认两平面确实相交（法向量不平行）。若两平面平行，束方程表示的是与它们平行的一族平面，不再是“过交线”的平面。

> [accordion] 空间直线方程
>
> 设直线过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $\mathbf s=(m,n,p)$。
>
> **对称式**（点向式）
>
> $$
> \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
> $$
>
> **参数式**
>
> $$
> \begin{cases}
> x=x_0+mt\\
> y=y_0+nt\\
> z=z_0+pt
> \end{cases}
> $$
>
> **两点式**：过 $P_1(x_1,y_1,z_1)$、$P_2(x_2,y_2,z_2)$
>
> $$
> \frac{x-x_1}{x_2-x_1}
> =\frac{y-y_1}{y_2-y_1}
> =\frac{z-z_1}{z_2-z_1}
> $$
>
> **一般式**（两平面交线）
>
> $$
> \begin{cases}
> A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\
> A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0
> \end{cases}
> $$
>
> 此时方向向量为
>
> $$
> \mathbf s=\mathbf n_1\times\mathbf n_2
> $$
>
> 把一般式化为对称式：先取一个满足两方程的点，再取 $\mathbf s=\mathbf n_1\times\mathbf n_2$。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 对称式中某个分母为 $0$ 时，约定对应分子恒为 $0$。例如 $\dfrac{x-1}{0}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}$ 表示位于平面 $x=1$ 内、方向向量为 $(0,2,3)$ 的直线。更稳妥的写法是改用参数式。

> [accordion] 直线与平面的位置关系
>
> 设直线方向向量为 $\mathbf s$，平面法向量为 $\mathbf n$。
>
> 垂直：
>
> $$
> L\perp\Pi\iff\mathbf s\parallel\mathbf n\iff\mathbf s\times\mathbf n=\mathbf 0
> $$
>
> 平行或在平面内：
>
> $$
> \mathbf s\cdot\mathbf n=0
> $$
>
> 此时需再把直线上一点代入平面方程：
>
> * 点满足平面方程：直线在平面内；
> * 点不满足平面方程：直线与平面平行。
>
> 斜交时，联立参数式与平面方程解出 $t$，即得交点：
>
> $$
> A(x_0+mt)+B(y_0+nt)+C(z_0+pt)+D=0
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > “直线与平面平行”和“直线在平面内”在方向向量上无法区分，必须代点验证。这是选择题的常见陷阱。

> [accordion] 两平面的位置关系
>
> 设两平面法向量为 $\mathbf n_1,\mathbf n_2$。
>
> 两平面平行或重合：
>
> $$
> \Pi_1\parallel\Pi_2
> \iff\mathbf n_1\times\mathbf n_2=\mathbf 0
> $$
>
> 进一步区分：若 $\mathbf n_2=k\mathbf n_1$，则当 $D_2=kD_1$ 时两平面重合，否则平行。
>
> $$
> \Pi_1\perp\Pi_2\iff\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2=0
> $$
>
> 两平面相交时，交线的方向向量为
>
> $$
> \mathbf s=\mathbf n_1\times\mathbf n_2
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 判断两平面平行，先要把法向量系数化成同一比例再比较常数项。直接比较 $D_1,D_2$ 而不统一系数，会得出错误结论。

> [accordion] 两条空间直线的位置关系
>
> 设
>
> $$
> L_1:\ \mathbf r=\mathbf p_1+t\mathbf s_1,\qquad
> L_2:\ \mathbf r=\mathbf p_2+s\mathbf s_2
> $$
>
> 平行或重合：
>
> $$
> \mathbf s_1\times\mathbf s_2=\mathbf 0
> $$
>
> 此时再用 $\mathbf p_2-\mathbf p_1$ 与 $\mathbf s_1$ 是否平行区分平行、重合。
>
> 共面：
>
> $$
> [\mathbf p_2-\mathbf p_1,\ \mathbf s_1,\ \mathbf s_2]=0
> $$
>
> 当 $\mathbf s_1\times\mathbf s_2\ne\mathbf 0$ 时：
>
> * 混合积为 $0$：两直线共面，必相交；
>
> * 混合积不为 $0$：两直线异面。
>
> > [!TIP]
> >
> > 判断两条直线的关系，先看方向向量是否平行，再看混合积是否为零，两步就能定完“平行、重合、相交、异面”四种情况。

