> ## Documentation Index
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# 第 2 章 无穷级数

> 整理常数项级数、正项级数判别法、任意项级数、幂级数与一般周期傅里叶级数。

本章按“常数项级数 → 正项级数 → 交错与任意项级数 → 幂级数 → 傅里叶级数”整理无穷级数。复习时先判断级数类型，再选择对应判别法，重点掌握收敛半径、端点判断和常用展开式。

> [!NOTE]
>
> 考试范围：
>
> * **数二**不考无穷级数；
> * **数一、数三**考常数项级数和幂级数；
> * **数一额外考傅里叶级数**。
>
> 傅里叶部分统一使用一般周期形式，不把周期特殊成 $2\pi$，也不使用复数形式。

## 常数项级数

> [accordion] 基本概念
>
> 级数为：
>
> $$
> \sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots
> $$
>
> 前 $n$ 项部分和定义为：
>
> $$
> S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k
> $$
>
> 若
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}S_n=S
> $$
>
> 存在，则称级数收敛，且和为 $S$；否则称级数发散。
>
> 余项为：
>
> $$
> R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}u_k
> $$
>
> 收敛级数的余项满足：
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}R_n=0
> $$

> [accordion] 收敛的必要条件
>
> 若 $\sum u_n$ 收敛，则
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}u_n=0
> $$
>
> 其逆否命题为：
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}u_n\ne 0\quad\Rightarrow\quad \sum u_n\text{ 发散}
> $$
>
> > [!WARNING]
> >
> > $u_n\to0$ 只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。例如调和级数
> >
> > $$
> > \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n
> > $$
> >
> > 虽然 $\frac1n\to0$，但级数发散。

> [accordion] 线性性质
>
> 若 $\sum u_n$、$\sum v_n$ 均收敛，则对任意常数 $a,b$，级数
>
> $$
> \sum(au_n+bv_n)
> $$
>
> 收敛，且
>
> $$
> \sum(au_n+bv_n)=a\sum u_n+b\sum v_n
> $$

> [accordion] 改变有限项
>
> 改变级数的有限项，不改变级数的敛散性。

> [accordion] 加括号
>
> * 收敛级数加括号后仍收敛，且和不变。
> * 若加括号后的级数发散，则原级数必发散。
> * 若加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛。

## 正项级数

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 若 $u_n\ge0$，则称 $\sum u_n$ 为正项级数。

> [accordion] 收敛的充要条件
>
> 正项级数收敛的充要条件是：部分和数列 $\{S_n\}$ 有界。

> [accordion] 比较判别法
>
> 若
>
> $$
> 0\le u_n\le v_n
> $$
>
> 则：
>
> * 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛；
> * 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 发散。
>
> **极限形式**
>
> 若
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l
> $$
>
> 则：
>
> * 当 $0<l<+\infty$ 时，$\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散；
> * 当 $l=0$ 时，若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛；
> * 当 $l=+\infty$ 时，若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散。
>
> **常用比较对象**
>
> $p$ 级数：
>
> $$
> \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}
> $$
>
> 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le1$ 时发散。
>
> 几何级数：
>
> $$
> \sum_{n=0}^{\infty}aq^n
> $$
>
> 当 $|q|<1$ 时收敛，当 $|q|\ge1$ 时发散。

> [accordion] 比值判别法
>
> 设
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho
> $$
>
> 则：
>
> * 若 $\rho<1$，级数收敛；
> * 若 $\rho>1$，级数发散；
> * 若 $\rho=1$，判别法失效，需要另判。
>
> 常用于通项含 $n!$、$a^n$、$n^n$ 等因子的级数。

> [accordion] 根值判别法
>
> 设
>
> $$
> \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho
> $$
>
> 则：
>
> * 若 $\rho<1$，级数收敛；
> * 若 $\rho>1$，级数发散；
> * 若 $\rho=1$，判别法失效。
>
> 常用于通项含 $n$ 次方或可整理成某表达式 $n$ 次方的级数。