> [accordion] 距离公式
>
> **点到平面**
>
> $$
> d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
> $$
>
> **点到直线**（$P_1$ 为直线上一点，$\mathbf s$ 为方向向量）
>
> $$
> d=\frac{|\overrightarrow{P_1P_0}\times\mathbf s|}{|\mathbf s|}
> $$
>
> 推导：$|\overrightarrow{P_1P_0}\times\mathbf s|$ 是以两向量为邻边的平行四边形面积，等于 $|\mathbf s|$ 乘以点线距离。
>
> **两条异面直线**
>
> $$
> d=\frac{\bigl|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf s_1\times\mathbf s_2)\bigr|}
> {|\mathbf s_1\times\mathbf s_2|}
> $$
>
> 分子是以 $\overrightarrow{P_1P_2},\mathbf s_1,\mathbf s_2$ 为棱的平行六面体体积，分母是底面平行四边形的面积，相除即公垂线长。
>
> **两条平行平面**
>
> $$
> Ax+By+Cz+D_1=0,\qquad Ax+By+Cz+D_2=0
> $$
>
> $$
> d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
> $$
>
> **两条平行直线**：在其中一条上取一点，转化为点到直线的距离。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 两平行平面的距离公式要求两个方程的法向量系数已经统一。若写成 $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ 与 $k(A_1x+B_1y+C_1z)+D_2=0$，必须先化为同一组 $A,B,C$ 再套公式。

> [accordion] 夹角公式
>
> **两条直线**
>
> $$
> \cos\theta=\frac{|\mathbf s_1\cdot\mathbf s_2|}{|\mathbf s_1||\mathbf s_2|},
> \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]
> $$
>
> **两个平面**
>
> $$
> \cos\theta=\frac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|}{|\mathbf n_1||\mathbf n_2|},
> \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]
> $$
>
> **直线与平面**
>
> $$
> \sin\theta=\frac{|\mathbf s\cdot\mathbf n|}{|\mathbf s||\mathbf n|},
> \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]
> $$
>
> 这里 $\theta$ 是直线与它在平面上投影线的夹角，所以用 $\sin$ 而不是 $\cos$：$\mathbf s$ 与 $\mathbf n$ 的夹角是 $90^\circ-\theta$。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 线面角用 $\sin$，线线角、面面角用 $\cos$，是最高频的公式混淆点。记法：直线与平面“越陡”，$\mathbf s$ 越接近 $\mathbf n$，此时 $\sin\theta$ 越接近 $1$。

> [accordion] 易错点
>
> 1. 平面方程的法向量是 $(A,B,C)$，直线方程的分母是方向向量，两者不要互串。
> 2. 直线在平面内与平行于平面都满足 $\mathbf s\cdot\mathbf n=0$，必须代点区分。
> 3. 两平面平行要统一法向量系数后再比较常数项。
> 4. 异面直线距离的分子要加绝对值，否则可能算出负数。
> 5. 线面角用 $\sin$，不要套成 $\cos$。
> 6. 用平面束时，束方程默认漏掉 $\Pi_2$，需要时改用 $\lambda\Pi_1+\mu\Pi_2=0$。
> 7. 对称式分母为 $0$ 时不能直接约分，应理解为对应分子为 $0$。

## 空间曲面与曲线

> [accordion] 曲面方程与柱面
>
> 曲面的一般方程为
>
> $$
> F(x,y,z)=0
> $$
>
> 也可写成显式 $z=f(x,y)$，或参数式
>
> $$
> \mathbf r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)
> $$
>
> **柱面**：动直线沿定曲线平行移动形成的曲面。母线平行于 $z$ 轴时，方程中不含 $z$：
>
> $$
> F(x,y)=0
> $$
>
> 例如 $x^2+y^2=R^2$ 是圆柱面，$y^2=2px$ 是抛物柱面。判断柱面：方程缺少哪个变量，母线就平行于哪条坐标轴。
>
> > [!TIP]
> >
> > 空间曲线在坐标面上的投影，本质就是找一个以该坐标面为“底”的柱面，所以投影问题与柱面方程是同一件事。

> [accordion] 旋转曲面
>
> 曲线 $C$ 绕定直线旋转一周形成的曲面。设 $C$ 位于 $xOy$ 平面内。
>
> **$y=f(x)$ 绕 $x$ 轴**
>
> $$
> y^2+z^2=[f(x)]^2
> $$
>
> **$x=g(y)$ 绕 $y$ 轴**
>
> $$
> x^2+z^2=[g(y)]^2
> $$
>
> 一般原则：绕哪个轴旋转，哪个坐标不变，另一个坐标替换为“其余两个坐标平方和的平方根”，再平方去根号。若曲线位于 $yOz$ 平面内，方程为 $f(y,z)=0$，绕 $z$ 轴旋转后得到
>
> $$
> f\bigl(\pm\sqrt{x^2+y^2},\ z\bigr)=0
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 旋转曲面的方程是“平方和”形式，开方会引入 $\pm$，所以最终写成平方，不要保留根号而丢掉另一支。

> [accordion] 常见二次曲面
>
> | 曲面 | 标准方程 | 特征 |
> | - | - | - |
> | 球面 | $x^2+y^2+z^2=R^2$ | 到原点距离为 $R$ |
> | 椭球面 | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$ | 三个方向半轴为 $a,b,c$ |
> | 椭圆抛物面 | $z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$ | 开口朝 $z$ 轴正向，截面为椭圆 |
> | 双曲抛物面（马鞍面） | $z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}$ | 一个方向凹、一个方向凸 |
> | 单叶双曲面 | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ | 连成一片，中间有“腰” |
> | 双叶双曲面 | $\dfrac{z^2}{c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | 分成上下两片 |
> | 圆锥面 | $z^2=a^2(x^2+y^2)$ | 过原点的直纹面，半顶角固定 |
>
> 识别方法：二次项系数“两正一负”时，若等号右端为 $1$ 且负项在 $z^2$ 上，多为单叶双曲面；若写成 $z$ 等于两个平方项之差，则为双曲抛物面。二次项系数“一正两负”时，多为双叶双曲面。
>
> > [!TIP]
> >
> > 数一考题常把二次曲面与旋转曲面结合，例如“$yOz$ 平面内的抛物线绕 $z$ 轴旋转”，先写出旋转面方程，再与平面求交线。

> [accordion] 空间曲线及其投影
>
> 空间曲线常用两种表示。
>
> **一般式**（两曲面交线）
>
> $$
> \begin{cases}
> F(x,y,z)=0\\
> G(x,y,z)=0
> \end{cases}
> $$
>
> **参数式**
>
> $$
> \begin{cases}
> x=x(t)\\
> y=y(t)\\
> z=z(t)
> \end{cases}
> $$
>
> 投影到 $xOy$ 平面：从两方程中消去 $z$，得投影柱面
>
> $$
> H(x,y)=0
> $$
>
> 再与 $z=0$ 联立，得投影曲线
>
> $$
> \begin{cases}
> H(x,y)=0\\
> z=0
> \end{cases}
> $$
>
> 投影到 $yOz$、$zOx$ 平面时，分别消去 $x$、$y$。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 消元是不可逆运算，投影柱面可能包含原曲线以外的点。因此投影曲线只能取柱面与坐标面交线上满足原方程的那一段，必要时要补上范围限制，例如 $x\ge0$、$0\le z\le1$。

> [accordion] 易错点
>
> 1. 柱面方程缺少一个变量，不要误判为“平面”。
> 2. 旋转曲面要写平方和，开方后不能只取正支。
> 3. 投影只写消元结果，忘记与 $z=0$ 联立或忘记范围限制。
> 4. 二次曲面标准方程中 $a,b,c$ 是半轴长，不是轴长。
> 5. 参数式曲线的参数范围要写全，它决定曲线是整条还是其中一段。

## 曲线的切线与法平面

> [accordion] 参数式曲线的切向量
>
> 设曲线
>
> $$
> \mathbf r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)
> $$
>
> 在 $t=t_0$ 处可导，且
>
> $$
> \mathbf T=\mathbf r'(t_0)
> =\bigl(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\bigr)\ne\mathbf 0
> $$
>
> 则 $\mathbf T$ 是曲线在对应点处的切向量。
>
> 切线方程
>
> $$
> \frac{x-x_0}{x'(t_0)}
> =\frac{y-y_0}{y'(t_0)}
> =\frac{z-z_0}{z'(t_0)}
> $$
>
> 法平面（过切点且垂直于切线的平面）
>
> $$
> x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 切向量必须非零。若 $\mathbf r'(t_0)=\mathbf 0$，曲线在该点可能出现尖点或自交点，上述公式失效，需要单独判断。