> [accordion] 积分判别法
>
> 若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上非负、连续、单调减少，且
>
> $$
> u_n=f(n)
> $$
>
> 则级数
>
> $$
> \sum_{n=1}^{\infty}u_n
> $$
>
> 与广义积分
>
> $$
> \int_1^{+\infty}f(x)\,dx
> $$
>
> 同敛散。

## 交错级数

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 交错级数的一般形式为：
>
> $$
> \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n,\qquad u_n>0
> $$

> [accordion] 莱布尼茨判别法
>
> 若
>
> $$
> u_n\downarrow0
> $$
>
> 即 $u_n$ 单调减少且趋于 $0$，则交错级数收敛。

> [accordion] 余项估计
>
> $$
> |R_n|\le u_{n+1}
> $$

## 任意项级数

> [accordion] 绝对收敛
>
> 若
>
> $$
> \sum|u_n|
> $$
>
> 收敛，则
>
> $$
> \sum u_n
> $$
>
> 必收敛，并称 $\sum u_n$ 绝对收敛。

> [accordion] 条件收敛
>
> 若
>
> $$
> \sum u_n
> $$
>
> 收敛，但
>
> $$
> \sum|u_n|
> $$
>
> 发散，则称 $\sum u_n$ 条件收敛。

> [accordion] 经典例子
>
> 交错调和级数
>
> $$
> \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}
> $$
>
> 条件收敛。
>
> 交错 $p$ 级数
>
> $$
> \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}
> $$
>
> 绝对收敛。

> [accordion] 重要性质
>
> * 绝对收敛级数可以任意交换项的顺序，和不变。
> * 条件收敛级数不能随意交换项的顺序，否则可能改变和，甚至变成发散级数。
> * 判断任意项级数的顺序：
>
>   先看通项是否趋于 $0$，再判断绝对值级数是否收敛。
>
>   若绝对值级数不收敛，再利用莱布尼茨判别法等方法判断是否条件收敛。

## 幂级数

> [accordion] 定义
>
> 形如
>
> $$
> \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
> $$
>
> 的函数项级数称为幂级数。
>
> 最常见的形式为：
>
> $$
> \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
> $$

> [accordion] 阿贝尔定理
>
> 若 $\sum a_nx^n$ 在 $x=x_0\ne0$ 处收敛，则当
>
> $$
> |x|<|x_0|
> $$
>
> 时，级数绝对收敛。
>
> 若 $\sum a_nx^n$ 在 $x=x_0$ 处发散，则当
>
> $$
> |x|>|x_0|
> $$
>
> 时，级数发散。

> [accordion] 收敛半径与收敛域
>
> 对于幂级数
>
> $$
> \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
> $$
>
> 若相应极限存在，则收敛半径为：
>
> $$
> R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
> $$
>
> 也可以用根值形式：
>
> $$
> R=\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
> $$
>
> 收敛区间为：
>
> $$
> (x_0-R,x_0+R)
> $$
>
> 端点 $x=x_0\pm R$ 必须单独判断。

> [accordion] 收敛半径的三种情况
>
> * $R=0$：级数只在 $x=x_0$ 处收敛；
> * $R=+\infty$：级数在整个实轴上收敛；
> * $0<R<+\infty$：级数在 $(x_0-R,x_0+R)$ 内绝对收敛，在区间外发散，两个端点分别判断。

> [accordion] 为什么必须单独判断端点
>
> 收敛半径只由系数 $a_n$ 决定，信息只覆盖开区间。端点处级数可能绝对收敛、条件收敛，也可能发散，因此必须代回原级数逐一判断。

> [accordion] 幂级数的性质
>
> 在收敛区间内：
>
> 1. 和函数连续；
> 2. 可以逐项求导；
> 3. 可以逐项积分；
> 4. 逐项求导、逐项积分后收敛半径不变，但端点处的敛散性可能改变。
>
> 若
>
> $$
> S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
> $$
>
> 则
>
> $$
> S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}
> $$
>
> $$
> \int_0^xS(t)\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
> $$