> [accordion] 两曲面交线的切向量
>
> 设曲线由
>
> $$
> \begin{cases}
> F(x,y,z)=0\\
> G(x,y,z)=0
> \end{cases}
> $$
>
> 给出，且 $\nabla F,\nabla G$ 在点 $P_0$ 处连续、$\nabla F(P_0)\times\nabla G(P_0)\ne\mathbf 0$，则曲线在 $P_0$ 处的切向量为
>
> $$
> \mathbf T=\nabla F(P_0)\times\nabla G(P_0)
> =
> \begin{vmatrix}
> \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\
> F_x & F_y & F_z\\
> G_x & G_y & G_z
> \end{vmatrix}
> $$
>
> 因为 $\nabla F$ 是曲面 $F=0$ 的法向量，$\nabla G$ 是曲面 $G=0$ 的法向量，交线的方向同时垂直于两个法向量，故取叉积。
>
> > [!TIP]
> >
> > 这是“两曲面交线”题型最省事的做法，不必先参数化。只要两个法向量不平行，叉积就给出切向量。

> [accordion] 平面曲线的切线
>
> 若曲线位于 $xOy$ 平面内，写成 $y=f(x)$，则点 $(x_0,y_0)$ 处的切向量可取
>
> $$
> \mathbf T=(1,\ f'(x_0),\ 0)
> $$
>
> 切线方程
>
> $$
> y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)
> $$
>
> 法线方程
>
> $$
> y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)
> $$
>
> 当 $f'(x_0)=0$ 时，切线水平，法线竖直，需单独写出 $x=x_0$。
>
> > [!TIP]
> >
> > 平面曲线是空间曲线的特例，也可以看成两张曲面 $y-f(x)=0$ 与 $z=0$ 的交线，用 $\nabla F\times\nabla G$ 会得到同一个方向 $(1,f'(x_0),0)$。

> [accordion] 易错点
>
> 1. 把切向量与法向量弄反：切线沿 $\mathbf T$，法平面垂直于 $\mathbf T$。
> 2. 交线题忘记先验证 $\nabla F\times\nabla G\ne\mathbf 0$。
> 3. 切线写成点法式（应为点向式），或法平面写成点向式（应为点法式）。
> 4. 参数式求导后忘记代入具体的 $t_0$。
> 5. 曲线在某点切向量为零时仍套公式，导致分母全为 $0$。

## 曲面的切平面与法线

> [accordion] 隐式曲面
>
> 设曲面
>
> $$
> F(x,y,z)=0
> $$
>
> 点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 在曲面上，且
>
> $$
> \nabla F(P_0)=\bigl(F_x(P_0),F_y(P_0),F_z(P_0)\bigr)\ne\mathbf 0
> $$
>
> 则曲面在 $P_0$ 处的法向量为
>
> $$
> \mathbf n=\nabla F(P_0)
> $$
>
> 切平面
>
> $$
> F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0
> $$
>
> 法线
>
> $$
> \frac{x-x_0}{F_x(P_0)}
> =\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}
> =\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > $\nabla F\ne\mathbf 0$ 保证曲面在该点光滑。若梯度为零，曲面可能出现尖点或自交，不能再用梯度作法向量。

> [accordion] 显式曲面
>
> 设曲面
>
> $$
> z=f(x,y)
> $$
>
> 令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$，则
>
> $$
> \nabla F=(f_x,\ f_y,\ -1)
> $$
>
> 切平面
>
> $$
> z-z_0=f_x(P_0)(x-x_0)+f_y(P_0)(y-y_0)
> $$
>
> 法线
>
> $$
> \frac{x-x_0}{f_x(P_0)}
> =\frac{y-y_0}{f_y(P_0)}
> =\frac{z-z_0}{-1}
> $$
>
> 法线的方向余弦为
>
> $$
> \pm\frac{(f_x,\ f_y,\ -1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}
> $$
>
> 正负号由法线指向哪一侧决定。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 显式曲面 $z=f(x,y)$ 的法向量是 $(f_x,f_y,-1)$，不是 $(f_x,f_y,1)$。符号错了，切平面方程仍对，但法线方向和后续定向会错。

> [accordion] 参数式曲面
>
> 设曲面
>
> $$
> \mathbf r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)
> $$
>
> 则法向量为
>
> $$
> \mathbf n=\mathbf r_u\times\mathbf r_v
> =
> \begin{vmatrix}
> \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\
> x_u & y_u & z_u\\
> x_v & y_v & z_v
> \end{vmatrix}
> $$
>
> 要求 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v\ne\mathbf 0$，即参数网格在该点不退化。
>
> 切平面
>
> $$
> \mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0
> $$
>
> 法线
>
> $$
> \mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf n
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 球面、柱面的参数化在多元积分学中反复使用，这里求出的 $\mathbf n$ 与曲面积分中的“定向法向量”是同一个方向，可直接衔接。

> [accordion] 几何意义与易错点
>
> 全微分
>
> $$
> dz=f_x\,dx+f_y\,dy
> $$
>
> 的几何意义：$dz$ 是切平面上 $z$ 的增量。因此“可微”等价于“曲面在局部可用切平面近似”，这也是切平面存在的本质。
>
> 易错点：
>
> 1. 曲面法向量与曲线切向量混淆：曲面求法向量用梯度，曲线求切向量用导数或叉积。
> 2. 显式曲面法向量漏掉 $-1$，或写成 $(f_x,f_y,1)$。
> 3. 忘记验证 $\nabla F\ne\mathbf 0$，在奇点处套公式。
> 4. 切平面方程写成点向式，法线方程写成点法式。
> 5. 参数曲面忘记 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ 的次序会改变法向方向，进而影响侧。

## 方向导数与梯度

> [accordion] 方向导数的定义
>
> 设函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，$\mathbf e=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 是单位向量，则 $f$ 沿方向 $\mathbf e$ 的方向导数为
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0}
> =\lim_{t\to0^+}
> \frac{f(x_0+t\cos\alpha,\ y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}
> $$
>
> 三元函数沿 $\mathbf e=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 的方向导数类似：
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0}
> =\lim_{t\to0^+}
> \frac{f(x_0+t\cos\alpha,\ y_0+t\cos\beta,\ z_0+t\cos\gamma)-f(x_0,y_0,z_0)}{t}
> $$
>
> 两点注意：$\mathbf e$ 必须是单位向量；$t\to0^+$ 是单侧极限，方向导数有方向性，反向要变号。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 方向导数不是“沿任意曲线的导数”，而是沿射线的变化率。方向反了，结果取相反数。

> [accordion] 方向导数的计算
>
> 若 $f$ 在点 $P_0$ 可微，则沿任意单位向量 $\mathbf e$ 的方向导数存在，且
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial l}
> =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta
> $$
>
> 三元情形
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial l}
> =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma
> $$
>
> 也可写成梯度与单位向量的内积
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot\mathbf e
> $$
>
> 若题目给出的是方向向量 $\mathbf a\ne\mathbf 0$ 而不是单位向量，必须先单位化：
>
> $$
> \mathbf e=\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > 最常见的失分点是忘记单位化。直接把 $\mathbf a$ 代入 $\nabla f\cdot\mathbf a$，得到的是方向导数的 $|\mathbf a|$ 倍，不是方向导数。

> [accordion] 方向导数与可微的关系
>
> 三者关系可以串成一条链：
>
> * 偏导数连续 $\implies$ 可微；
> * 可微 $\implies$ 连续；
> * 可微 $\implies$ 偏导数存在；
> * 可微 $\implies$ 任意方向导数存在，且
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot\mathbf e
> $$
>
> 反过来都不成立：
>
> * 偏导数存在不一定连续，也不一定可微；
> * 方向导数存在不一定可微；
> * 甚至所有方向的方向导数都存在，也不一定可微。
>
> 例如 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点，沿任意单位方向 $\mathbf e$ 都有
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(0,0)}
> =\lim_{t\to0^+}\frac{t-0}{t}=1
> $$
>
> 但 $f$ 在原点不可微，因为两个偏导数都不存在（左右导数分别为 $\pm1$）。
>
> > [!TIP]
> >
> > 考试中若题目只给“$f$ 在点 $P_0$ 可微”，才可以直接用 $\nabla f\cdot\mathbf e$；若只说“偏导数存在”，必须回到定义判断。

> [accordion] 梯度
>
> 二元函数
>
> $$
> \nabla f=(f_x,\ f_y)
> $$
>
> 三元函数
>
> $$
> \nabla f=(f_x,\ f_y,\ f_z)
> $$
>
> 梯度是一个向量，方向为函数增长最快的方向，模为最大方向导数的值。
>
> 运算公式（在可微、可导的条件下）：
>
> $$
> \nabla(u\pm v)=\nabla u\pm\nabla v
> $$
>
> $$
> \nabla(uv)=u\nabla v+v\nabla u
> $$
>
> $$
> \nabla\left(\frac uv\right)
> =\frac{v\nabla u-u\nabla v}{v^2}
> $$
>
> $$
> \nabla\varphi(u)=\varphi'(u)\nabla u
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > $\nabla$ 是向量微分算子 $\left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right)$，上述法则与一元求导法则完全平行，可以直接套用。