> [accordion] 几何级数
>
> $$
> \frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\qquad |x|<1
> $$
>
> $$
> \frac1{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,\qquad |x|<1
> $$
>
> 常用变形：
>
> $$
> \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2},\qquad |x|<1
> $$
>
> $$
> \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac1{(1-x)^2},\qquad |x|<1
> $$

> [accordion] 指数函数
>
> $$
> e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\qquad -\infty<x<+\infty
> $$

> [accordion] 正弦与余弦
>
> $$
> \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad -\infty<x<+\infty
> $$
>
> $$
> \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!},\qquad -\infty<x<+\infty
> $$

> [accordion] 对数函数
>
> $$
> \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n},\qquad -1<x\le1
> $$
>
> $$
> \ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n},\qquad -1\le x<1
> $$

> [accordion] 反三角函数
>
> $$
> \arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|\le1
> $$

> [accordion] 二项式展开
>
> $$
> (1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^{\infty}
> \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n
> $$
>
> 收敛域为：
>
> * $|x|<1$ 时一定收敛；
> * 两个端点是否收敛，取决于 $\alpha$ 的具体值。

> [accordion] 方法一：先导后积
>
> 若通项含 $n$，可以先求导消去 $n$。
>
> 例如求和：
>
> $$
> \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}
> $$
>
> 先令
>
> $$
> S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}
> $$
>
> 再逐项求导：
>
> $$
> S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}
> =\frac1{(1-x)^2}
> $$

> [accordion] 方法二：先积后导
>
> 若通项含 $\frac1n$，可以先积分消去分母。
>
> 例如求和：
>
> $$
> S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
> $$
>
> 逐项求导：
>
> $$
> S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac1{1-x}
> $$
>
> 再由 $S(0)=0$ 积分：
>
> $$
> S(x)=-\ln(1-x)
> $$

> [accordion] 方法三：拆项、配凑
>
> 把通项拆成已知幂级数展开式的线性组合，再分别求和。

> [accordion] 方法四：解微分方程
>
> 有时逐项求导后可以得到关于 $S(x)$ 的微分方程，先解微分方程，再结合初值确定和函数。

> [accordion] 直接法
>
> 计算泰勒系数：
>
> $$
> f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
> $$
>
> 当 $x_0=0$ 时，得到麦克劳林级数：
>
> $$
> f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
> $$

> [accordion] 间接法
>
> 利用已知展开式，通过变量代换、逐项求导、逐项积分和四则运算得到新的展开式。
>
> > [!TIP]
> >
> > 考试中绝大多数函数展开题都使用间接法。

## 傅里叶级数（仅数一）

> [accordion] 核心概念与公式
>
> 以下统一使用一般周期，不把周期特殊成 $2\pi$，也不使用复数形式。

> [accordion] 周期为 2l 的傅里叶级数
>
> 设 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期，并在 $[-l,l]$ 上分段光滑，则
>
> $$
> f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
> \left[
> a_n\cos\frac{n\pi x}{l}
> +b_n\sin\frac{n\pi x}{l}
> \right]
> $$
>
> 其中
>
> $$
> a_n=\frac1l\int_{-l}^{l}
> f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,
> \qquad n=0,1,2,\cdots
> $$
>
> $$
> b_n=\frac1l\int_{-l}^{l}
> f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx,
> \qquad n=1,2,\cdots
> $$
>
> 积分区间也可以换成任意长度为 $2l$ 的区间，例如 $[0,2l]$。

> [accordion] 周期为 T 的傅里叶级数
>
> 设
>
> $$
> T=2l,\qquad l=\frac T2
> $$
>
> 则傅里叶级数为：
>
> $$
> f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
> \left[
> a_n\cos\frac{2n\pi x}{T}
> +b_n\sin\frac{2n\pi x}{T}
> \right]
> $$
>
> 系数为：
>
> $$
> a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}
> f(x)\cos\frac{2n\pi x}{T}\,dx,
> \qquad n=0,1,2,\cdots
> $$
>
> $$
> b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}
> f(x)\sin\frac{2n\pi x}{T}\,dx,
> \qquad n=1,2,\cdots
> $$
>
> 积分区间也可以换成任意长度为 $T$ 的区间。