> [accordion] 梯度的性质
>
> 设 $f$ 可微且 $\nabla f(P_0)\ne\mathbf 0$，$\mathbf e$ 为单位向量，$\theta$ 为 $\nabla f(P_0)$ 与 $\mathbf e$ 的夹角，则
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial l}
> =\nabla f\cdot\mathbf e
> =|\nabla f|\cos\theta
> $$
>
> 由此得到三条结论：
>
> | 方向 | 方向导数 |
> | - | - |
> | 沿梯度方向 | 最大值 $\lvert\nabla f\rvert$ |
> | 沿负梯度方向 | 最小值 $-\lvert\nabla f\rvert$ |
> | 与梯度垂直 | $0$ |
>
> 其他性质：
>
> * 梯度方向是函数值增长最快的方向，负梯度方向是下降最快的方向；
>
> * 梯度垂直于等值线 $f(x,y)=C$（或等值面 $f(x,y,z)=C$），并指向函数值增大的方向；
>
> * 梯度场是无旋场，即 $\nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0$。
>
> > [!WARNING]
> >
> > “最大方向导数等于 $|\nabla f|$”要求 $\nabla f\ne\mathbf 0$。若 $\nabla f=\mathbf 0$，则各方向导数全为 $0$，最大值也是 $0$，此时不存在唯一的“最速增长方向”。

> [accordion] 易错点
>
> 1. 方向向量未单位化，直接把 $(a,b)$ 代入内积。
> 2. 求“沿某方向的方向导数”时，把方向取反却忘记变号。
> 3. 把梯度当作数，写成 $\nabla f=|\nabla f|$。
> 4. 求最大方向导数时忘记开方，或忘记先算梯度。
> 5. 用 $\nabla f\cdot\mathbf e$ 前不检查可微性，题目只给偏导数存在时不能直接用。
> 6. 混淆“方向导数最大”与“函数值最大”：前者是变化率，后者是函数值。

## 散度与旋度

> [accordion] 散度
>
> 设向量场
>
> $$
> \mathbf F(x,y,z)=\bigl(P(x,y,z),\ Q(x,y,z),\ R(x,y,z)\bigr)
> $$
>
> 且 $P,Q,R$ 有连续一阶偏导数，则散度为
>
> $$
> \operatorname{div}\mathbf F
> =\nabla\cdot\mathbf F
> =P_x+Q_y+R_z
> $$
>
> 散度是数量，不是向量。
>
> 物理意义：散度刻画场在一点处的“源”的强弱。$\operatorname{div}\mathbf F>0$ 表示该点有源（通量向外发散），$\operatorname{div}\mathbf F<0$ 表示有汇，$\operatorname{div}\mathbf F=0$ 表示无源场。
>
> > [!TIP]
> >
> > 散度与高斯公式直接对应：
> >
> > $$
> > \oiint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS
> > =\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf F\,dV
> > $$
> >
> > 即“穿出闭曲面的通量等于内部散度的三重积分”。

> [accordion] 旋度
>
> 旋度为
>
> $$
> \operatorname{rot}\mathbf F
> =\nabla\times\mathbf F
> =
> \begin{vmatrix}
> \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\
> \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\
> P & Q & R
> \end{vmatrix}
> $$
>
> 展开得
>
> $$
> \operatorname{rot}\mathbf F
> =\left(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\right)
> $$
>
> 旋度是向量。
>
> 物理意义：旋度刻画场在一点处的“旋转”强弱与转轴方向。$\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0$ 的场称为无旋场。
>
> > [!WARNING]
> >
> > 旋度三个分量的顺序是 $(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y)$，与行列式展开一致。第二分量是 $P_z-R_x$，不是 $R_x-P_z$，符号写反是常见错误。

> [accordion] 常用恒等式
>
> 在二阶偏导数连续的条件下：
>
> $$
> \nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0
> $$
>
> 即梯度场无旋；
>
> $$
> \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0
> $$
>
> 即旋度场无散。
>
> 拉普拉斯算子
>
> $$
> \Delta f=\nabla\cdot(\nabla f)=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}
> $$
>
> 满足 $\Delta f=0$ 的函数称为调和函数。
>
> 乘积法则（了解即可）：
>
> $$
> \nabla\cdot(f\mathbf F)=f\,\nabla\cdot\mathbf F+\mathbf F\cdot\nabla f
> $$
>
> $$
> \nabla\times(f\mathbf F)=f\,\nabla\times\mathbf F+\nabla f\times\mathbf F
> $$
>
> > [!TIP]
> >
> > 两个恒等式可以这样记：**梯度的旋度为零，旋度的散度为零**。“先梯度后旋度”“先旋度后散度”都得到零。

> [accordion] 保守场与势函数
>
> 设 $\mathbf F=(P,Q,R)$ 在单连通区域内有一阶连续偏导数，则以下四条等价：
>
> 1. $\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0$；
> 2. 曲线积分 $\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ 与路径无关；
> 3. 沿任意闭曲线积分为 $0$；
> 4. 存在势函数 $u$，使 $\nabla u=\mathbf F$。
>
> 此时
>
> $$
> u(x,y,z)=\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}P\,dx+Q\,dy+R\,dz
> $$
>
> 且
>
> $$
> \int_A^B P\,dx+Q\,dy+R\,dz=u(B)-u(A)
> $$
>
> 求势函数的常用方法：凑全微分，或分组积分后再对另一变量求偏导定出待定函数。
>
> > [!WARNING]
> >
> > “$\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0$”只在单连通区域上等价于路径无关。若区域有洞（例如去掉 $z$ 轴的空间），需要额外检查绕洞的积分。

> [accordion] 与三大公式的联系
>
> | 公式 | 场论表达 | 联系的量 |
> | - | - | - |
> | 格林公式 | $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dx\,dy$ | 平面旋度 |
> | 高斯公式 | $\oiint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_\Omega\nabla\cdot\mathbf F\,dV$ | 散度 |
> | 斯托克斯公式 | $\oint_\Gamma\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_\Sigma(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$ | 旋度 |
>
> 统一理解：**边界上的积分等于内部微分的积分**。格林公式是斯托克斯公式在平面上的特例，高斯公式则把通量与散度联系起来。
>
> > [!TIP]
> >
> > 做多元积分大题时，先算 $\operatorname{div}\mathbf F$ 或 $\operatorname{rot}\mathbf F$，往往能把复杂的曲面积分、曲线积分化成简单的三重积分或二重积分。

> [accordion] 易错点
>
> 1. 散度是数，旋度是向量，两者不能混写。
> 2. 旋度第二分量符号写反。
> 3. 把 $\nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0$ 与 $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0$ 记串。
> 4. 在非单连通区域直接用“旋度为零”推出路径无关。
> 5. 求势函数时漏掉积分常数或待定函数。
> 6. 高斯公式要求闭曲面取外侧，斯托克斯公式要求方向与法向符合右手定则，方向错了整体变号。

## 方法选择

| 题目特征 | 优先方法 |
| - | - |
| 判断垂直、平行、共面 | 数量积、向量积、混合积 |
| 求平面方程 | 点法式；法向量由两向量叉积得到 |
| 求直线方程 | 点向式；方向向量取 $\mathbf n_1\times\mathbf n_2$ |
| 过已知直线的平面 | 平面束，代条件定 $\lambda$ |
| 点到平面、点到直线 | 套距离公式 |
| 异面直线距离 | 混合积除以 $\lvert\mathbf s_1\times\mathbf s_2\rvert$ |
| 线线角、面面角 | $\cos\theta$ 加绝对值 |
| 线面角 | $\sin\theta$，不要用 $\cos$ |
| 旋转曲面方程 | 绕谁转谁不变，另一变量换成平方和开方 |
| 空间曲线投影 | 消元得柱面，再与坐标面联立 |
| 曲线切线 | 参数式求导，或 $\nabla F\times\nabla G$ |
| 曲面切平面 | 梯度 $\nabla F$ 作法向量 |
| 方向导数 | 方向单位化后与梯度作内积 |
| 最大方向导数 | $\lvert\nabla f\rvert$，方向沿 $\nabla f$ |
| 散度、旋度 | 直接套公式，注意分量顺序 |
| 路径无关、势函数 | 验证 $\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0$，再凑全微分 |