> [accordion] 收敛定理：狄利克雷定理
>
> 若 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期，并在 $[-l,l]$ 上分段光滑，则其傅里叶级数收敛，并且：
>
> * 在连续点 $x$ 处，收敛到 $f(x)$；
>
> * 在间断点 $x$ 处，收敛到
>
>   $$
>   \frac{f(x^-)+f(x^+)}2
>   $$
>
> * 在端点 $x=\pm l$ 处，按周期延拓后的左右极限平均值处理。
>
> 即：
>
> $$
> \text{傅里叶级数的和}=
> \begin{cases}
> f(x), & x\text{ 为连续点}\\[6pt]
> \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}2, & x\text{ 为间断点}
> \end{cases}
> $$

> [accordion] 奇函数：正弦级数
>
> 若 $f(x)$ 是奇函数，则
>
> $$
> a_n=0
> $$
>
> 傅里叶级数只含正弦项：
>
> $$
> f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}
> b_n\sin\frac{n\pi x}{l}
> $$
>
> 其中
>
> $$
> b_n=\frac{2}{l}\int_0^l
> f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx
> $$
>
> 这种展开称为正弦级数。

> [accordion] 偶函数：余弦级数
>
> 若 $f(x)$ 是偶函数，则
>
> $$
> b_n=0
> $$
>
> 傅里叶级数只含余弦项和常数项：
>
> $$
> f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
> a_n\cos\frac{n\pi x}{l}
> $$
>
> 其中
>
> $$
> a_n=\frac{2}{l}\int_0^l
> f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,
> \qquad n=0,1,2,\cdots
> $$
>
> 这种展开称为余弦级数。

> [accordion] 定义在 \[0,l] 上的函数展开
>
> 若函数只在 $[0,l]$ 上定义，可以根据需要作奇延拓或偶延拓。

> [accordion] 奇延拓：展开为正弦级数
>
> $$
> f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}
> b_n\sin\frac{n\pi x}{l}
> $$
>
> $$
> b_n=\frac{2}{l}\int_0^l
> f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx
> $$

> [accordion] 偶延拓：展开为余弦级数
>
> $$
> f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
> a_n\cos\frac{n\pi x}{l}
> $$
>
> $$
> a_n=\frac{2}{l}\int_0^l
> f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,
> \qquad n=0,1,2,\cdots
> $$

> [accordion] 易错点
>
> 1. $a_0$ 的计算公式与 $a_n$ 统一，但级数第一项必须写成 $\frac{a_0}{2}$。
> 2. 一般周期为 $2l$ 时，系数前面是 $\frac1l$；周期为 $T$ 时，系数前面是 $\frac{2}{T}$。
> 3. 奇函数只含正弦项；偶函数只含余弦项和常数项。
> 4. 傅里叶级数在间断点不一定等于函数值，而等于左右极限的平均值。
> 5. 只给出 $[0,l]$ 上的函数时，先确定作奇延拓还是偶延拓。
> 6. 傅里叶公式中的 $\pi$ 来自三角函数基频，并不表示把周期特殊成了 $2\pi$。

## 本章总结

> [accordion] 本章总结
>
> 1. 常数项级数先检查通项是否趋于 $0$。
>
> 2. 正项级数根据结构选择比较、比值、根值或积分判别法。
>
> 3. 交错级数优先考虑莱布尼茨判别法。
>
> 4. 任意项级数要分清绝对收敛与条件收敛。
>
> 5. 幂级数先求收敛半径，再单独判断两个端点。
>
> 6. 幂级数求和常用先导后积、先积后导、拆项配凑或解微分方程。
>
> 7. 傅里叶级数使用一般周期公式，不把周期特殊成 $2\pi$，也不使用复数形式。
>
> > [!TIP]
> >
> > 无穷级数的复习主线是“先分类，再判敛，最后处理端点或和函数”。幂级数端点、傅里叶间断点和绝对/条件收敛是高频易错部分。


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