## 高频易错点

1. **方向向量未单位化**：方向导数、方向余弦都要求单位向量。
2. **线面角用错函数**：线面角用 $\sin$，线线角、面面角用 $\cos$。
3. **平行与在面内不分**：$\mathbf s\cdot\mathbf n=0$ 只说明方向平行，必须代点区分。
4. **法向量符号**：显式曲面 $z=f(x,y)$ 的法向量是 $(f_x,f_y,-1)$。
5. **混合积换序**：交换两个向量要变号，只有轮换不变号。
6. **距离公式漏绝对值**：异面直线距离、点到平面距离的分子都要加绝对值。
7. **平行平面未统一系数**：先化成同一组 $A,B,C$，再比较 $D$。
8. **投影忘记范围**：消元后的柱面可能多出原曲线以外的点。
9. **切向量为零仍套公式**：先验证 $\mathbf r'(t_0)\ne\mathbf 0$ 或 $\nabla F\times\nabla G\ne\mathbf 0$。
10. **可微性前提**：只有可微时才能用 $\nabla f\cdot\mathbf e$ 算方向导数。

## 本章总结

> [accordion] 掌握清单
>
> 按“会算、会判、会连”三层检查：
>
> 1. **向量代数**：会算数量积、向量积、混合积，能说出三者的几何意义，会用它们判断垂直、平行、共面。
>
> 2. **平面与直线**：会写点法式、一般式、对称式、参数式，会用叉积求法向量与方向向量。
>
> 3. **位置关系**：能判断线线、线面、面面的平行、垂直、相交、异面，并说明理由。
>
> 4. **距离与夹角**：熟记点面、点线、异面直线、平行平面的距离公式，以及三类夹角公式。
>
> 5. **曲面与曲线**：会写柱面、旋转曲面方程，会把空间曲线投影到坐标面。
>
> 6. **切线与法平面**：参数式用导数，交线用 $\nabla F\times\nabla G$。
>
> 7. **切平面与法线**：隐式用梯度，显式注意 $-1$，参数式用 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$。
>
> 8. **方向导数与梯度**：会单位化、会算最大值、知道可微与方向导数存在的关系。
>
> 9. **散度与旋度**：会算、会判无源无旋、会用恒等式，理解与高斯、斯托克斯公式的对应。
>
> > [!TIP]
> >
> > 本章的核心不是公式数量，而是“方向”二字：空间几何中一切对象由方向向量与法向量确定，场论中一切结论由梯度、散度、旋度刻画。做题时先问“我要的是方向还是位置”，再选点积、叉积或梯度。

> [accordion] 公式速查
>
> | 知识点 | 公式或结论 |
> | - | - |
> | 向量垂直 | $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$ |
> | 向量平行 | $\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0$ |
> | 三向量共面 | $[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=0$ |
> | 方向余弦 | $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ |
> | 点到平面距离 | $\dfrac{\lvert Ax_0+By_0+Cz_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ |
> | 点到直线距离 | $\dfrac{\lvert\overrightarrow{P_1P_0}\times\mathbf s\rvert}{\lvert\mathbf s\rvert}$ |
> | 异面直线距离 | $\dfrac{\lvert(\mathbf p_2-\mathbf p_1)\cdot(\mathbf s_1\times\mathbf s_2)\rvert}{\lvert\mathbf s_1\times\mathbf s_2\rvert}$ |
> | 两平面夹角 | $\cos\theta=\dfrac{\lvert\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2\rvert}{\lvert\mathbf n_1\rvert\lvert\mathbf n_2\rvert}$ |
> | 直线与平面夹角 | $\sin\theta=\dfrac{\lvert\mathbf s\cdot\mathbf n\rvert}{\lvert\mathbf s\rvert\lvert\mathbf n\rvert}$ |
> | 曲线切向量 | $\mathbf r'(t_0)$ 或 $\nabla F\times\nabla G$ |
> | 曲面法向量 | $\nabla F$ 或 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ |
> | 方向导数 | $\nabla f\cdot\mathbf e$ |
> | 最大方向导数 | $\lvert\nabla f\rvert$ |
> | 散度 | $P_x+Q_y+R_z$ |
> | 旋度 | $(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y)$ |
> | 恒等式 | $\nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0$，$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0$ |
>
> > [!TIP]
> >
> > 复习优先级：向量运算、平面与直线的方程及夹角距离、曲线与曲面的切线与法平面、方向导数与梯度。异面直线距离、旋度与散度的恒等式属于进阶补充，可在掌握主线后再强化。


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